（备战24高考数学）10.（回归教材）圆的双切线问题研究

这是一份（备战24高考数学）10.（回归教材）圆的双切线问题研究，共4页。试卷主要包含了圆的双切线相关结论，切线长的计算，四点共圆，的外接圆以为直径，平分， 假设且，假设，圆的方程为等内容，欢迎下载使用。

一．常用结论
1.圆的双切线相关结论
如图，从圆外任一点向圆引两条切线，圆心，两切点，我们把线段的长度叫做切线长，设圆的半径为，则四边形具有如下的性质：
1.；.
2.切线长的计算：,当半径给定，切线长最小等价于最小.
3.四点共圆，的外接圆以为直径（托勒密定理）.
4.平分.
5.，当半径给定，四边形最小等价于最小.
6. 假设且.由基本的三角恒等关系可知：，故可得：
.
7.假设，圆的方程为（）
则切点弦的方程为：.
可以看到，该模型中的很多几何量最终都可以建立为的函数从而求得最小值，这是应该注意的地方.下面的结论更多是以圆的双切线为背景的圆锥曲线综合题目，它们的处理需要借助同构思想来处理双切线问题，我会通过具体例子予以说明.
二．典例分析
下面我们将通过几个例子详细展示圆的双切线模型在高考以及模考中的应用，进一步体会相关结论的用途.
例1. 若是直线：上一动点，过作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
解析：考察性质5.
因为直线与圆相切，所以，且
所以四边形面积，
又，
所以当最小时，最小，四边形面积的最小值，
由图象可得，最小值即为点C到直线的距离，
所以，所以，所以四边形面积的最小值，故选：B.
例2.已知圆的半径为1，为该圆的两条切线，为两切点，那么的最小值为
A．B．C．D．
解析：考察性质6.
如图所示：设，则
所以当且仅当时取“=”，故最小值为.
例3.（2020全国1卷）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
解析：综合考察性质3，5,7.
圆的方程可化为，到直线的距离，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
例4.（2022新高考1卷）写出与圆和都相切的一条直线的方程____________．
解析：由于两圆外切，且均与直线相切，另过两圆圆心的直线的方程为，可得与交点为．
由切线定理得，两圆另一公切线过点，设，由点到直线距离公式可得，解得，即．另由于两圆外切，因此在公切点处存在公切线与垂直，解得．
我们在平时解析几何的教学与备考中，应该更加深入地总结出一些常见常考的解析几何模型及应用，这样就更好地展示出了解析几何的生命力，使得学生可以从几何与代数多角度来研究问题，提高学生的数学素养.