江西省宜春市丰城市丰城中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份江西省宜春市丰城市丰城中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共30页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．
【详解】解：∵，
∴的倒数是.
故选C
2. 一个长方体截去一部分后得到的几何体如图所示，其左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找到从左边看所得到的图形即可，注意能直接看到的棱用实线、不能看到的棱用虚线．
【详解】解：该几何体的左视图为：
．
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握左视图是从物体的左边看得到的视图、能直接看到的棱用实线、不能看到的棱用虚线是解答本题的关键．您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高3. 在运动会上，有13名同学参加某项比赛．他们的预赛成绩各不同，要取前6名参加决赛．小明得知自己的成绩后，若想确定自己能否进入决赛，只需要知道这13名同学成绩的（ ）
A. 众数B. 平均数C. 中位数D. 极差
【答案】C
【解析】
【详解】由于有13名同学参加比赛，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．
【分析】共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小明需要知道自己的成绩是否进入前六．我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，所以小明知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选：C．
【点睛】本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4. 若点在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，由反比例函数，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，由此分三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二象限且点B在第四象限；③若点A在第四象限且点B在第二象限讨论即可．
详解】解：∵反比例函数，
∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
①若点A、点B同在第二或第四象限，
∵，
∴，
此不等式无解；
②若点A在第二象限，且点B在第四象限，
∵，
∴，
解得：；
③由，可知点A在第四象限，且点B在第二象限这种情况不可能，
综上，的取值范围是，
故选：B．
5. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出A、B两点的坐标和对称轴，先确定三角形向右平移了1个单位长度，求得B′的坐标，再确定三角形向上平移5个单位，求得点A′的坐标，用待定系数法即可求解．
【详解】解：当y=0时，，解得x1=-1，x2=3，
当x=0时，y=-3，
∴A（0，-3），B（3，0），
对称轴为直线，
经过平移，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，
∴三角形向右平移1个单位，即B′的横坐标为3+1=4，
当x=4时，y=42-2×4-3=5，
∴B′（4，5），三角形向上平移5个单位，
此时A′（0+1，-3+5），∴A′（1，2），
设直线的表达式为y=kx+b，
代入A′（1，2），B′（4，5），
可得
解得：，
故直线的表达式为，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一次函数表达式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形和性质．
6. 若关于的一元一次不等式组恰有个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则所有满足条件的整数的值之和是( )
A. 10B. 13C. 15D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法与分式方程的解法；分别解出一元一次不等式组的解集和分式方程的解，根据题目要求求出a的取值范围，再求出满足条件的整数a的值之和即可．
【详解】解：解一元一次不等式组，
得，
∵一元一次不等式组恰有4个整数解，
∴，
∴，
解分式方程，
去分母，得，
得，
∵分式方程的解为非负数，
∴且，
解得且，
综上，满足条件的整数a有，，，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 因式分解：=________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
8. 过去的一年，江西克服了夏秋冬连旱的极端天气影响，“三农”工作又迎来了一个丰收年．2022年全省的粮食产量达到亿斤，连续10年稳定在亿斤以上．数据亿用科学记数法可表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数表示成 ，n为整数的形式，确定a和n的值成为解答本题的关键．将表示成 ，n为整数的形式即可．
【详解】解：．
故答案为．
9. 康定特产牦牛肉干的原价为a元，现在优惠促销，打九折后再降价5元，牦牛肉干的现价是________元．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列代数式．康定特产牦牛肉干的原价为a元，打九折后的价格为元，再降价5元即再减去5即可．
【详解】解：康定特产牦牛肉干的原价为a元，打九折后再降价5元，
∴牦牛肉干的现价是：元．
故答案为：．
10. 若一元二次方程的两根分别为，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．根据一元二次方程根与系数的关系可得，，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，
∴，，
∴．
故答案为：．
11. 如图，第个图形中有个球；第个图形中有个球；第个图形中有个球；．古希腊著名科学家毕达哥拉斯把像，，这样的数称为“三角形数”，则第个图形中有______个球．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了图形变化规律，根据图形发现球的个数等于连续整数的和，据此写出第个图形中的球的个数的表达式即可求解，观察出图形中的球的个数是连续整数的和是解题的关键．
【详解】解：第个图形中有个球，
第个图形中有个球，，
第个图形中有个球，，
，
依此类推，第个图形中球的个数为：，
故答案为：．
12. 在中，，，，是的中点，是上的动点，若点到的一边的距离为2，则的长为________．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．先运用勾股定理的逆定理可得为直角三角形，由直角三角形的性质可得，然后分点P到的距离为2的三种情况，分别运用相似三角形的判定与性质即可解答．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，
又∵是的中点，
∴
①如图(1)，当点P到的距离为2时，过点P作于点E，过点D作于点F，则，，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；

