2023-2024学年四川省宜宾市兴文二中高三（上）期末数学试卷（理科）（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省宜宾市兴文二中高三（上）期末数学试卷（理科）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={1,3, m}，B={1,m}，A∪B=A，则m=( )
A. 0或 3B. 0或3C. 1或 3D. 1或3
2.i为虚数单位，则2i31−i的虚部为( )
A. −iB. iC. −1D. 1
3.已知α是第二象限的角，tan(π+α)=−34，则sin2α=( )
A. 1225B. −1225C. 2425D. −2425
4.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是( )
A. 若m⊥n，m⊥α，则n/​/α
B. 若m/​/n，m/​/α，n⊄α，则n/​/α
C. 若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
D. 若m/​/α，α/​/β，则m//β或m⊂β
5.二项式(2 x−x2)5的展开式中，常数项为( )
A. −80B. 80C. −160D. 160
6.在△ABC中，角A的平分线交边BC于D，AB=4，AC=8，BD=2，则△ABD的面积是( )
A. 15B. 3 15C. 1D. 3
7.函数f(x)=csx⋅ln( x2+1−x)在[−1,1]的图象大致为( )
A. B.
C. D.
8.将函数f(x)= 3sin2x−cs2x向左平移π6个单位，得到g(x)的图象，则g(x)满足( )
A. 图象关于点(π12,0)对称，在区间(0,π4)上为增函数
B. 函数最大值为2，图象关(π3,0)于点对称
C. 图象关于直线x=π6对称，在[π12,π3]上的最小值为1
D. 最小正周期为π，g(x)=1在[0,π4]有两个根
9.已知实数a>0，b>1满足a+b=5，则2a+1b−1的最小值为( )
A. 3+2 24B. 3+4 24C. 3+2 26D. 3+4 26
10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[−0.5]=−1，[1.5]=1，已知函数f(x)=4x−12−3⋅2x+4(00时，f(x)是否存在两个极值点，若存在，求实数a的最小整数值；若不存在，请说明理由．
22.(本小题10分)
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为：x=−2+ 22ty= 22t，(t为参数).P点的极坐标为(2,π)，曲线C的极坐标方程为ρcs2θ=sinθ．
(Ⅰ)试将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C的焦点在直角坐标系下的坐标；
(Ⅱ)设直线l与曲线C相交于两点A，B，点M为AB的中点，求|PM|的值．
23.(本小题12分)
设函数f(x)=|x−a|．
(1)若关于x的不等式f(x)+b1，所以b−1>0，
又满足a+b=5，
则2a+1b−1=(2a+1b−1)[a+(b−1)]×14，
=14[3+2(b−1)a+ab−1]≥14(3+2 2)，
当且仅当2(b−1)a=ab−1，即a=8−4 2，b=4 2−3时取等号，
故选：A．
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】B
【解析】解：令t=2x∈(1,4)，则f(t)=12t2−3t+4,t∈(1,4)，
由二次函数的图象及性质可知，
当t∈(1,4)时，f(t)∈[−12,32),
即函数f(x)的值域为[−12,32),
∴[f(x)]∈{−1,0,1}．
故选：B．
先利用换元思想求出函数f(x)的值域，再根据定义求得函数y=[f(x)]的值域．
本题考查函数值域的求法，属于基础题．
11.【答案】A
【解析】解：由题意，抛物线y2=4x的焦点坐标为F(p2,0)，
设P(y022p,y0)，M(x,y)，
因为PM=MF，即M为线段PF的中点，所以x=12(p2+y022p)=p4+y024p，y=y02，
所以直线OM的斜率kOM=y02p4+y024p=2py0+y0p≤22 py0×y0p=1，
当且仅当py0=y0p，即y0=p时等号成立，
所以直线OM的斜率的最大值为1．
故选：A．
设P(y022p,y0)，因为PM=MF，得到x=p4+y024p，y=y02，利用直线的斜率公式，得到kOM=y02p4+y024p=2py0+y0p，结合基本不等式，即可求解．
本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档题．
12.【答案】C
【解析】解：f(x)=2ex−a(x−1)2=0，
x=1时不成立，
x≠1时，化为：a=2ex(x−1)2=g(x)(x≠1)．
g′(x)=2ex(x−3)(x−1)3．
可得：x0，函数g(x)单调递增；
12 155．
【解析】(Ⅰ)推导出EF/​/PD，BF/​/AD，由此能证明平面APD/​/平面BEF．
(Ⅱ)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出k的取值范围．
本题考查面面垂直的证明，考查实数的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：猜中一道“科技“类试题记作事件A，猜错一道”科技“类试题记作事件A−；猜中一道”生活“类试题记作事件B，猜错一道”生活“类试题记作B−，
则P(A)=0.5，P(A−)=0.5，P(B)=0.6，P(B−)=0.4．
(1)若职工甲选择方案1，通过竞猜的概率为：P(X=4)=P(A)+P(A−BB)=0.5+0.5×0.6×0.6=0.68；
若职工甲选择方案2，通过竞猜的概率为：P(X=4)=P(BB)+P(B−BB)+P(BB−B)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648．
因为0.68>0.648，所以职工甲选择方案1，通过竞猜的可能性大．
(2)职工甲选择方案1，所得平均分高，理由如下：
若职工甲选择方案1，X的可能取值为0，2，4，
则P(X=0)=P(A−B−B−)=P(A−)P(B−)P(B−)=0.5×0.4×0.4=0.08；
P(X=2)=P(A−BB−)+P(A−B−B)=P(A−)P(B)P(B−)+P(A−)P(B−)P(B)=×0.5×0.6×0.4=0.24；
P(X=4)=0.68，
数学期望E(X)=0×0.08+2×0.24+4×0.68=3.2．
若职工甲选择方案2，X的可能取值为0，2，4，
则P(X=0)=C30×0.43=0.064，
P(X=2)=C31×0.6×0.42=0.288，
P(X=4)=0.648，
数学期望E(X)=0×0.064+2×0.288+4×0.648=3.168，
因为3.2>3.168，所以职工甲选择方案1所得平均分高．
【解析】(1)利用相互独立事件的概率公式计算概率比较可得；
(2)计算两种方案下的期望比较可得．
本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．
20.【答案】解：(I)由题意可得：2b=4 2，ca=13，a2=b2+c2．
联立解得：b=2 2，c=1，a=3．
∴椭圆C的标准方程为：x29+y28=1．
(II)A(−3,0)，B(3,0)，F1(−1,0)，F2(1,0)，
设F1M的方程为：x=my−1，M(x1,y1)，(y1>0)，直线F1M与椭圆的另一个交点为M′(x2,y2).
