陕西省榆林市第七中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份陕西省榆林市第七中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共21页。试卷主要包含了本试卷分为第一部分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 计算的值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：．
故选：A．
2. 下列四个几何体中，左视图是矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．根据左视图是从左面看到的视图，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A． 球的左视图是圆，不符合题意；
B． 这个三棱柱的左视图是三角形，不符合题意．
C．圆锥的左视图是等腰三角形，不符合题意；
D． 圆柱的左视图是矩形，符合题意；您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高故选：D．
3. 如图，已知，若，，则的长为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据，得到，再根据进行等量代换，即可解题．
【详解】解：，
，
，
，即，
，
，
，
，
故选：B．
4. 一个盒子中装有a个白球和4个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在，估计a的值为（ ）
A. 40B. 30C. 16D. 50
【答案】C
【解析】
【分析】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在得到比例关系，列出方程求解即可．
【详解】解：由题意可得，，
解得，．
经检验，是分式方程的解且符合题意，
故选：C．
5. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线顶点坐标是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查的是二次函数的图像的平移，掌握函数图像平移的法则“上加下减，左加右减”是解答本题的关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的解析式为，
∴得到的抛物线顶点坐标是．
故选A．
6. 如图，是周长为36的等腰三角形，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，掌握等腰三角形的性质和三角形的周长，直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
过点A作，先利用，，求得，再利用三角形的周长公式求出，最后利用直角三角形的边角间关系得结论．
【详解】解：过点A作，垂足为D，
∵，，
∴，
∵是周长为36的等腰三角形，
∴，
在中，
∴，
∴．
故选：C．
7. 如图，的半径弦于点，联结并延长交于点，联结．已知．则的长为（ ）

A. 8B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设半径为r，根据勾股定理列方程求出半径r，由勾股定理依次求和的长．
【详解】解：连接，

设半径为r，则，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
由勾股定理得：，
在中，．
故选：B．
【点睛】本题考查的是垂径定理及圆周角定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
8. 当时，二次函数有最大值，则实数的值为( )
A. B. 或C. 或D. 或或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质；求出二次函数对称轴为直线，再分，，三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
【详解】解：二次函数对称轴为直线x=m，
①时，取得最大值，
解得；
②时，取得最大值为，不合题意；
③时，取得最大值，，
解得．
故选：C．
第二部分（非选择题共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的解，根据解的定义把方程的解代入方程，即可得到的值．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根，
∴，
解得，
故答案为 ：
10. 一个正多边形的边长为2，中心角为，则这个正多边形的周长是______．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角：n边形的外角和为．一个正多边形的每个内角都相等，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以中心角为就可以求出多边形的边数，即可得到结论．
【详解】解：∵多边形的边数为：，
则这个多边形是八边形，
∴这个多边形的周长，
故答案为：16．
11. 已知，它们的面积分别为9和16，若，则的长为________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质可知，然后问题可求解．
【详解】解：∵，它们的面积分别为9和16，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为4．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
12. 如图，点、在反比例函数（为常数且的图象上，轴于点，轴于点，连接、，则与重叠部分（阴影部分）的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定与性质，根据题意可以得到点和点的坐标，然后根据轴于，轴于，可以得到，然后根据对应边的比相等，可以求出的长，从而可以求得，与重叠部分的面积，熟练掌握反比例函数的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】如图，设与交于点，
∵、在反比例函数图象上，
∴，解得，，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
，
∴与重叠部分（阴影部分）的面积为，
故答案为：．
13. 如图，在矩形中，，，点是边上的动点，连接，点是点关于直线的对称点，连接、，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质、轴对称的性质和圆的性质，连接，以点为圆心，为半径作圆，交于点，则即为所求．解题的关键是确定点的位置．
【详解】解：连接，以点为圆心，为半径作圆，交于点，
此时点、、三点共线，则的最小值为，
∵四边形为矩形，，，
∴，，
∴，
∵点和点关于对称，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 解方程: .
【答案】-1；
【解析】
详解】试题分析：运用公式法求解即可.
试题解析：∵2x2-x-3=0
在这里,a=2，b=-1，c=-3
b2-4ac=(-1)2-4×2×(-3)=25>0
∴x=
即：x1=-1；x2=.