②如图(2)，当点P到的距离为2时，过点P作于点E，过点D作于点F，则，
同理可得：，
∴，
∴，
即，
解得：；

③如图(3)，当点P到的距离为2时，过点P作于点E，过点C作于点F，
则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
∴．

综上，的长为或或．
三．解答题（本大题5小题，每小题6分，共30分）
13. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用负整数指数幂、零次幂、立方根、平方根的性质化简，即可求解；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了负整数指数幂、零次幂、立方根、平方根，分式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握分式和实数混合运算顺序和运算法则．
14. 如图，在菱形中，是对角线，，，是边的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

（1）如图1，在上找一点，使的周长最短．
（2）如图2，上找一点，作线段，使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用菱形的性质可得到点A、C关于对称，则，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，从而得到此时的周长最短；
（2）连接交于O点，延长交于M点，再连接交于点N，接着延长交于F点，则F点为的中点，所以．
【小问1详解】
解：如图1，连接交于P点，
则点P为所作；
【小问2详解】
解：如图2，连接交于O点，延长交于M点，再连接交于点N，接着延长交于F点，
则为所作．

∵菱形中，，
∴是等边三角形，，
∵，
∴，
∴，则，
∵点O是的中点，是边的中点，
由菱形的对称性质，点M是边的中点，
∴点N是的重心，
∴点F是边的中点，
∴是的中位线，
∴．
【点睛】本题考查了作图-——复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等边三角形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理、重心的知识和最短路径问题．
15. 春节期间，某蔬菜经营户每天从蔬菜批发市场批发黄瓜和茄子共50千克到菜市场去卖，其中黄瓜和茄子每天的进价与售价如下表所示：
（1）某天该蔬菜经营户花了310元批发这两种蔬菜，求黄瓜和茄子各批发了多少千克．
（2）如果该蔬菜经营户每天所售的黄瓜重量不低于茄子的重量，那么应如何进货才能使获得的利润最大？
【答案】（1）黄瓜和茄子分别批发了40、10千克；
（2）每天黄瓜和茄子各进25千克利润最大．
【解析】
【分析】（1）已知黄瓜和茄子的总质量及进货总金额，用二元一次方程求得各批发了多少千克；
（2）根据黄瓜重量不低于茄子的重量，求得m取值的范围，求最大利润可用一次函数求最大值解决．
【小问1详解】
解：设黄瓜和茄子各批了x，y千克，根据题意可得：
，解得：．
答：黄瓜和茄子分别批发了40、10千克；
【小问2详解】
解：设黄瓜每天售出m千克．如果每天所售的黄瓜重量不低于茄子的重量，
则有：，
解得：．
用S表示每天获得和利润，根据题意可列出S与m的关系式：
，
由关系式可知，S随m的增大而减小，
∴当时，最大．
答：每天黄瓜和茄子各进25千克利润最大．
【点睛】本题考查了二元一次方程或一元一次方程的解法及应用以及一次函数的性质及应用．需要充分理解函数对变化过程的刻画，理解函数值随自变量的变化而变化．
16. 某校组织开展运动会，小明和扎西两名同学准备从100米短跑（记为项目A）、800米中长跑（记为项目B）、跳远（记为项目C）、跳高（记为项目D），即从A，B，C，D四个项目中，分别选择一个项目参加比赛．
（1）小明选择“铅球”项目是___________事件，选择“跳远”项目是___________事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；小明选择“跳远”项目的概率是___________；
（2）请用画树状图或列表法求两名同学选到相同项目的概率．
【答案】（1）不可能，随机，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据不可能事件、随机事件的概念及概率公式求解即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
小明选择“铅球”项目是不可能事件；
选择“跳远”项目是随机事件；
小明选择“跳远”项目的概率是；
故答案为：不可能，随机，；
【小问2详解】
画树状图如下：
由树状图知，共有16种等可能结果，其中两名同学选到相同项目的有4种结果，
所以两名同学选到相同项目的概率为．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17. 如图， 是的中位线，延长 至点 ，使 ，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形．
（2）若，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）为直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，求出，根据平行四边形的判定可得结论；
（2）根据平行四边形的性质和三角形中位线定理求出，可得，，然后利用三角形内角和定理求出即可．
【小问1详解】
证明：是的中位线，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：为直角三角形；
理由：四边形是平行四边形，
，
，
，
是的中位线，
．
，
∴，，
∵，
∴，即，
为直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
四．（本大题3小题，每小题8分，共24分）
18. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．

