初中数学苏科版八年级下册第10章 分式10.3 分式的加减练习
展开1.若分式4x−93x+2x−1=A3x+2−Bx−1(A,B为常数),则A,B的值分别为
( )
A. A=4,B=−9B. A=7,B=1C. A=1,B=7D. A=−35,B=13
2.小明骑自行车沿公路以a km/h的速度行走全程的一半,又以b km/h的速度行走余下的一半路程;小刚骑自行车以a km/h的速度行走全程时间的一半,又以b km/h的速度行走另一半时间(a≠b),则走完全程所用时间较少的是( )
A. 小明B. 小刚C. 时间相同D. 无法确定
3.化简a2+2ab+b2a2−b2−ba−b的结果是
( )
A. aa−bB. ba−bC. aa+bD. ba+b
4.已知1x−1y=3,则代数式2x+3xy−2yx−xy−y的值是
( )
A. 72B. −112C. 92D. 34
5.下列运算正确的是( )
A. a6÷a2=a3B. a+1a−1a=a(a≠0)
C. (−2a)3=−6a3D. a3⋅a2=a5
6.若ab=a−b≠0,则与分式1a−1b相等的是
( )
A. 1abB. a−bC. 1D. −1
7.化简1a+a的结果是
( )
A. 1B. a+1C. a2+1D. a2+1a
8.已知1a−1b=14,则abb−a的值为
( )
A. 14B. −14C. 4D. −4
9.已知a1为实数,规定运算:a2=1−1a1,a3=1−1a2,a4=1−1a3,a5=1−1a4,⋯,an=1−1an−1按上述方法计算:当a1=3时,a2021的值等于( )
A. −23B. 13C. −12D. 23
10.若y=−x+3,且x≠y,则x2x−y+y2y−x的值为( )
A. 3B. −3C. 13D. −13
二、填空题:本题共4小题,每小题3分,共12分。
11.按要求填空:
小王计算2xx2−4−1x+2的过程如下:
解:2xx2−4−1x+2
=2xx+2x−2−1x+2 第一步
=2x(x+2)(x−2)−x−2(x+2)(x−2) 第二步
=2x−x−2(x+2)(x−2) 第三步
=x−2x+2x−2 第四步
=1x+2 第五步
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”),计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 .
12.若2x−3x+1=A−5x+1,则A= .
13.已知a,b为实数,且ab=1,设P=aa+1+bb+1,Q=1a+1+1b+1,则P Q(填“>”“<”或“=”).
14.锅炉房储存了t天用的煤m吨,要使储存的煤比预定的多用4天,每天应该节约用煤 吨.
三、解答题:本题共6小题,共48分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
对于M=x+1,N=4xx+1,有以下两个结论:①若x>−1,则M>N;②若M
已知3x−2(x+1)(x−1)=Ax−1+Bx+1,求实数A,B的值.
17.(本小题8分)
已知M=a+1a+2,N=a+2a+3.
(1)当a=5时,计算M与N的值;
(2)若a>0,猜想M与N的大小关系,并证明你的猜想.
18.(本小题8分)
已知x>0,试说明x−2≥−1x.
19.(本小题8分)
购买同一品种的西瓜时,通常西瓜的质量越大,花费的钱越多.因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形,并把西瓜瓤的密度看成是均匀的,西瓜的皮厚都是d.已知球的体积公式为V=43πR3(其中R为球的半径),那么买大西瓜合算,还是买小西瓜合算?
20.(本小题8分)
已知两个分式:A=104x2−25,B=12x+5+15−2x,其中x≠±52.试判断A与B的关系,并说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】因为A3x+2−Bx−1=Ax−1−B3x+23x+2x−1=A−3Bx−A+2B3x+2x−1,所以A−3B=4,A+2B=9,解得A=7,B=1.
2.【答案】B
【解析】设全程为1 km,则小明所用的时间是12a+12b=a+b2abh.设小刚走完全程所用的时间是x h,则12ax+12bx=1,所以x=2a+b,即小刚走完全程所用的时间是2a+bh.因为a+b2ab−2a+b=a−b22aba+b>0(a≠b),所以小刚所用的时间较少.
3.【答案】A
【解析】略
4.【答案】D
【解析】因为1x−1y=3,所以y−xxy=3,所以x−y=−3xy.所以原式=2x−y+3xyx−y−xy=−6xy+3xy−3xy−xy=−3xy−4xy=34.
