江西省部分学校2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题

这是一份江西省部分学校2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题，共11页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本类命题范围，若函数，已知，且，则的最小值为，已知等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写整齐.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本类命题范围：北师大版必修第一册，必修第二册第一章第1节第4节.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.下列命题为真命题的是（ ）
A.大于90°的角都是钝角B.锐角一定是第一象限角
C.第二象限角大于第一象限角D.若，则是第二或第三象限的角
3.德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过的最大整数，例如，.定义符号函数则（ ）
A.B.C.1D.2
4.2023年10月26日神舟十七号载人飞船成功发射，某校举办航天知识竞赛，竞赛设置了，，三道必答题目.已知某同学能正确回答，，题目的概率分别为0.8，0.7，0.5，且回答各题是否正确相互独立，则该同学最多有两道题目回答正确的概率为（ ）
5.已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上一点，且，则（ ）
A.B.3C.D.1
6.现有5张完全相同的卡片，分别写有字母，，，，，从中任取一张，看后再放回，再任取一张.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母为”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母为”，丙表示事件“两次抽取卡片的字母相邻”，丁表示事件“两次抽取卡片的字母不相邻”，则（ ）
A.乙与丁相互独立B.甲与丙相互独立C.丙与丁相互独立D.甲与乙相互独立
7.若函数（，为常数）在上有最大值7，则函数在上（ ）
A.有最小值B.有最大值5C.有最大值6D.有最小值
8.已知，且，则的最小值为（ ）
A.B.C.2D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知：，则成立的一个充分不必要条件是（ ）
A.B.C.D.
10.下图统计了第10～19届亚运会中国队获得的金牌数，则关于这10届中国队获得金牌数的结论正确的是（ ）
A.中国队获得金牌数的极差为105B.中国队获得金牌数的平均数小于155
C.中国队获得金牌数的75%分位数为183D.中国队获得金牌数的60%分位数为151
11.已知是定义在上的奇函数，且，若对于任意的，，都有，则（ ）
A.的图象关于点中心对称B.
C.在区间上单调递增D.在处取得最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若扇形的半径为4，弧长为16，则扇形圆心角的弧度数为______.
13.已知函数若存在，，且，使得，则的取值范围为______.
14.已知样本，，…，的平均数为6，方差为4，样本，，…，的平均数为8，方差为2，则新样本，，…，，，，…，的方差为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，角的终边经过点.
（1）求，的值
（2）求的值.
16.（本小题满分15分）
已知幂函数的图象过点.
（1）求实数的值；
（2）设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增.
17.（本小题满分15分）
某地区打造特色干果产业，助力乡村振兴.该地区某一干果加工厂，打算对干果精加工包装后通过直播平台销售干果，每月需要投入固定成本5万元，月加工包装万斤需要流动成本万元.当月加工包装量不超过10万斤时，；当月加工包装量超过10万斤时，.通过市场分析，加工包装后的干果每斤售价为12元，当月加工包装的干果能全部售完.
（1）求月利润关于月加工包装量的解析式；（利润＝销售收入－流动成本－固定成本）
（2）月加工包装是为多少万斤时，该厂获得的月利润最大？最大月利润是多少？（参考数据：）
18.（本小题满分17分）
比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，某比亚迪新能源汽车销售部为了了解广大客户对新能源汽车性能的需求，随机抽取200名用户进行了问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按，，，，分组，并绘制出了频率分布直方图如图所示.
（1）估计样本数据中用户年龄的中位数；
（2）销售部从年龄在，内的样本中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率.
19.（本小题满分17分）
已知（且）是指数函数.
（1）求关于的不等式的解集；
（2）求函数在区间上零点的个数.