（1）求的长．
（2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答；
（2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小即可解答．
【小问1详解】
解：如图，过点B作于点E，
在中，
∴，
中，，，
∵，
∴．
答：．
【小问2详解】
解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H，
在中，，
∴，
∴，
在中，,
∴，
∴，
∴，即云梯大约旋转了．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键．
19. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴正半轴交于B点，与反比例函数交于点C，且，轴交反比例函数于点D．

（1）则__________， _________；
（2）若点E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作，交反比例函数于点F．若，求m的值．
【答案】（1）3，18
（2）1或
【解析】
【分析】（1）将点代入一次函数求出的值，然后根据求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式；
（2）将点横坐标代入，求出纵坐标，根据即可知道的纵坐标，代入反比例函数的解析式，求出的横坐标，即可表示出的长度，同理将点纵坐标代入反比例函数求出点横坐标，从而表示出的长，根据列方程即可求解的值．
【小问1详解】
解：作轴于，如图所示：

轴
∴，，
，
直线经过点，
，
解得，
直线解析式为：，
，
，
，，
点坐标为，
将点坐标代入，
得．
故答案为：3，18；
【小问2详解】
轴，
点的纵坐标为3，代入，
得，
点坐标为，
将点横坐标代入，
得，
，
点纵坐标为，
代入，
得，
点坐标为，，
，
，
当时，
解方程得或，
当时，
解方程得，
点为射线上一点，
或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，用坐标表示线段长度，然后列方程是解决这类试题的关键．
20. 如图1，已知，点O在射线上，且．以点O为圆心，为半径作，交直线于点D，E．

（1）当与只有两个交点时，r的取值范围是________．
（2）当时，将射线绕点B按顺时针方向旋转．
①若与相切，求的度数为多少；
②如图2，射线与交于M，N两点，若，求阴影部分的面积．
【答案】（1）或
（2）①或；②
【解析】
【分析】（1）根据题意，需要分两种情况：①在点D未到达点B前，与射线有两个交点；②当半径大于时，，圆O分别与射线，有一个交点，求出临界状态的r即可得出结论；
（2）①需要分成两种情况：当射线在射线的上方与相切时，当射线在射线的下方与相切时，分别求出对应的即可；
②连接，，过点O作于点，由垂径定理可知，，进而根据三角形的三边关系可得出，再利用弓形的面积公式可得出结论．
【小问1详解】
解：（1）根据题意，需要分两种情况：①在点D未到达点B前，与射线有两个交点．
如图1，当与相切于点G，连接，则， 比相切之前

∵，
∴，
∴，,
即此时,
只要半径，则只有两个交点；
②当半径大于时，⊙O分别与射线，有一个交点，
如图2，当点D刚好与点B重合，此时，

结合图形可知，r的取值范围为或r＞4；
【小问2详解】
解：①如图3，当射线在射线的上方与相切时，设切点为P，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，

