数学苏科版9.4 矩形、菱形、正方形复习练习题

这是一份数学苏科版9.4 矩形、菱形、正方形复习练习题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE // CA，DF // BA.下列四个判断中，不正确的是( )
A. 四边形AEDF是平行四边形
B. 如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形
C. 如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D. 如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形
2.如图，E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为( )
A. 35°B. 30°C. 25°D. 20°
3.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图摆放，若顶点A，B的坐标分别为(a,0)，(0,b)，则顶点D的坐标为( )
A. (−b,a+b)B. (a−b,−a)C. (−a,a−b)D. (b−a,−a)
4.如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点，BD，CE交于点H，BE，AH交于点G.有下列结论：①∠ABE=∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD.其中正确结论的序号是
( )
A. ①③B. ①②③④C. ①②③D. ①③④
5.如图，以Rt△ABC的斜边BC为边，在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO.若AB=2，AO=3 2，则AC的长等于
( )
A. 12 2B. 8C. 4+3 2D. 2+3 2
6.如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是( )
A. 2B. 1.25C. 1.5D. 无法确定
7.如图，将一张矩形纸片对折两次，然后沿着图中的虚线剪下，得到①②两部分，将①展开后得到的平面图形是( )
A. 三角形B. 矩形C. 菱形D. 五边形
8.如图，3个全等的菱形按如图所示的方式拼接在一起，恰好得到一个边长相等的六边形，则菱形较长的对角线与较短对角线的长度的比值为( )
A. 15B. 10C. 2 3D. 3
9.如图，P是矩形ABCD的边AD上一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )
A. 4.8B. 5C. 6D. 7.2
10.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM，ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，在运动过程中，点D到点O的最大距离为( )
A. 2+1B. 5C. 1455D. 52
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF // BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD.若AE=2，PF=8，则图中阴影部分的面积为 ．
12.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE // AC，CE // BD.若AC=10，则四边形OCED的周长是 ．
13.在平面直角坐标系中，点A，B，C，D的坐标分别是A(m,−1)，B(0,−4)，C(0,1)，D(m,a)，且m>0，若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 ．
14.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD= 5 ，点P在AD上，点Q在BC上，且AP=CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
如图，菱形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，AF=CE，求证：AE=CF.
16.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，DE/​/AB，DF/​/AC．
(1)试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；
(2)若∠BAC=90°，且AD=2 2，求四边形AFDE的面积．
17.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，AB=3 cm，BC=6 cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是1 cm/s.连接PQ，AQ，CP.设点P，Q运动的时间为t s．
(1)求t为何值时，四边形ABQP是矩形；
(2)求t为何值时，四边形AQCP是菱形．
18.(本小题8分)
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE // AC，且DE=12AC，连接AE，CE．
(1)求证：四边形OCED为矩形；
(2)若菱形ABCD的面积为2，求△AEC的面积．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证：AF=DC；
(2)若AB=AC，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．
20.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ.
(1)依题意补全图形(保留作图痕迹)，并求证四边形BPEQ是菱形；
(2)若AB=6，F为AB的中点，且OF+OB=9，求BP的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】略
2.【答案】B
【解析】略
3.【答案】B
【解析】略
4.【答案】B
【解析】根据题意，易证△BAE≌△CDE，所以∠ABE=∠DCE，故①正确．易证△ADH≌△CDH，所以∠HAD=∠HCD.所以∠ABE=∠HAD，所以∠HAD+∠HAB=∠BAD=90°=∠ABE+∠HAB，所以∠AGB=90°，所以AG⊥BE，故②正确．因为AD // BC，所以S△BDE=S△CDE，所以S△BDE−S△DEH=S△CDE−S△DEH，即S△BHE=S△CHD，故③正确．因为△ADH≌△CDH，所以∠AHD=∠CHD，所以∠AHB=∠CHB.因为∠CHB=∠EHD，所以∠AHB=∠EHD，故④正确．
5.【答案】B
【解析】过点O作OD⊥OA交AC于点D.因为四边形BCEF是正方形，O是该正方形的中心，所以∠BOC=90°，OB=OC.所以∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD=90°，所以∠AOB=∠DOC.因为∠ODC=∠OAC+∠AOD，∠OAB=∠OAC+∠BAC，∠AOD=∠BAC=90°，所以∠OAB=∠ODC.所以△DCO≌△ABO，所以OD=OA=3 2，CD=AB=2.所以△OAD是等腰直角三角形，所以AD= 2OA=6.所以AC=AD+CD=8．
6.【答案】B
【解析】连接AF，BG，则由中心对称的性质可知S阴影=14×32−22=1.25．
7.【答案】C
【解析】略
8.【答案】A
【解析】设第一个菱形的另一个顶点为M，连接AC，BM，交于点O.由拼接方式易知，AB=AF=2BM(可由等底等高证平行，得平行四边形，从而可得).因为四边形ABCM是菱形，所以AC⊥BM，OB=12BM，OA=12AC，所以AB=4OB，所以OA= AB2−OB2= 15OB，所以AC=2OA=2 15OB，所以AC:BM= 15:1，即菱形较长的对角线与较短对角线的长度的比值为 15．
9.【答案】A
【解析】如图，作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为点E，F，连结PO．
因为AB，BC的长分别是6和8，
所以矩形的对角线AC=BD=10，
所以AO=OD=5．
因为S△PAO+S△POD=S△AOD，
所以12AO×PE+12OD×PF=14×6×8.
所以PE+PF=245=4.8．
故选A．