15. 如图，在正方形中，，以点为圆心，长为半径画弧，求阴影部分的面积（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形面积计算，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式，用正方形的面积减去扇形面积即可得出阴影部分的面积．
【详解】解：由题意可得
，
阴影部分的面积为．
16. 已知反比例函数为常数且），若在每个象限内，函数值随的增大而减小，求的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质得到，解不等式即可得到的取值范围．
【详解】解：反比例函数在每个象限内，函数值随的增大而减小，
，
解得，
的取值范围是．
17. 如图，已知点A、、不在同一条直线上，请用尺规作图法作经过A、、三点的．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图—三角形的外接圆，连接得到，分别作线段、的垂直平分线交于点O，然后以O点为圆心，为半径作圆即可．
【详解】解：如图所示，即为所求．
18. 如图，在中，点E，F分别在，上，连接，，，若，．求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
．
，，
，，
∴，
．
在和中，
，
，
，
四边形是菱形．
19. 随着人类社会的发展，青少年应亲近大自然．某中学为了能够让学生感受大自然的美好和大千世界的美妙，于是在校内开展了以自然与社会为主题的选修课．已知有四个课题A．《草虫春秋》，B．《中华鸟兽》，C．《山河故人》，D．《文明外传》都深受学生欢迎，但需要从中选择2个课题作为本学期选修课的课程，于是将写有这四个编号的卡片（除编号和内容外，其余完全相同）背面朝上放置，洗匀放好，从中先随机抽取一张卡片不放回，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张．
（1）第一次抽中的卡片上的课题是B．《中华鸟兽》的概率是______；
（2）请用列表或画树状图的方法，求两次抽到的两张卡片中恰好有一张的课题是A．《草虫春秋》的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．
（1）根据概率公式进行计算即可；
（2）利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可．
【小问1详解】
解：第一次抽中的卡片上的课题是B．《中华鸟兽》的概率是．
故答案为：．
小问2详解】
解：画树状图如下：
∵由图可知共有12种等可能的结果，其中两次抽到的两张卡片中恰好有一张的课题是A．《草虫春秋》的有6种，
两次抽到的两张卡片中恰好有一张的课题是A．《草虫春秋》的概率为：．
20. 某校组织活动，一小组需在室外搭建临时木屋，板对地面的压强p（）是木板面积S（）的反比例函数，其图象如图所示，当木板的压强为500时，求木板的面积．
【答案】当木板的压强为时，木板的面积为
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出，再求出时，S的值即可．
【详解】解：设木板对地面的压强与木板面积之间的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
木板对地面的压强与木板面积之间的函数表达式为，
当时，有，
解得，
当木板的压强为时，木板的面积为．
21. 如图，在处有一灯塔，一艘轮船位于灯塔南偏东方向，距离灯塔45海里的处，该轮船沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，求此时轮船与灯塔的距离．（参考数据：，，）
【答案】此时轮船与灯塔的距离约为75海里
【解析】
【分析】由题意可知，，，，可求，，在中应用正弦函数即可求解，本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：掌握锐角三角函数的定义．
【详解】解：如图所示标注字母，
根据题意得：，，，，
，，
在中，
（海里），
故答案为：此时轮船与灯塔的距离约为75海里．
22. 某服装店于12月初购进了一批保暖衣．在销售中发现：该保暖衣平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件保暖衣每降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种保暖衣能盈利1200元，又能尽快减少库存，求每件保暖衣应降价多少元？
【答案】每件保暖衣应降价20元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件保暖衣降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，利用总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽量减少库存，即可确定结论．
【详解】解：设每件保暖衣降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽量减少库存，
．
答：每件保暖衣应降价20元．
23. 学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶E、标杆顶端A、大楼顶端C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF=1.5米，“标杆”AB=2.5米，BD=23米，FB=2米，EF、AB、CD均垂直于地面BD．求大楼的高度CD．
【答案】大楼的高度CD为14米．
【解析】
【分析】过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形．利用相似三角形的性质求出CH，可得结论．
【详解】解：如图，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形．
∴EF=BJ=DH=15米，BF=EJ=2米，DB=JH=23米，
∵AB=2.5米．
∴AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1（米），
∵AJ∥CH，
∴△EAJ∽△ECH，
∴，
∴，
∴CH=12.5（米），
∴CD=CH+DH=12.5+1.5=14（米）．
答：大楼高度CD为14米．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
24. 如图，AB是的直径，点D在直径AB上，，，连接CB，与相交于点F，过点F作的切线EF，交CD于点E．
（1）求证：；
（2）若点D是OA的中点，，求BF的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用切线性质得到，然后等量代换求出等角推出等边即可．
（2）先利用勾股定理求出边长，然后利用相似三角形的相似比代换出边长求解即可．
【小问1详解】
连接OF，
∵是圆切线，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
连接AF，
∵AB是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
【点睛】此题考查圆的综合应用，解题关键是找到等角证明边等，使用勾股定理求边长，然后找出相似三角形，利用相似比求出边长．
25. 冬季来临之前，学校劳动社团的同学打算为蔬菜基地设计一款蔬菜大棚，大棚使用钢结构的骨架，上面覆上一层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，该大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中．同学们在平面直角坐标系内进行设计，以O点为原点，所在直线为x轴，的中垂线为y轴，抛物线顶点E的坐标为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，为了让大棚通风，同学们设计了两个正方形通风孔和，设计，求两个通风孔之间的间距的长．
【答案】（1）抛物线的解析式为
（2）两个通风孔之间的间距的长为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．
（1）根据顶点，设抛物线的解析式为，根据矩形的性质得出点代入，求出，即可得出解析式；
（2）根据，，得出点和点R的纵坐标为，求出时x的值，即可得出，即可解答．
【小问1详解】
解：∵抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
∵四边形为矩形，为的中垂线，
∴，
∵，
∴点，代入，得：，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：∵，，
∴点和点R的纵坐标为，
令，则，
解得，
∴，
∵，
∴．
∴两个通风孔之间的间距的长为．
26. 【问题提出】
（1）如图1，在四边形中，，点是上一点，连接、，若，求证：；
【问题探究】
（2）如图2，在中，，点是上一点，过点作交于点，若，，，求的值；
【问题解决】
（3）如图3，四边形是某公园的一块空地，，分别沿、修两条小路，并在区域内栽种竹子，其余部分进行绿化，已知，，，求栽种竹子的面积（即的面积）．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）栽种竹子的面积（即的面积）为
【解析】
【分析】（1）由，得，可证明；
（2）过点作于点，根据（1）的方法可得，得，由，进而求出，再由勾股定理求出；即可得.
（3）过点作于点，过点作，交的延长线于点，根据（1）的方法可得，得，求出，
由求出面积．
本题考查了相似三角形的判定和性质，涉及三角函数、三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形型相似）．
【详解】（1）证明：，，
，，
．
，
．
（2）解：过点作于点，
，，，根据（1）的方法可得，
．
在，，
．
，
．
在中，，，
，
．
（3）解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，
，，，
根据（1）的方法可得，
，
，，，
．
在中，，
．
，
，
，
故栽种竹子的面积（即的面积）为．