2023-2024学年湖南省长沙市重点中学高三（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市重点中学高三（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合U={1,2,4,6,8}，集合M={x|x2−3x+2=0}，N={x|x=4a,a∈M}，则∁U(M∪N)=( )
A. {6}B. {4,6,8}C. {1,2,4,8}D. {1,2,4,6,8}
2.设复数z满足1+z1−z=−i，则|z|=( )
A. iB. 22C. 1D. 2
3.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是
( )
A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C. 若m⊥α，m⊥n，则n//αD. 若m//α，m⊥n，则n⊥α
4.已知向量a=(lg23,sin4π3)，b=(lg38,m)，若a⊥b，则m=( )
A. −2 3B. − 3C. 2 3D. 3 2
5.函数f(x)的数据如表，则该函数的解析式可能形如( )
A. f(x)=ka|x|+bB. f(x)=kxex+b
C. f(x)=k|x|+bD. f(x)=k(x−1)2+b
6.甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以A1，A2分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是( )
A. A1，A2互斥B. P(B|A1)=57C. P(A2B)=17D. P(B)=1321
7.已知等差数列{an}(公差不为0)和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，如果关于x的实系数方程1003x2−S1003x+T1003=0有实数解，那么以下1003个方程x2−aix+bi=0(i=1,2,…1003)中，有实数解的方程至少有个．( )
A. 499B. 500C. 501D. 502
8.已知O为坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为 62，点P(x1,y1)是C的右支上异于顶点的一点，过F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足是M，|MO|= 2，若双曲线C上一点T满足F1T⋅F2T=5，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为( )
A. 2 2B. 2 3C. 2 5D. 2 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据：12，31，24，33，22，35，45，25，16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是( )
A. 中位数不变B. 平均数不变C. 方差不变D. 第40百分位数不变
10.已知函数f(x)=sinωx+ 3csωx(ω>0)满足：f(π6)=2，f(2π3)=0，则( )
A. 曲线y=f(x)关于直线x=7π6对称B. 函数y=f(x−π3)是奇函数
C. 函数y=f(x)在(π6,7π6)单调递减D. 函数y=f(x)的值域为[−2,2]
11.如图所示，有一个棱长为4的正四面体P−ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 直线AE与PB所成的角为π2
B. △ABE的周长最小值为4+ 34
C. 如果在这个容器中放入1个小球(全部进入)，则小球半径的最大值为 63
D. 如果在这个容器中放入4个完全相同的小球(全部进入)，则小球半径的最大值为2 6−25
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在二项式(x−1)(2x+1x)6的展开式中，常数项为______．
13.已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为______时，圆锥的体积最大，最大值为______．
14.对于任意两个正实数a，b，定义a⊗b=λ⋅ab，其中常数λ∈( 22,1).若u≥v>0，且u⊗v与v⊗u都是集合{x|x=n2,n∈Z}的元素，则u⊗v=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=x3−ax+a．
(1)若x=1是函数f(x)的极值点，求f(x)在(−1,f(−1))处的切线方程．
(2)若a>0，求f(x)在区间[0,2]上最大值．
16.(本小题15分)
如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠DAB=90°，cs= 22，cs=12，点M为BD中点．
(1)证明：B1M/​/平面A1C1D；
(2)求二面角B−AA1−D的正弦值．
17.(本小题15分)
一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.(1)求第2次摸到红球的概率；
(2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为P1；第1次摸到红球的概率为P2；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为P3；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为P4.求P1，P2，P3，P4；
(3)对于事件A，B，C，当P(AB)>0时，写出P(A)，P(B|A)，P(C|AB)，P(ABC)的等量关系式，并加以证明．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且点(1,−32)在椭圆上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，若一条斜率不为0的直线过点(−1,0)与椭圆交于M，N两点，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线BN的斜率为k1，直线AM的斜率为k2，求证：k12+k22k1⋅k2为定值．
19.(本小题17分)
约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数m(m≠0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．
设正整数a共有k个正约数，即为a1，a2，…，ak−1，ak(a1