10.【答案】A
【解析】如答图，取AB的中点E，连接OE，DE，OD，∵OD≤OE+DE，∴当O，D，E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=12AB=1，DE= AD2+AE2= 12+12= 2，∴OD的最大值为 2+1．
11.【答案】16
【解析】过点P作PM⊥AD于点M，交BC于点N，则四边形AEPM，DFPM，CFPN，BEPN都是矩形，所以S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PMD，S△PFC=S△PNC，所以S▵PFD=S▵PBE=12DF⋅PF=12AE⋅PF=8.所以阴影部分的面积为16．
12.【答案】20
【解析】略
13.【答案】 21,−6或(4,4)
【解析】略
14.【答案】 41
【解析】略
15.【答案】证明：解法一：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
又∵AF=CE，
∴AD−AF=CD−CE，
∴DF=DE，
在△ADE和△CDF中，
AD=CD∠D=∠DDE=DF,
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF.
解法二：
连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
在△ACE和△CAF中，
CA=AC∠EAC=∠FACCE=AF,
∴△ACE≌△CAF(SAS)，
∴AE=CF.

【解析】解法一：由菱形的性质和已知可得AD=CD，DF=DE，再证明△ADE≌△CDF(SAS)即可；
解法二：连接AC，由菱形的性质可得DA=DC，根据等边对等角得出∠DAC=∠DCA，再证明△ACE≌△CAF(SAS)即可．
本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质等，运用了一题多解的思路．灵活运用菱形的性质和三角形全等的判定是解题的关键．
16.【答案】解：(1)四边形AFDE是菱形，理由是：
∵DE//AB，DF/​/AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD，
∵DE//AB，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=DE，
∴平行四边形AFDE是菱形；
(2)∵∠BAC=90°，
∴四边形AFDE是正方形，
∵AD=2 2，
∴AF=DF=DE=AE=2 2 2=2，
∴四边形AFDE的面积为2×2=4．
【解析】(1)根据DE/​/AB，DF/​/AC判定四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可证明；
(2)根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可．
本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．
17.【答案】【小题1】
解：由题意，得BQ=DP=t，则AP=CQ=6−t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD // BC，
∴当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t=6−t，
解得t=3，
故当t=3时，四边形ABQP为矩形．
【小题2】
由(1)可知，四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形．
在Rt△ABQ中，AQ= AB2+BQ2= 32+t2，
∴ 32+t2=6−t时，四边形AQCP为菱形，
解得t=94，
故当t=94时，四边形AQCP为菱形．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
18.【答案】【小题1】
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=12AC，∠COD=90°．
∵DE=12AC，
∴DE=CO．
又∵DE // AC，
∴四边形OCED为平行四边形．
∵∠COD=90°，
∴四边形OCED为矩形．
【小题2】
解：∵菱形ABCD的面积为2，
∴S菱形ABCD=12BD⋅AC=12×2DO⋅AC=2，
∴DO·AC=2．
∵四边形OCED为矩形，
∴DO=EC，∠ACE=90°，
∴S▵AEC=12EC⋅AC=12DO⋅AC=2×12=1，
即△AEC的面积为1．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
19.【答案】【小题1】
证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE.
在△AFE和△DBE中，
∠AFE=∠DBE∠FEA=∠BEDAE=DE,
∴△AFE≌△DBE(AAS)，
∴AF=DB.
∵AD是BC边上的中线，
∴DC=DB，
∴AF=DC；
【小题2】
解：四边形ADCF是矩形．
证明：连接DF，
由(1)得AF=DB，AF//DB，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AB=DF，
∵AB=AC，
∴AC=DF，
由(1)得AF=DC，AF//DC，
∴四边形ADCF 是平行四边形，
∴四边形ADCF是矩形．

【解析】1.
根据平行线的性质得出∠AFE=∠DBE，根据AAS证明△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案；
2.
证得四边形ABDF是平行四边形，得到AB=DF，进而证得AC=DF，再证得四边形ADCF是平行四边形，即可得到四边形ADCF是矩形．
本题主要考查全等三角形，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，证得△AFE≌△DBE是解题的关键．
20.【答案】【小题1】
解：图形如图所示．
理由：∵PQ垂直平分线段BE，
∴OE=OB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴PE//BQ，
∴∠PEO=∠OBQ，
∵∠POE=∠QOB，
∴△POE≌△QOB(ASA)，
∴OP=OQ，
∵OE=OB，
∴四边形BPEQ是平行四边形，
∵BE⊥PQ，
∴四边形BPEQ是菱形．
【小题2】
解：∵AF=BF，OE=OB，
∴AE+BE=2OF+2OB，
设AE=x，则BE=18−x，
在Rt△ABE中，62+x2=(18−x)2，
解得x=8，
∴BE=18−8=10，
∴OB=12BE=5，
设PE=y，则AP=8−y，BP=PE=y，
在Rt△ABP中，62+(8−y)2=y2，
解得y=254，
在Rt△BOP中，OP=y2−52=154，
∴BP= BO2+PO2= 52+(154)2=254.

【解析】1.
根据要求作出图形即可，根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
2.
解直角三角形求出PB，OB，利用勾股定理即可解决问题．
本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线，矩形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．