5.【答案】D
【解析】解:A.a6÷a2=a4,原计算错误,不符合题意;
B.a+1a−1a=a+1−1a=1,原计算错误,不符合题意;
C.(−2a)3=−8a3,原计算错误,不符合题意;
D.a3⋅a2=a5,正确,符合题意.
故选:D.
直接利用分式的加减运算法则、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘除法运算法则分别判断得出答案.
此题主要考查了分式的加减运算法则、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘除法,正确掌握相关运算法则是解题关键.
6.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了分式的加减法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
把原式通分并利用同分母分式的减法法则变形,将已知等式代入计算即可作出判断.
【解答】
解:因为ab=a−b≠0
所以1a−1b=b−aab=−a−bab=−1,
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了分式的加法,根据分式的加法法则解答即可.
【解答】
解:1a+a=1a+a2a=a2+1a.
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查分式的加减法,解题的关键是掌握分式加减运算法则与分式的性质.
由1a−1b=14知b−aab=14,据此可得答案.
【解答】
解:∵1a−1b=14,
∴b−aab=14,
则abb−a=4,
故选:C.
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了数式规律问题,探索规律,通过计算找到规律是解题的关键.化简前几个数,得到an以三个数为一组,不断循环,因为2021÷3=,所以a2021=a2,再代数求值即可.
【解答】
解:a1=a1,
a2=1−1a1,
a3=1−11−1a1=1−a1a1−1=−1a1−1=11−a1,
a4=1−(1−a1)=a1,
所以an以三个数为一组,不断循环,
因为2021÷3=,
所以a2021=a2=1−1a1=1−13=23,
故选:D.
10.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了分式的加减法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
原式变形后,利用同分母分式的减法法则计算,约分得到最简结果,将已知等式变形后代入计算即可求出值.
【解答】
解:由y=−x+3,得到x+y=3,
则原式=x2x−y−y2x−y=x2−y2x−y=(x+y)(x−y)x−y=x+y=3,
故选:A.
11.【答案】因式分解
三
1x−2
【解析】略
12.【答案】2
【解析】略
13.【答案】=
【解析】略
14.【答案】4mtt+4
【解析】略
15.【答案】解:因为M−N=x+1−4xx+1=x−12x+1,所以当x>−1时,M−N≥0,即M≥N,所以①错误,同理,当M
16.【答案】解:Ax−1+Bx+1=A(x+1)+B(x−1)(x−1)(x+1)=(A+B)x+A−B(x−1)(x+1),
即(A+B)x+A−B(x+1)(x−1)=3x−2(x+1)(x−1),
∴A+B=3,A−B=−2,解得A=12,B=52.
【解析】见答案
17.【答案】【小题1】
解:当a=5时,
M=a+1a+2=5+15+2=67,
N=a+2a+3=5+25+3=78,
∴M的值为67,N的值为78.
【小题2】
M
=(a+1)(a+3)−(a+2)2(a+3)(a+2)
=−1(a+3)(a+2).
∵a>0,
∴(a+3)(a+2)>0,
∴−1(a+3)(a+2)<0,
∴M
【解析】1. 见答案
2. 见答案
18.【答案】解:x−2−(−1x)=x−2+1x=x2−2x+1x=(x−1)2x,
又∵(x−1)2≥0,x>0,
∴(x−1)2x≥0,
∴x−2−(−1x)≥0,
∴x−2≥−1x.
【解析】利用作差法,结合完全平方公式可得x−2−(−1x)=x−2+1x=x2−2x+1x=(x−1)2x,再根据偶次方的非负数性质可得答案.
本题考查了不等式的性质以及非负数的性质,掌握完全平方公式是解答本题的关键.
19.【答案】设大西瓜的半径为R,小西瓜的半径为r,R>r>d>0.
43πR−d243πR3−43πr−d343πr3=R−d3R3−r−d3r3=1−dR3−1−dr3.
∵R>r>d>0,
∴1−dR>1−dr>0,
∴上式>0.
∴43πR−d243πR3>43πr−d343πr3,
即“大西瓜西瓜瓤占整个西瓜的比例”大于“小西瓜西瓜瓤占整个西瓜的比例”.
∴买大西瓜合算.
【解析】见答案
20.【答案】A、B互为相反数 理由:∵B=12x+5+15−2x=12x+5−12x−5=2x−52x+52x−5−2x+52x+52x−5
=2x−5−2x+52x+52x−5=−104x2−25,∴A+B=104x2−25+−104x2−25=0,即A、B互为相反数.
【解析】见答案
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