山东省淄博市淄川区（五四制）2023-2024学年七年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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亲爱的同学们：
这份试题将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，老师会一直投给你信任的目光．请你认真审题，看清要求，仔细答题．祝你考出好成绩，为初二学年第一学期的期末数学学习画上圆满的句号！特别提醒：本次考试不允许使用计算器．
一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出你认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）
1. 如图，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（ ）
A. 图中有三个直角三角形B. ∠1=∠2C. ∠1和∠B都是∠A的余角D. ∠2=∠A
【答案】B
【解析】
【详解】本题主要考查了直角三角形的性质
在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，根据互余的性质及同角的余角相等，对各选项进行分析即可．
A、∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC，故本选项正确；
B、∵∠ACB=90°，∠1∠，故本选项错误；
C、∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∠1和∠B都是∠A的余角，故本选项正确；
D、∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∠2和∠A都是∠B的余角，∴∠2=∠A，故本选项正确；
故选B．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 无限小数是无理数B. 分数不是有理数
C. 有理数都是有限小数D. 面积为3的正方形的边长是无理数
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了实数中无理数的定义，以及算术平方根的应用．根据无理数的定义，以及无限小数的定义分析各选项即可作出判断．
【详解】解：A、无限不循环小数是无理数，原说法错误，故本选项不符合题意；
B、分数是有理数，原说法错误，故本选项不符合题意；
C、有理数都是有限小数或无限循环小数，故本选项不符合题意；
D、面积为3的正方形的边长是，是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
3. 将直角三角形的三条边长同时扩大3倍，得到的三角形是（ ）
A. 钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理得出，推出，得出，根据勾股定理的逆定理得出即可．
【详解】解：设原直角三角形的三边的长是、、，则，如图，
，
即，
将直角三角形的三条边长同时扩大3倍，得到的三角形还是直角三角形，
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
4. 若点A(2，n)在x轴上，则点B(n＋2，n－5)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵点A（2，n）在x轴上，
∴n=0，
∴点B（n+2，n-5）为（2，-5），在第四象限．
故选：D．
5. 直角三角形中一直角边长为7，另两边为连续自然数，则这个直角三角形的周长为（ ）
A. 24B. 25C. 56D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，设另两边中较短的边长是x，则另一边长是，根据勾股定理即可列出方程，从而求得x的值，求得周长．
【详解】解：设另两边中较短的边长是x，则另一边长是，
根据题意得：，
解得：，
则另一边长是25，
则周长是：．
故选：C．
6. 如图，，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：∵，∴，∵，
添加，由可判断；
添加，由可判断；
添加，由可判断；
添加，由不能判断；
观察四个选项，选项D符合题意，
故选：D．
7. 若点在第一、三象限的角平分线上，则点M的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，角平分线的性质，第一、三象限角平分线的点到两坐标轴的距离相等，即点的横坐标与纵坐标相等，即可得出x的值．
【详解】解：第一、三象限角平分线的点到两坐标轴的距离相等，
有：，
解得，
∴点M的坐标为．
故选：B．
8. 下列各组数中，相等的一组数是（ ）
A. 与B. 与C. 与D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查实数大小比较以及二次根式的性质化简，分别化简各数后再进行比较即可．
【详解】解：A．，故选项Ａ不符合题意；
B．，，所以，故选项Ｂ不符合题意；
C．，故选项Ｃ不符合题意；
D．，，所以，，故选项D正确，
故选：D
9. 如图，锐角三角形中，直线l为的垂直平分线，直线m为的角平分线，l与m相交于P点，若，则的度数是（ ）
A. 31°B. 22°C. 43°D. 32°
【答案】A
【解析】
【分析】根据角平分线定义求出，根据线段的垂直平分线性质得出，求出，根据三角形内角和定理得出方程，求出方程的解即可．
【详解】平分，
，
直线l是线段BC的垂直平分线，
，
，
，
，
，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能求出
是解此题的关键，数形结合思想的应用．
10. 下列情境中y与x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A. 圆的面积y与它的半径x
B. 正方形的周长y与它的边长x
C. 一面冉冉升起旗子，高度y与时间x
D. 小明从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑车中所用的时间y与平均速度x
【答案】C
【解析】
【分析】本题是函数及其图象的实际应用，分别分析出各小题函数类型和图象即可．
【详解】解：A. 圆的面积y与它的半径x的关系为，不是一次函数，故A不符合题意．
B. 正方形的周长y与它的边长x的关系为，是正比例函数，故B不符合题意．
C. 一面冉冉升起的旗子，高度y与时间x的函数图象符合题意，故C符合题意；
D. 小明从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑车中所用的时间y与平均速度x之间不是一次函数关系，故D不符合题意．
故选：C．
11. 如图，射线与射线平行，点在射线上，，为常数，且，为射线上的一动点（不包括端点，将沿翻折得到，连接，则最大时，的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由于为定值，所以当点在上时，点到点的距离最大，即可求出答案．
【详解】解：，，
，
由折叠性质知，，
的长度为定值，
当点在上时，点到点的距离最大，如图，
由折叠知，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠性质，平行线的性质，关键是确定为定值．
12. 小明晚饭后出门散步，从点O出发，最后回到家里，行走的路线如图所示，则小明离家的距离s与散步时间t之间的函数图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了函数图象的读图能力．根据小明的行走路线，判断小明离家的距离，由此再得出对应的函数图象即可．
【详解】解：根据函数图象可知，小明距离家先逐渐远去，有一段时间离家距离不变说明他走的是一段弧线，之后逐渐离家越来越近直至回家，分析四个选项只有C符合题意．
故选：C．
二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）．
13. 2的平方根是_________.
