福建省龙岩第一中学2023-2024学年高一上学期第三次月考数学试卷(含答案)

这是一份福建省龙岩第一中学2023-2024学年高一上学期第三次月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知是第四象限角,csα＝,则sinα等于( )
A.B.－C.D.－
2．( )
A.B.C.D.
3．直角坐标平面上将函数(,)的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,则所得新函数的图像恒过定点( )
A.B.C.D.
4．函数的零点所在区间是( )
A.B.C.D.
5．已知,,,则( )
A.B.C.D.
6．扇面书画在中国传统绘画中由来已久.最早关于扇面书画的文献记载,是《王羲之书六角扇》.扇面书画发展到明清时期,折扇开始逐渐的成为主流如图,该折扇扇面画的外弧长为24,内弧长为10,且该扇面所在扇形的圆心角约为,则该扇面画的面积约为( )()
A.185B.180C.119D.120
7．已知函数,当时,方程的根的个数是( )
A.3B.4C.5D.6
8．是定义在R上的偶函数,对,都有,且当时,.若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根,至多有3个不同的实数根,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知命题,则命题成立的一个必要不充分条件是( )
A.B.C.D.
10．已知,且,则( )
A.B.
C.D.
11．已知函数,下面说法正确的有( )
A.的图象关于y轴对称
B.的图象关于原点对称
C.的值域为
D.,,且,恒成立
12．设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,,则下列结论正确的是( )
A.
B.在上为增函数
C.点是函数的一个对称中心
D.方程仅有5个实数解
三、填空题
13．已知,若函数的图象关于直线对称,则的值为___________.
14．已知奇函数,且当时,.若,则__________.
15．已知函数,其中为实数,且,若对恒成立,且,则的单调递增区间为______.
16．已知函数与函数,满足,当和在区间上单调性不同,则称区间为函数的“异动区间”.若区间是函数的“异动区间”,则t的取值范围是______.
四、解答题
17．（1）求值:.
（2）已知正数a满足,,求的值.
18．平面直角坐标系中,若角的始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点
（1）求和的值
（2）若,化简并求值
19．已知函数.
（1）求函数的最小正周期及;
（2）求函数的单调递增区间;
20．函数,
（1）求函数的定义域;
（2）求函数的零点;
（3）若函数的最小值为,求a的值
21．近年来,受全球新冠肺炎疫情影响,不少外贸企业遇到展会停办,订单延期等困难,在该形势面前,某城市把目光投向了国内大市场,搭建夜间集市,不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道,助力外贸企业开拓国内市场,更能推进内外贸一体化发展,加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者,通过对每天销售情况的调查发现:该工艺品在过去的一个月内(按30天计),每件的销售价格(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系满足(为常数,且),日销售量(单位:件)与时间x的部分数据如下表所示:
设该文化工艺品的日销售收入为(单位:元),且第15天的日销售收入为1057元.
（1）求k的值;
（2）给出以下四种函数模型:
①;
②;
③;
④.
请你根据上表中的数据,从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的变化关系,并求出该函数的解析式;
（3）利用问题（2）中的函数,求的最小值.
22．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数,最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).记双曲正弦函数为,双曲余弦函数为,已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质:①定义域均为R;
②为奇函数,为偶函数;
③(常数e是自然对数的底数,).利用上述性质,解决以下问题:
（1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式;
（2）解不等式.
参考答案
1．答案：B
解析：由条件知是第四象限角,所以,即.
故选:B.
2．答案：B
解析：.
故选:B
3．答案：A
解析：因为(,),
令,得,,
所以的图像过定点,
将定点向左平移1个单位,再向上平移1个单位,得,
所以的图像恒过定点.
故选:A.
4．答案：D
解析：由题意,函数,可函数为定义域上的单调递减函数,
又由,即,
根据零点的存在性定理,可得函数的零点所在的区间是.
故选:D.
5．答案：C
解析：因为,则,
而,,
所以.
故选:C
6．答案：C
解析：设外弧长为,外弧半径为,内弧长为,内弧半径为,该扇面所在扇形的圆心角为,
扇形的弧长为,
,,
扇形的面积为,
该扇面画的面积为,
故选:C.
7．答案：D
解析：设,则,即,故,,
因为,故,,画出的大致图象,由图象可知与共有6个公共点,
故原方程共有6个根.
故选:D.
8．答案：C
解析：由,可得:.
又因为是定义在R上的偶函数,
则,且函数图象关于y轴对称.