∵F1M/​/F2N，根据对称性可得：N(−x2,−y2).
联立8x2+9y2=72x=my−1，化为：(8m2+9)y2−16my−64=0，
∴y1+y2=16m8m2+9，y1y2=−648m2+9，
∵3k1+2k2=0，∴3y1my1+2+2y2my2+2=0，即5my1y2+6y1+4y2=0，
联立解得：y1=128m8m2+9，y2=−112m8m2+9，
∵y1>0，y20．
∴y1y2=128m8m2+9⋅−112m8m2+9=−648m2+9，∴m= 612．
∴直线F1M的方程为x= 612y−1，即2 6x−y+2 6=0．
【解析】(I)由题意可得：2b=4 2，ca=13，a2=b2+c2.联立解出即可得出椭圆C的标准方程．
(II)A(−3,0)，B(3,0)，F1(−1,0)，F2(1,0)，设F1M的方程为：x=my−1，M(x1,y1)，(y1>0)，直线F1M与椭圆的另一个交点为M′(x2,y2).由F1M/​/F2N，根据对称性可得：N(−x2,−y2).直线方程与椭圆方程联立化为：(8m2+9)y2−16my−64=0，根据根与系数的关系及其3k1+2k2=0，3y1my1+2+2y2my2+2=0，联立解得m．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21.【答案】解：(1)函数导数f′(x)=xex−ax2+x，
当a=0时，f(x)=(x−1)ex+12x2，f(1)=12，
f′(x)=xex+x，f′(1)=e+1，即在点(1,12)处的切线斜率k=e+1，
则对应的切线方程为y−12=(e+1)(x−1)即y=(e+1)x−e−12．
(2)当x>0时，若f(x)存在两个极值点，
则f′(x)=0有两个不同的解，
即f′(x)=xex−ax2+x=0，ex−ax+1=0有两个根，
即ex+1=ax有两个不同的根，
设h(x)=ex+1，h′(x)=ex，设切点(m,em+1)，
则h′(m)=em，
即过原点的切线方程为y−(em+1)=em(x−m)，
即y=emx−mem+em+1
当x=0，y=0时，−mem+em+1=0，
设g(m)=−mem+em+1，
则g′(m)=−mem0，g(2)=−2e2+e2+1=−e2+1em时，y=ex+1和y=ax有两个交点，
∵m∈(1,2)，∴em∈(e,e2)，
∴当a=3时，y=3x与h(x)没有交点，
当a=4时，y=3x与h(x)有两个交点，
即当x>0时，f(x)是存在两个极值点，此时最小的a的整数值为4
【解析】(1)求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程．
(2)求函数的导数，结合极值与导数之间的关系，转化为f′(x)=0有两个不同的根，构造函数结合导数的几何意义转化求切线，利用数形结合进行求解即可．
本题主要考查导数的几何意义以及函数极值的应用，求出函数的导数，结合导数的应用是解决本题的关键．考查学生的运算推理能力．
22.【答案】解：(Ⅰ)把x=ρcsθ，y=ρsinθ代入ρcs2θ=sinθ，可得曲线C的直角坐标方程为x2=y，
它是开口向上的抛物线，焦点坐标为(0,14)．
(Ⅱ)点P的直角坐标为(−2,0)，它在直线l上，在直线l的参数方程中，
设点A，B，M对应的参数为t1，t2，t0，由题意可知t0=t1+t22．
把直线l的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，得t2−5 2t+8=0．
因为△=(5 2)2−4×8=18>0，
所以t1+t2=5 2, 则|PM|=|t0|=5 22．
【解析】(Ⅰ)把x=ρcsθ，y=ρsinθ代入曲线C的方程ρcs2θ=sinθ，可得曲线C的直角坐标方程．
(Ⅱ)设点A，B，M对应的参数为t1，t2，t0，由题意可知t0=t1+t22.把直线l的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，利用韦达定理求得t1+t2的值，可得|PM|=|t0|的值．
本题主要考查参数方程和极坐标的应用，参数的几何意义，属于基础题．
23.【答案】(1)解：由f(x)+b>0得，|x−a|