【答案】
【解析】
【分析】直接根据平方根的定义求解即可（需注意一个正数有两个平方根）．
【详解】解：2的平方根是故答案为．
【点睛】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
14. 写出一个比大且比小的整数 _____．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】
【分析】先对和进行估算，再根据题意即可得出答案．
【详解】解：∵＜2＜3＜4＜，
∴比大且比小的整数有2，3，4.
故答案为：3（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，估算出与是解题的关键．
15. 已知点与点，则这两个点关于______轴对称．
【答案】y
【解析】
【分析】本题考查点的坐标特征．根据点与点的坐标，知到y轴的距离相等，从而根据点的对称性得到答案．
【详解】解：∵点与点，
∴这两个点关于y轴对称，
故答案为：y．
16. 若点P在y轴的左侧，到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查点的坐标，根据题意，判断出点P所在的象限，再根据点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，判断即可．
【详解】解：∵点P在y轴左侧，
∴点P在第二象限或第三象限，
∵点P到x轴的距离是3，到y轴的距离为2，
∴点P的坐标是或，
故答案为：或．
17. 已知一次函数，若y的值随自变量x的增大而增大，则k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的性质．根据一次函数图象与一次项系数的关系可判断．
【详解】解：∵一次函数中，y的值随x的增大而增大，
∴，
故答案为：．
18. 如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，则的值是______．

【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，运用勾股定理求出，两式相减即可得出结论．
【详解】解：在中，，
在中，
∴
，
故答案为：12．
19. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（1，2），点P在x轴上运动，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P的坐标是_______．
【答案】（﹣1，0）
【解析】
【详解】解：由三角形两边之差小于第三边可知，
当A、B、P三点不共线时，由三角形三边关系|PA﹣PB|＜AB；
当A、B、P三点共线时，∵A（0，1），B（1，2）两点都在x轴同侧，∴|PA﹣PB|=AB．
∴|PA﹣PB|≤AB．
∴本题中当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P在直线AB上．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（0，1），B（1，2），∴，解得．
∴直线AB的解析式为y=x+1．
令y=0，得0=x+1，解得x=﹣1．
∴点P的坐标是（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
20. 如图，直线l函数表达式为，在直线l上顺次取点，…，若这些点构成形如“┐”的图形的阴影部分面积分别表示为，，则_________．

【答案】4048
【解析】
【分析】根据图形分别求出的值，得出规律，根据规律即可求解．
【详解】解：由题意得，
，
，
，
...，
∴，
∴，
故答案为：4048．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的面积，以及规律型，根据点的坐标的变化找出阴影部分面积的变化规律是解题的关键．
三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）
21. （1）如图，在中，D，E分别是，的中点，请用直尺画出的中点．
（2）尺规作图：作一个，使，，．（不要求写作法）
（3）如图，已知长方形中，，，在边上取一点E，将折叠，使点D恰好落在边上的点F处，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查三角形的中线，作三角形以及勾股定理的应用：
（1）连接，相交于点O， 连接并延长，交于点F，则点F为的中点；
（2）作，在上截取，在上截取，连接即可；
（3）根据折叠得在中由勾股定理得：，已知的长可求出的长，即可得到．在中由勾股定理可求
【详解】解：（1）如图，点D即为所求；
；
（2）如图，即为所作；
；
（3）∵四边形是矩形，
∴
由折叠得，
在中由勾股定理得：，
∴
∴
设则
在中，，
∴，
解得，，
即：．
22. （1）把下列各数填入相应的集合内：，，，，，，，，．
有理数集合：{ …}，无理数集合：{ …}，
正实数集合：{ …}，负实数集合：{ …}．
（2）写出下列各数的相反数、倒数和绝对值：，，，，．
（3）已知平面直角坐标系中有六个点：，，，，，．请将上述六个点按下列要求分成两类，并写出同类点具有而另一类点不具有的一个特征（请将答案按要求写在横线上，点用字母表示）
