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山东省济南市章丘区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）
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本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器．
选择题部分 共40分
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 在实数，，，，中，无理数有（ ）个．
A B. C. D.
2. 三边为、、，且，则是（ ）
A. 以为斜边的直角三角形B. 以为斜边的直角三角形
C. 以为斜边的直角三角形D. 钝角三角形
3. 下列命题中，是真命题的为（ ）
A. 三角形的一个外角等于两内角之和B. 如果两个角相等，那么它们是对顶角
C. 直角三角形的两锐角互余D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
4. 如图所示，直线，则（ ）
A. B. C. D.
5. 有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的( )
A. 众数B. 中位数C. 平均数D. 极差
6. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有四个格点，，，，建立直角坐标系，使点点关于轴对称，且点与点的横坐标互为相反数，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点在第四象限，则直线图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
8. 我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当最小时，的面积是（ ）
A. 2B. 1C. 6D. 7
10. 已知两地相距600千米，甲乙两车分别从两地出发相向而行，甲出发1小时后乙才出发，两车相遇后，乙车沿原路原速返回，甲车以原速继续前行，两车到达地后都停止运动，如图两车之间的距离（千米）与甲车行驶时间（小时）如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A. 甲车的速度为60千米/小时B. 乙车的速度为75千米/小时
C. 甲车比乙车晚2小时到达地D. 两车相遇时距离地300千米
非选择题部分 共110分
二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 9平方根是_________．
12. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为__________．
13. 已知关于x，y的方程组的解x和y互为相反数，则k的值为_____．
14. 已知一组数据的方差计算如下：，则这组数据的和是______．
15. 如图，矩形纸片的长，宽，将其折叠，使点与点重合，那么折叠后的长为_____．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，……都在x轴上，点，，……都在同一条直线上，，，，，……都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是_____________．
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）
18. （1）
（2）
19. 如图所示，点B，E分别在上，均与相交，，，求证：．
20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请写出关于轴对称的的各顶点坐标；
（2）请画出关于轴对称的；
（3）在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点 ．
21. 在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线的长．
22. 期末，学校为了调查这学期学生课外阅读情况，随机抽样调查了一部分学生阅读课外书的本数，并将收集到的数据整理成如图的统计图．
（1）这次一共调查的学生人数是_______人；
（2）所调查学生读书本数的众数是_______本，中位数是_______本．
（3）若该校有800名学生，请你估计该校学生这学期读书总数多少本?
23. 明水古城某文创店准备购进一批清照文化纪念品．已知购进2件A纪念品和6件B纪念品共需180元，购进4件A纪念品和3件B纪念品共需135元．
（1）求A、B两种纪念品每件的进价．
（2）该店计划购进A、B两种纪念品共100件，且应厂家要求，A纪念品的购进数量最多40件．已知A纪念品每件售价为25元，B纪念品每件售价为30元．若该店全部售出这两种纪念品可获利W元，应该如何进货才能使该店获利最大？最大利润是多少元？
24. 如图，直线与轴交于点，直线交轴于点，交直线于点．
（1）求、和的值；
（2）求的面积；
（3）若动点是直线上一动点，当面积是的面积的时，求点的坐标．
25. 在中，，点D，E分别是边，上的两个定点，点P是平面内一动点，令，，．
初探：
（1）如图1，若点P在线段上运动，
①当时，则______；
②，，之间的数量关系为∶_______
再探：
（2）若点P运动到边的延长线上，交于F，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由．
拓展：
（3）当点P在的内部，且D，P，E不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论．
26. 【建立模型】
（1）如图1．等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证∶；
【模型应用】
（2）如图2．已知直线与轴交于点A，与轴交于点B，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线的函数表达式∶
（3）如图3，平面直角坐标系内有一点，过点B作轴于点A，轴于点C，点Q是线段上的动点，点是y轴右侧一动点．试探究能否成为以P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，直接写出所有符合要求的点P的坐标，若不能，请说明理由．
本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器．
选择题部分 共40分
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 在实数，，，，中，无理数有（ ）个．
A B. C. D.