如图4，当射线在射线的下方与相切时，
设切点为P，连接，
同理，
∴，

综上所述，当为或时，射线与相切；
②如图5，连接，，过点O作于点，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定、垂径定理、解直角三角形以及扇形面积的计算方法，关键是求出的度数．
五．（本大题2小题，每小题9分，共18分）
21. 已知：平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A，交x轴正半轴于点，连接AB．
（1）如图1，求该抛物线的解析式；
（2）如图2，P为抛物线第一象限上一点，连接PA、PB，设点P 的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PO并延长至点E，交AB于点C，取x轴负半轴上一点D，连接DE、BE，若，，，求P点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把点B代入解析式求解即可；
（2）根据题意可设，过P作轴，延长MP，过B作，根据面积公式即可求解；
（3）作于H，交EB延长线于M，交BD于N，于K，设，得到，通过计算证明，得到，再计算出，，即可得解．
【小问1详解】
把B代入解析式得，
解得（舍去）或，
∴ 解析式为；
【小问2详解】
过P作轴，延长MP，过B作于点N，如图所示，
设P点横坐标为t，则，
由（1）可得，
∴，，
∴，，，
∴，
，
，
，
∴；
【小问3详解】
作于H，交EB延长线于M，交BD于N，于K；
设，
∴.
∵，
又，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴与联立得，
∴，
∴.
【点睛】本题主要考查了二次函数解析式求解，二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．
22. ●问题发现
如图1，和都是等边三角形，边和在同一直线上，是边的中点，，连接，则下列结论正确的是__________．（填序号即可）
①；②；③；④整个图形是轴对称图形．
●数学思考
将图1中的绕着点旋转，不动，连接和，如图2，则和具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
●拓展应用
已知，，在图1中的绕着点旋转的过程中，当时，求线段的长度．
【答案】问题发现：①③④
数学思考：，，理由见解析
拓展应用：
【解析】
【分析】●问题发现：由等腰三角形的性质判断①，作辅助线构造三角形判断②，由过一点有且只有一条直线垂直于已知直线判断③，由③的结论可以判断④；
●数学思考：连接，，由是等边三角形可得，，，，然后证明，进而证明结论；
●拓展应用：分两种情况利用勾股定理解题即可．
【详解】解：●问题发现：
∵是边的中点，是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，所以①正确；
过D作交于点G，
∴
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴,所以②不正确；
连接，
∵和都是等边三角形，
∴,
∵
∴，
∴三点共线，即，所以③正确；
由③可知整个图形关于直线成轴对称图形，所以④正确；
故答案为：①③④．
●数学思考：，．理由如下：
连接，，由图1，，，
可得．绕着点旋转，
仍然成立．∵是等边三角形，
∴，．
∴．
同理，，．
∴，．
∴．
∴．
∴，．
延长交于点，交于点，
又，∴．
∴．
∴．
●拓展应用
当时，∵，∴，，三点共线．
如备用图1，
设，则．∵，
∴在中，．
解之得：．又，
∴
即．
如备用图2．
设，则．∵，
∴中，．
解之得：．
又，∴
即．
综上所述，．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质和旋转的性质是解题的关键．
六、解答题（本小题12分）
23. 如果一条抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a，b，c]称为“抛物线系数”．
(1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是 (填“真”或“假”)命题；
(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为 ；
(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；
(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上是否存在一点P，过P作PQ⊥x轴于点Q，使得△BPQ∽△OAB？如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）假；（2）；（3）y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x；（4）P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3）或（－1，1）．
【解析】
分析】（1）当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点，由此可得出结论；
（2）根据“抛物线三角形”定义得到，由此可得出结论；
（3）根据“抛物线三角形”定义得到y＝－x2＋2bx，它与x轴交于点（0，0）和（2b，0），当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形，由抛物线顶点为（b，b2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，解方程即可得到结论；
（4）分两种情况讨论：①当抛物线为y＝－x2＋2x 时，②当抛物线为y＝－x2－2x 时．
【详解】解：（1）当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；
（2）由题意得：，令y=0，得：x=，
∴ S==；
（3）依题意：y＝－x2＋2bx，它与x轴交于点（0，0）和（2b，0）；
当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．
∵y＝－x2＋2bx=，
∴顶点为（b，b2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：，
∴，解得：b＝0（舍去）或b＝±1，
∴y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x．
（4）①当抛物线为y＝－x2＋2x 时．
∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，
∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2＋2a），
∴Q（a，0），
则｜－a2＋2a｜＝｜2－a｜，即．
∵a－2≠0，∴，∴a=±1，∴P（1，1）或（－1， －3）．
②当抛物线为y＝－x2－2x 时．
∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，
∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2－2a），∴Q（a，0），
则｜－a2－2a｜＝｜2+a｜，即．
∵a+2≠0，∴，∴a=±1，∴P（1，－3，）或（－1，1）．
综上所述：P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3，）或（－1，1）．
【点睛】本题是二次函数综合题，相似三角形的性质．考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义．解题的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论．类别
价格
黄瓜
茄子
进价/（元/千克）
6
7
售价/（元/千克）
10
12