海南省海口市第四中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份海南省海口市第四中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若复数为纯虚数,则实数a的值为( )
A.2B.2或-2C.-2D.-4
2．如图,三棱锥中,底面BCD,,且,,点E为CD的中点,则AE的长为( )
A.B.C.2D.
3．如图,在三棱锥中,D是BC的中点,若,,,则等于( )
A.B.C.D.
4．已知,则( )
A.B.C.D.
5．空间四边形ABCD中,E,F是AB与CD中点,,,则AD与BC所成的角为( )
A.B.C.D.
6．如图,在平行六面体中,M为AC与BD的交点,若,,,则的值为( )
A.1B.C.2D.
7．三棱锥中,平面,,,,则该三棱锥外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
8．如图,正方体的棱长为1,E,F,G分别为线段上的动点（不含端点）,
①异面直线与AF所成角可以为
②当G为中点时,存在点E,F使直线与平面AEF平行
③当E,F为中点时,平面AEF截正方体所得的截面面积为
④存在点G,使点C与点G到平面AEF的距离相等
则上述结论正确的是( )
A.①③B.②④C.②③D.①④
二、多项选择题
9．若l､m､n是互不相同的空间直线,､是不重合的平面,则下列命题中为假命题的是( )
A.若,,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
10．已知函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为,.则( )
A.
B.的图象关于直线对称
C.的单调递减区间为
D.的解集为
11．如图,梯形ABCD中,,,,,将沿对角线BD折起.设折起后点A的位置为A′,并且平面平面BCD.给出下面四个命题：( )
A.
B.三棱锥的体积为
C.平面
D.平面平面
12．已知P为圆锥的顶点,O为圆锥底面圆的圆心,M为线段PO的中点,AD为底面圆的直径,是底面圆的内接正三角形,,则下列说法正确的是( )
A.
B.平面MBC
C.在圆锥侧面上,点A到PB中点的最短距离为3
D.圆锥内切球的表面积为
三、填空题
13．已知l,m是两条不同的直线,,是两个不同的平面,给出下列四个论断：①,②,③,④.以其中的两个论断作为命题的条件,作为命题的结论,写出一个真命题：______________.
14．在参加综合实践活动时,某同学想利用3D打印技术制作一个的容器：容器上部为圆锥形,底面直径为;下部为圆柱形,底面直径和高均为（如图所示）. 他希望当如图放置的容器内液体高度为时,把容器倒置后,液体恰好充满整个圆锥形部分,则圆锥形部分的高度设计为_____________.
15．已知三棱柱是一个正三棱柱,,,则该三棱柱外接球的体积为_____________.
16．在四棱锥中,四边形ABCD是边长为2的菱形,,,,平面平面ABCD,Q点是内的一个动点（含边界）,且满足,则Q点所形成的轨迹长度是______________.
四、解答题
17．如图,在四棱锥中,平面ABCD,底部ABCD为菱形,E为CD的中点.
（1）求证：;
（2）若,求证：平面平面PAE.
18．已知,,且.
（1）求的单调增区间;
（2）在中,A,B,C的对边分别为a,b,c,当,,,求的面积.
19．如图所示,在四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,侧面PAD为正三角形,M为线段PD上一点,N为BC的中点.
(1)当M为PD的中点时,求证：平面PAB.
(2)当平面AMN,求出点M的位置,说明理由.
20．如图,在四棱锥中,底面ABCD,且ABCD是直角梯形,,,,点E是PB的中点.
(1)证明：直线平面PAC;
(2)者直线PB与平面PAC所成角的正弦值为,求三棱锥的体积.
21．如图,在正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,将,分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于P,连接EF,PB.

(1)求证：;
(2)点M是PD上一点,若平面EFM,则为何值？并说明理由;
(3)若,求二面角的余弦值.
22．某市的公路自行车比赛赛道为如图所示的五边形ABCDE,为了方便为比赛提供各种服务,又修建了两条服务通道BD和BE,其中, ,,.
（1）在条件①与②中选择一个条件,求服务通道BE的长度;
（2）在（1）结论下,如何设计使得折线段赛道BAE(即)最长,最长为多少.