①甲类含两个点，乙类含其余四个点．
甲类：点______，______是同一类点，其特征是；__________________；
乙类：点______，______，______，______是同一类点，其特征是____________；
②甲类含三个点，乙类含其余三个点．
甲类：点______，______，______是同一类点，其特征是____________；
乙类：点______，______，______是同一类点，其特征是____________．
【答案】（1），，，，，；，，；，，，，，，；，；（2），，；，，；，，；，，；，，；（3）①E，F；它们都在第三象限；A，B，C，D；它们都在第一象限；②A，C，E；它们的横纵坐标满足；B，D，F；它们的横纵坐标满足
【解析】
【分析】本题主要考查实数的性质，点的坐标特征以及函数图象上点的坐标特征：
（1）根据实数的性质进行分类即可；
（2）分别根据相反数、倒数和绝对值的意义进行求解即可；
（3）分析所给6个点，写出同类点具有而另一类点不具有的一个特征即可．
【详解】解：（1）是有理数，
∴有理数集合：{，，，，， …}，
无理数集合：{ ，， …}，
正实数集合：{，，，，，， …}，
负实数集合：{，…}．
（2）的相反数是，倒数为；绝对值为：；
的相反数是，倒数为；绝对值为：；
的相反数是，倒数为；绝对值为：；
的相反数是，倒数为；绝对值为：；
∵
∴的相反数为：，倒数为：；绝对值为：
（3）①甲类：点E，F是同一类点，其特征是；它们都在第三象限；
乙类：点A，B，C，D是同一类点，其特征是它们都在第一象限；
②甲类含三个点，乙类含其余三个点．
甲类：点A，C，E是同一类点，其特征是：它们的横纵坐标满足；
乙类：点B，D，F是同一类点，其特征是它们的横纵坐标满足．
故答案为：①E，F；它们都在第三象限；A，B，C，D；它们都在第一象限；②A，C，E；它们横纵坐标满足；B，D，F；它们的横纵坐标满足．
23. 阅读如图所示的函数图象题，请你根据获得的信息解答下列问题：
（1）折线是某个实际问题的函数图象，请你编写一段符合图象意义的文字描述；
（2）根据你所写出的文字描述分别指出x轴、y轴所表示的意义，并写出A，B，C三点的坐标．
【答案】（1）张老师从家出发，骑车去学校，骑车的速度是每小时15千米，经过2小时到达，到校2小时后因家中有事，立即乘车返回，1小时到家；
（2）x轴表示时间，单位为时，y轴表示离家的路程，单位是千米，那么．
【解析】
【分析】本题考查函数图象的应用：
（1）应选取常见的量，比如横轴表示时间，纵轴表示离家的路程，这段函数大致可理解为到一个地方去，到后，休息一段时间后返回到家；
（2）x轴表示时间，单位为时，y轴表示离家的路程，单位是千米，那么．
【小问1详解】
解：张老师从家出发，骑车去学校，骑车的速度是每小时15千米，经过2小时到达，到校2小时后因家中有事，立即乘车返回，1小时到家；
【小问2详解】
解：x轴表示时间，单位为时，y轴表示离家的路程，单位是千米，那么．
24. 如图，在中，，，P是内一点，且，，，．
（1）与全等吗？请说明理由；
（2）求的度数．
【答案】（1）与全等，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理逆定理．
（1）根据证明与全等即可；
（2）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可．
【小问1详解】
解：与全等，理由如下：
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
25. 甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．

（1）甲组比乙组多挖掘了__________天．
（2）求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．
【答案】（1）30 （2）
（3）10天
【解析】
【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可；
（2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x的取值范围；
（3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可．
【小问1详解】
解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，
∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天，
（天）
∴甲组比乙组多挖掘了30天，
故答案为：30；
【小问2详解】
解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为，
将和两个点代入，可得，
解得，
∴
【小问3详解】
解：甲组每天挖（米）
甲乙合作每天挖（米）
∴乙组每天挖（米），乙组挖掘的总长度为（米）
设乙组己停工的天数为a，
则，
解得，
答：乙组已停工的天数为10天．
【点睛】本题考查了一次函数应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键．