江西高一下学期开学考·数学
参考答案、提示及评分细则
1. C 由，，得.故选C.
2. B ∵，但180°不是钝角，∴A是假命题；∵锐角的范围是，是第一象限角，B是真命题；是第二象限角，30°是第一象限角，，∴C是假命题；当时，，不是第二或第三象限的角，∴D是假命题.故选B.
3. D .故选D.
4. B ，，三道必答题目，该同学都回答正确的概率为，该同学最多有两道题目回答正确的概率为.故选B.
5. A 因为，是角终边上一点，所以，由三角函数的定义，得，解得（正值舍去）.故选A.
6. D 由题意可知，.有放回的抽取卡片两次的基本事件数为25，两次抽取卡片的字母相邻的基本事件为，，，，，，，，共8个，两次抽取卡片的字母不相邻的基本事件为个，，，显然丙与丁为对立事件，C错误；对于A，乙与丁同时发生的基本事件为，，，有3个，则，所以乙与丁不相互独立，A错误；对于B，甲与丙同时发生的基本事件，，有2个，则，所以甲与丙不相互独立，B错误；对于D，甲与乙同时发生的基本事件为，只有1个，则，所以甲与乙相互独立，D正确.故选D.
7. A 设，所以的定义域是，，所以是奇函数，由在上有最大值7，则在上有最大值6，所以在上有最小值，所以在上有最小值.故选A.
8. B ，当且仅当，即，时取得等号.故选B.
9. BD 由，解得，设：，成立的一个充分不必要条件为集合，则且，所以和都是的充分不必要条件.故选BD.
10. BC 这10届中国队获得金牌数的极差为，A错误；这10届中国队获得金牌数的平均数为，B正确；这10届中国队获得金牌数从小到大排列为：94，125，129，132，150，151，165，183，199，201，因为，所以中国队获得金牌数的75%分位数是183，C正确；因为，所以中国队获得金牌数的60%分位数为，D错误.故选BC.
11. BCD 由，得的图象关于直线对称，又是定义在上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称，由对称性可知，函数的图象关于点中心对称，再根据奇偶性可知，函数的图象关于点中心对称，A错误；由与，得，所以，B正确；因为对于任意的，，都有，所以在上单调递减，又函数的图象关于点中心对称，则在上单调递减，因为的图像关于直线对称，则在区间上单调递增，C正确；由上可知，在处取得最大值，，则在处取得最大值，D正确.故选BCD.
12. 4 设扇形的圆心角为，易知.
13. 作出函数的图象，如图所示，由图可知，且，所以，则，所以，故的取值范围为.
14. 4 由题意可知，，，，，样本，，…，，，，…，的平均数为，其方差为
.
15.解：（1）∵角的终边经过点.
∴，
∴，.
（2）原式
.
16.解：（1）由幂函数的定义可知，解得，
当时，，又的图象不过点，显然不满足题意；
当时，，将点代入得.
（2）由（1）可知，，则，
证明：任取，，且，
则
因为，所以，，则，，
所以，则，
所以，
则，即，
故在上单调递增.
17.解：（1）当时，
，
当时，.
所以
（2）当时，易知和在上均单调递增，
所以在上单调递增，
此时，；
当时，，
当且仅当，即时，取得等号.
因为，所以月加工包装量为15万斤时，该厂获得最大月利润为69万元.
18.解：（1）由频率分布直方图可知，年龄小于40岁的用户所占比例为，
年龄小于50岁的用户所占比例为，
所以中位数一定在内，由，
所以估计用户年龄的样本数据的中位数为45.
（2）由分层抽样的方法可知，抽取的8人中，年龄在内的有3人，分别记为，，；
年龄在内的有5人，分别记为，，，，；
则从这8人中随机抽取2人的样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28种；
记这2人取自不同年龄区间为事件，其包含样本点有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，
故这2人取自不同年龄区间的概率为.
19.解：（1）由指数函数的定义可知
解得（舍去），，所以.
由，得，
由在上单调递增，得，
整理得，
所以解得，
故不等式的解集为.
（2）由（1）得，
令，则，
令，因为，则，所以（），
设（），该函数图象的对称轴为，该函数在上单调递增，
在上单调递减，且，
作出函数与函数（）的图象，
由图可知，当或时，函数与函数（）的图象没有交点；
当或时，函数与函数（）的图像只有一个交点.
当时，函数与函数（）的图像有两个交点；
函数在区间上零点的个数等价于方程在区间上解的个数，
即函数与函数（）的图像的交点的个数.
综上可知，当或时，函数在区间上没有零点；
当或时，函数在区间上只有一个零点；
当时，函数在区间上有两个零点.