参考答案
1．答案：C
解析：因为复数为纯虚数,则有,解得,
所以实数a的值为-2.
故选：C.
2．答案：B
解析：连AE,是等腰,
且,底面BCD,
,由勾股定理,,
.
故选：B.
3．答案：C
解析：因为D为BC的中点,所以,
又,
所以.
故选：C.
4．答案：B
解析：由题意得,
故选：B.
5．答案：C
解析：取BD中点G,连接GE、GF,如图：
由题意可得且,且,
所以或其补角即为AD与BC所成的角,
在中,,
由可得,
所以AD与BC所成的角为.
故选：C.
6．答案：B
解析：由题平行六面体中,M为AC与BD的交点,
,,,
,
所以
故选：B.
7．答案：A
解析：如图所示：将三棱锥放入长方体中,则体对角线为其外接球的直径.
设三棱锥外接球的半径为R,则,
所以此球的表面积为.
故选：A.
8．答案：C
解析：对①：因为//,故与AF的夹角即为与AF的夹角,
又当F与C重合时,取得最大值,为;
当F与点重合时,取得最小值,设其为,则,故;
又点F不能与C,重合,故,故①错误;
对②：当G为中点时,存在E,F分别为BC,的中点,满足//面AEF,证明如下：
取的中点为M,连接,MG如下所示：
显然,又面AEF,面AEF,故面AEF;
又易得,面AEF,面AEF,故面AEF;
又,,面,故面面AEF,
又面,故面AEF,故②正确;
对③：连接,,AE如下所示：
因为,故面即为平面AEF截正方体所得截面;
又,故该截面为等腰梯形,又,,
故截面面积,故③正确;
对④：连接GC,取其中点为H,如下所示：
要使得点G到平面AEF的距离等于点C到平面AEF的距离,只需EF经过GC的中点,
显然当点E,F分别为所在棱的中点时,不存在这样的点G满足要求,故④错误.
故选：C.
9．答案：ABC
解析：选项A中,l除平行n外,还有异面的位置关系,则A不正确.
选项B中,l与的位置关系有相交､平行､在内三种,则B不正确.
选项C中,l与m的位置关系还有相交和异面,故C不正确.
选项D中,由,设经过l的平面与相交,交线为c,则,又,故,又,所以,D正确.
故选：ABC.
10．答案：BCD
解析：依题意,函数的周期T有,即,则,A错误;
,而,则,,
对于B选项：时,,2为最大值,即的图象关于直线对称,B正确;
对于C选项：由得,即的单调递减区间为,C正确;
对于D选项：,
得,即的解集为,D正确.
故选：BCD.
11．答案：CD
解析：,,
,
,,
,
平面平面BCD,平面BCD,
平面,
平面,
,故不成立;
故A错误,C正确;
由,,可得, ,
三棱锥的体积为三棱锥的体积,
即为CD•S△A'BD＝,故B错误;
折叠前,在四边形ABCD中,,,,
为等腰直角三角形.
又,,
.
折叠后,平面平面,,
平面.
又平面,
.
又,,
平面.又平面,
平面平面.故D正确.
故选：CD.
12．答案：ABD
解析：因为是底面圆的内接正三角形,AD为底面圆的直径,
所以,,又,
所以,故,A正确;
因为P为圆锥的顶点,O为圆锥底面圆的圆心,M为线段PO的中点,
所以平面ABC,
因为平面ABC,所以,
又,,MO,平面MOA,
所以平面AMO,
因为平面AMO,
所以,
因为,所以,
由勾股定理得：,则,
故,同理可得：,
因为,所以,
因为BC,平面MBC,且,
所以平面MBC,B正确;
将侧面展开,如下：
设PB中点为Q,连接AQ,则为点A到PB中点的最短距离,
其中,故底面周长为,
故,则,
若,由,,
由余弦定理得：,
因为,所以在圆锥侧面上,点A到PB中点的最短距离不为3,C错误;
由对称性可知,圆锥内切球球心在OP上,作出图形,如下：
设内切球球心为T,设内切球半径为R,
,,则,
其中,故,
在中,由勾股定理得：,
即,
解得：,故圆锥内切球的表面积为,D正确.
