重庆市第十八中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市第十八中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知椭圆的一个焦点坐标,则( )
A.B.5C.5或3D.3
2．抛物线准线方程为( )
A.B.C.D.
3．已知向量,,,则( )
A.3B.9C.27D.81
4．设等比数列前n项和为,若,,则( )
A.54B.53C.52D.51
5．已知数列满足,,则( )
A.B.C.2D.1
6．如图,已知两点,,从点射出的光线经直线AB上的点M反射后再射到直线OB上,最后经直线OB上的点N反射后又回到点P,则直线MN的方程为( )
A.B.C.D.
7．已和双曲线与直线相交于A,B两点,若弦AB的中点M的横坐标为1,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
8．若数列满足,,,,则称数列为Fibnacci数列,该数列是由意大利数学家斐波那契于1202年提出,此数列在现代物理,准晶体结构,化学等领域都有着广泛的应用.则下列结论错误的是( )
A.
B.数列各项除以2后所得的余数构成一个新数列,若数列的前n项和为,则
C.记,则数列的前2021项的和为
D.
二、多项选择题
9．设等差数列的前n项和为,且,,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.数列是等差数列D.对任意,都有
10．已知点O为坐标原点,直线与抛物线相交于A,B两点,焦点为F,则下列选项正确的是( )
A.B.
C.D.线段AB的中点到x轴的距离为2
11．已知椭圆的左,右焦点分别为,,上项点为B,直线与椭圆C相交于M,N两点,点,则下列选项正确的是( )
A.四边形的周长为12
B.当时,的面积为
C.直线BM,BN的斜率之积为
D.若点P为椭圆C上的一个动点,则的最小值为
12．如图,已知正方体的棱长为1,若点E,F是正方形内(包括边界)的动点,若,,则下列结论正确的是( )
A.点E到BC的最大距离为
B.点F的轨迹是一个圆
C.的最小值为
D.直线DF与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题
13．已知直线,,则直线与间距离为_____.
14．若抛物线上一点到焦点的距离为,则____.
15．已知数列{}满足,且,则＝________.
16．已知椭圆的右焦点为F,过点F作倾斜角为的直线交椭圆C于A,B两点,弦的垂直平分线交x轴于点P,若,则椭圆C的离心率为________.
四、解答题
17．己知数列为等差数列,,.
（1）求数列的通项公式:
（2）设,求数列的前n项和.
18．已知圆C的方程为:.
（1）若直线与圆C相交于A,B两点,且,求实数a的值;
（2）过点作圆C的切线,求切线方程.
19．如图,在直三棱柱中,,,,点M,N分别为和的中点.
（1）求异面直线CN与所成角的余弦值;
（2）证明:平面.
20．已知数列中,,数列的前n项和满足:.
（1）证明;数列是等比数列,并求通项公式;
（2）设,且数列的前n项和,求证:.
21．如图1所示,四边形ABCD中,,,,,,点M为AD的中点,点N为BC上一点,且,现将四边形沿翻折,使得AB与EF重合,得到如图2所示的几何体MDCNFE,其中.
（1）证明:平面FND;
（2）若点P是棱FC上一动点,当二面角的正弦值为时,试确定点P的位置.
22．已知双曲线的右焦点,渐近线方程.
（1）求双曲线C的标准方程;
（2）过点F的直线l与双曲线C的右支交于A,B两点,交y轴于点P,若,,求证:为定值;
（3）在（2）的条件下,若点Q是点P关于原点O的对称点,求面积的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由椭圆的一个焦点坐标,
可得椭圆的焦点在x轴,所以,解得.
故选:B.
2．答案：D
解析：因为抛物线的方程为,即,
可知,即,且焦点在y轴正半轴上,
所以准线方程为.
故选:D.
3．答案：A
解析：向量,且,
则,解得,所以,
所以,
所以.
故选:A.
4．答案：C
解析：由题意等比数列的前n项和为,所以,(是公比),
同理,所以.
故选:C.
5．答案：C
解析：,,,,,故数列周期为
故选:C
6．答案：D
解析：由题意易得AB所在的直线方程为:,
化简可得:.
设点关于直线的对称点,
则,解得,,
点P关于直线AB对称的点为,点P关于y轴对称的点为.
直线MN即直线,则直线MN的方程为,即.
故选:D
7．答案：A
解析：因为双曲线与直线相交于A,B两点,
且弦AB的中点M的横坐标为1,则纵坐标为3,
设,,则,
两式相减得,则,
解得,即,
所以双曲线C的渐近线方程为,
故选:A
8．答案：C
解析：对于A:因为,,,
所以
,故A正确;
对于B:显然,,由(,)可知,
(,)可由判断,
若,则,
若或,则,
由此可得,,,,,,,(,),
所以,故B正确;
对于C:因为,,,(,),
所以
,
又由选项B,易知,
所以,
则,故C错误;
对于D:(,)
,
又因为,所以,
故,故D正确.
故选:C.
9．答案：BCD
解析：由题意等差数列前n项和为,且,,
所以,,,
,故A错B对;
由题意(,d分别为首项公差),所以,
所以数列是分别以为首项公差的等差数列,故C正确;
因为,,,所以,所以对任意,都有,故D正确.