2. 三边为、、，且，则是（ ）
A. 以为斜边的直角三角形B. 以为斜边的直角三角形
C. 以为斜边的直角三角形D. 钝角三角形
3. 下列命题中，是真命题的为（ ）
A. 三角形的一个外角等于两内角之和B. 如果两个角相等，那么它们是对顶角
C. 直角三角形的两锐角互余D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
4. 如图所示，直线，则（ ）
A. B. C. D.
5. 有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的( )
A. 众数B. 中位数C. 平均数D. 极差
6. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有四个格点，，，，建立直角坐标系，使点点关于轴对称，且点与点的横坐标互为相反数，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点在第四象限，则直线图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
8. 我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当最小时，的面积是（ ）
A. 2B. 1C. 6D. 7
10. 已知两地相距600千米，甲乙两车分别从两地出发相向而行，甲出发1小时后乙才出发，两车相遇后，乙车沿原路原速返回，甲车以原速继续前行，两车到达地后都停止运动，如图两车之间的距离（千米）与甲车行驶时间（小时）如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A. 甲车的速度为60千米/小时B. 乙车的速度为75千米/小时
C. 甲车比乙车晚2小时到达地D. 两车相遇时距离地300千米
非选择题部分 共110分
二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 9平方根是_________．
12. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为__________．
13. 已知关于x，y的方程组的解x和y互为相反数，则k的值为_____．
14. 已知一组数据的方差计算如下：，则这组数据的和是______．
15. 如图，矩形纸片的长，宽，将其折叠，使点与点重合，那么折叠后的长为_____．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，……都在x轴上，点，，……都在同一条直线上，，，，，……都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是_____________．
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）
18. （1）
（2）
19. 如图所示，点B，E分别在上，均与相交，，，求证：．
20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请写出关于轴对称的的各顶点坐标；
（2）请画出关于轴对称的；
（3）在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点 ．
21. 在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线的长．
22. 期末，学校为了调查这学期学生课外阅读情况，随机抽样调查了一部分学生阅读课外书的本数，并将收集到的数据整理成如图的统计图．
（1）这次一共调查的学生人数是_______人；
（2）所调查学生读书本数的众数是_______本，中位数是_______本．
（3）若该校有800名学生，请你估计该校学生这学期读书总数多少本?
23. 明水古城某文创店准备购进一批清照文化纪念品．已知购进2件A纪念品和6件B纪念品共需180元，购进4件A纪念品和3件B纪念品共需135元．
（1）求A、B两种纪念品每件的进价．
（2）该店计划购进A、B两种纪念品共100件，且应厂家要求，A纪念品的购进数量最多40件．已知A纪念品每件售价为25元，B纪念品每件售价为30元．若该店全部售出这两种纪念品可获利W元，应该如何进货才能使该店获利最大？最大利润是多少元？
24. 如图，直线与轴交于点，直线交轴于点，交直线于点．
（1）求、和的值；
（2）求的面积；
（3）若动点是直线上一动点，当面积是的面积的时，求点的坐标．
25. 在中，，点D，E分别是边，上的两个定点，点P是平面内一动点，令，，．
初探：
（1）如图1，若点P在线段上运动，
①当时，则______；
②，，之间的数量关系为∶_______
再探：
（2）若点P运动到边的延长线上，交于F，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由．
拓展：
（3）当点P在的内部，且D，P，E不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论．
26. 【建立模型】
（1）如图1．等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证∶；
【模型应用】
（2）如图2．已知直线与轴交于点A，与轴交于点B，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线的函数表达式∶
（3）如图3，平面直角坐标系内有一点，过点B作轴于点A，轴于点C，点Q是线段上的动点，点是y轴右侧一动点．试探究能否成为以P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，直接写出所有符合要求的点P的坐标，若不能，请说明理由．
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