所以,即的周期为4.
作出函数在上的图象,根据对称性及周期为4,可得出在上的图象.
令
若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根,至多有3个不同的实数根,
则函数与函数在上至少有2个不同的交点,至多有3个不同的交点.
所以,即,解得.
故答案为:C
9．答案：AD
解析：由,解得.设,
所以,设命题成立的一个必要不充分条件所表示的范围为,则,
由,且,故AD满足题意,
选项B,不满足;
选项C,不是真子集,不满足题意.
故选:AD.
10．答案：ABD
解析：AB选项,两边平方得,,
即,所以,B正确,
因为,所以,故,所以,A正确;
CD选项,,
因为,,所以,
故,C错误,D正确.
故选:ABD
11．答案：BC
解析：的定义域为R关于原点对称,
,所以是奇函数,图象关于原点对称,
故选项A不正确,选项B正确;
,因为,所以,所以,
,所以,可得的值域为,故选项C正确;
设任意的,
则,
因为,,,所以,
即,所以,故选项D不正确;
故选:BC
12．答案：BC
解析：函数的定义域为R,由为奇函数,得,即,
由为偶函数,得,即,则,
即,于是,函数是周期为的周期函数,
对于A,当时,,,A错误;
对于B,在上单调递增,由,知图象关于点对称,
则上单调递增,即函数在上单调递增,因此在上单调递增,B正确;
对于C,由及,得,即,
因此函数图象关于点对称,C正确;
对于D,当时,,由函数图象关于点对称,
知当时,,则当时,,
由,知函数图象关于直线对称,则当时,,
于是当时,,而函数的周期是,因此函数在R上的值域为,
方程,即,因此的根即为函数与图象交点的横坐标,
在同一坐标系内作出函数与的部分图象,如图,
观图知,与图象在上有且只有3个公共点,而当时,,,即函数与图象在无公共点,所以方程仅有3个实数解,D错误.
故选:BC
13．答案：
解析：因为函数的图象关于直线对称,
所以,,解得,,
又,所以.
故答案为:.
14．答案：
解析：因为是奇函数,且当时,.
又因为,,
所以,两边取以e为底的对数得,所以,即.
15．答案：
解析：由对恒成立知,,
得到或,
因为,所以或,
当时,,
此时,,
,不合题意,舍,
当时,,
此时,,
,符合题意,
所以,
所以由
得,,
所以的单调递增区间是.
故答案为:
16．答案：
解析：,
若,在上单调递增,
在上单调递减,满足要求,
若,画出与的图象,如下:
可以看出两函数图象关于y轴对称,
要想是函数的异动区间,
则,解得,满足,
当时,,,画出两函数图象,
可以看出两函数图象在上单调性相同,不合要求,舍去,
当时,画出两函数图象,可以看出两函数图象关于y轴对称,
要想是函数的异动区间,
故,解得,满足,
综上,t的取值范围为.
故答案为:
17．答案：（1）3
（2）
解析：（1）原式.
（2）因,所以.
所以.
18．答案：（1）,
（2）,4
解析：（1）,由三角函数的定义得,;
（2）,
.
19．答案：（1）,
（2）
解析：（1）对于函数,它的最小正周期为;;
（2）令,,
求得,,即,.
所以,函数的单调递增区间是.
20．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）
要使函数有意义,则,解得:
所以函数的定义域为:
（2）
令,得:
即
解得:
因为
所以函数的零点为.
（3）
且函数的最小值为
即,得
即.
21．答案：（1）
（2）选择函数模型
②,
（3）961
解析：（1）因为第15天的日销售收入为1057元,
所以,解得.
（2）由表中的数据知,当时间x变化时,先增后减.
而函数模型①;
③;
④都是单调函数,
所以选择函数模型②.
由,解得,,.
所以日销售量与时间x的变化关系为.
（3）由（2）知
所以
即.
当,时,由基本不等式得,
当且仅当,即时,等号成立.
当,时,单调递减,
所以.
综上所述:当时,取得最小值,最小值为961.
22．答案：（1）,
（2）
解析：（1）由,得,
因为为奇函数,为偶函数,
所以,
由,解得,,
（2）,
因为和在R上均为增函数,
所以在R上为增函数,
由,得,
所以,
所以,即,
令（）,则,即,
解得(舍去),或,
所以,得,
所以不等式的解集为.
x
15
20
25
30
105
110
105
100