故选:BCD.
10．答案：AC
解析：由抛物线,可得焦点,则直线过抛物线的焦点,
联立方程组,整理得到,显然,
设,,可得,,
对于A中,由抛物线的定义,可得,所以A正确;
对于B中,由,
所以OA与OB不垂直,所以B错误;
对于C中,由,可得,,
由抛物线定义,可得,,
则,所以C正确;
对于D中,线段AB的中点的到x轴的距离为,所以D错误.
故选:AC.
11．答案：AD
解析：对于A,由题意知对于椭圆,,,,
与椭圆C交于M,N两点,
则M,N关于原点对称,且,,
故四边形的周长为,A正确;
对于B,因为,所以,的面积为,
故B错误;
对于C,设,则,而,
故,
而在椭圆上,即,
即,故,C错误;
对于D,由于点P为椭圆C上的一个动点,故,
则,故,
当且仅当T,P,共线时,且P在T,之间时等号成立,
而,,
故的最小值为,D正确,
故选:AD.
12．答案：ACD
解析：对于A:,即,所以,
即点E在面内,以为圆心,半径为的圆上,
所以,当E位于中点时,E到直线BC的距离最大,
取AD,BC的中点H,G,连接EH,HG,FG,由题意得平面ABCD,
平面ABCD,所以,又因为,,
平面EHG,所以平面EHG,平面EHG,
所以,所以E到直线BC的距离最大为,故A正确;
对于B:正方体中,,又,且,
所以平面DBF,所以点F在上,即F的轨迹为线段,故B错误;
对于C:在平面内,
到直线的距离为当点E,F落在上时,;故C正确;
对于D:
建立如图示的坐标系,则,,,,
,,,
由B选项的证明过程可知:F的轨迹为线段,
所以设,则,则,
而,,
设平面的法向量,则有,
不妨令,则,
设DF与平面所成角为,
则:
当时,有最大值,故D正确;
故选:ACD
13．答案：或0.7
解析：直线,,
则,
则两直线间的距离为,
故答案为:.
14．答案：
解析：点到焦点的距离为4p,则,解得
故答案为:
15．答案：
解析：对两边同时取倒数,
所以,则,
所以数列是以为首项,3为公差的等差数列,
所以,
所以.
故答案为:.
16．答案：
解析：因为倾斜角为的直线过点,即直线AB的斜率为1,
可知直线AB必与椭圆C相交,
设直线l的方程为:,,,线段AB的中点,
联立方程,化为,
则,,
可得,
且,,即,
可得AB的垂直平分线为:,
令,解得,即,
可知,
由题意可得:,则,
所以椭圆C的离心率为.
故答案为:.
17．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）设数列的公差为d,
因为,,
所以,,解得,,
所以数列的通项公式为.
（2）,
所以
.
18．答案：（1）或
（2）或
解析：（1）圆C的方程为:,
则圆C的圆心为,半径为2,
直线与圆相交于A,B两点,且,
则,解得或;
（2）当切线的斜率不存在时,直线,与圆C相切,
切线的斜率存在时,可设切线为,即,
由切线的定义可知,,解得,
故切线方程为,
综上所述,切线方程为或.
19．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）直三棱柱中,,作,且,
连接,作,且,连接,,则得到长方体,
底面ABCD为边长为2的正方形,对角线长.
连接,相交于E,连接EN,EC,
由于E,N分别是,的中点,所以
则为异面直线CN与所成角或其补角,
,,,
则,
,
中,;
故异面直线CN与所成角的余弦值
（2）在正方形中,为的中点,
也为的中点,又M为的中点,则,
在长方体中,,,所以四边形为平行四边形,故,,
平面,平面,平面.
20．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）由数列的前n项和,满足,
可得时,,
上面两式相减可得,即,
则,
当时,,即,
所以数列是首项为3,公比为3的等比数列,可得,即;
（2）,
,
则
.
21．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）四边形ABCD中,,,,,
M为的中点,且,
四边形ABNM为正方形,且边长为2,
题图2中,四边形EMNF是边长为2的正方形,故,
又,,∴,,
又,,平面MDCN,平面MDCN,
平面MDCN,平面MDCN,,
易知,,,
又,平面FND,平面FND,
平面FND;
（2）由（1）知平面MDCN,又,
以N为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示,
则,,,,,
设,则,
,,,
设平面FND的法向量为,则,
令,令,则,,
设平面PND的法向量为,则,
令,则,,,
设二面角的所成角为,所以,
,
即,即,
解得:或(舍去),故,
故P点为靠近F的三等分点.
22．答案：（1）
（2）见解析
（3）
解析：（1）依题意,,渐近线方程.
所以,又因为,解得:,,
所以双曲线C的方程为.
（2）由（1）知,双曲线C的渐近线方程为,
依题意,直线l的斜率k存在,且,
设直线l的方程为:,,,
由,消去x并整理得:,设,,
则,,
而点,则,,
因为,则有,即,同理,
所以,为定值.
（3）由（2）知,点,,,
因为,令,而函数在上单调递减,即,
因此,所以.
所以三角形QAB的面积的取值范围.