故选：ABD.
13．答案：若,,则
解析：l,m是两条不同的直线,,是两个不同的平面,
可得若,,则,
理由：在内取两条相交直线a,b,
由可得,,
又,可得,,
而a,b为内的两条相交直线,可得.
故答案为：若,,则
14．答案：6
解析：容器内液体体积为,
设圆锥形部分高度为h,则,解得：,
故答案为：6.
15．答案：
解析：设三棱柱的外接球的球心为O,的外接圆圆心为,
连接,OB,如图所示,由球的性质得底面ABC,
因为三棱柱是正三棱柱,
所以O为正三棱柱的中心,所以,
在中,是正三角形,
所以由正弦定理可得,所以,
在中,,
所以外接球的体积为.
故答案为：.
16．答案：
解析：根据题意,连接AC,BD,两直线交于点O,取PC上一点M,
连接MB,MD,如图：
若满足题意,又,故平面DBQ,则点Q只要在平面BDQ与平面PBC的交线上即可,
假设如图所示,平面DBM与平面DBQ是同一个平面,
则Q点的轨迹就是线段BM,
根据假设,此时直线平面DBM,则,
又三角形PAD是等腰直角三角形,设N为AC的中点,
三角形BAD是等边三角形,所以,,
所以平面PNB,
所以,又因为,故,故三角形PBC为直角三角形,
故,
在三角形PAC中,,,,
由余弦定理可得：,
在菱形ABCD中,,故在直角三角形MOC中,,
在三角形BCM中,,
故,
故得.
故答案为：.
17．答案：（1）证明见解析;
（2）证明见解析.
解析：（1）平面ABCD,平面ABCD,.
又底面ABCD为菱形,.
AC,平面PAC,,平面PAC,
又平面PAC,.
（2）平面ABCD,平面ABCD,.
底面ABCD为菱形,,为等边三角形,
又E为CD的中点,,又,,
PA,平面PAB,,平面PAB,
又平面PAE,平面平面PAE.
18．答案：（1）,(),
（2）
解析：（1）,
令,
所以函数在,()单调递增;
（2）由（1）可知
,
,
角A为锐角,
由正弦定理,,,
即三角形为直角三角形,
则.
19．答案：(1)证明见解析;
(2)存在点M,点M为PD上靠近P点的三等分点,理由见解析.
解析：（1）取AP中点为E,连接EM,EB,
在中,M为PD的中点,E为AP中点,
,
在平行四边形ABCD中,N为BC的中点,
,
,
四边形BNME为平行四边形,
,面PAB,面PAB,
平面PAB;
（2）连接AN,BD,相交于O,连接OM,
面AMN,面面,面PBD,
,,
即存在点M,M为PD上靠近P点的三等分点.
20．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明：因为平而ABCD,平面ABCD,所以,
又因为,且ABCD,可得,
所以,所以
又由且PC,平面PAC,所以平面PAC.
（2）由（1）知平面PAC,所以即为直线PB与平面PAC所成角,
在直角中,可得,可得,
在直角中,可得,
所以三棱锥的体积为.
21．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：（1）因为,,所以,,
又,PE,平面PEF,所以平面PEF,
因为平面PEF,所以.
因为在正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,所以,
因为,PD,平面PBD,所以平面PBD,
因为平面PBD,所以.
（2）连BD交EF于G,连MG,则G为EF的中点,
因为在正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,,
因为平面EFM,平面PBD,平面平面,
所以,所以,所以.
（3）由（2）知,若,则,
由（1）知,平面PBD,又MG,平面PBD,所以,,
又平面EFM,平面DEF,平面平面,
所以是二面角的平面角.
由（1）知,平面PEF,平面PEF,所以,
设正方形ABCD的边长为,则,,,,
所以,,
.
22．答案：（1）条件选择见解析;;
（2）设计成等腰三角形时,折线段赛道BAE最长值为.
解析：（1）选条件①,,在中, ,,,
,
,
所以.
选条件②,,在中,, , ,
设,在中,
所以,解得
所以.
（2）在中,,设,,()
,所以,
所以.
所以当时,最大值为,
所以设计成等腰三角形时,折线段赛道BAE最长值为.