（备战24高考数学）13.（回归教材）但德林双球与圆锥曲线的定义

13.丹德林双球与圆锥曲线的立体视角基本原理1.丹德林双球的定义如图1所示，在圆锥内放入两个球，，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆分别为，.这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林（G·Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球. 图1 图2如图1，设直线分别与圆锥母线交于两点，再设过点的母线分别与，交于两点，由切线长定理：，，故.同理，对于平面与圆锥侧面的交线上任意一点，过的母线分别与，交于两点，则. 即椭圆的长轴长切点圆之间的母线长.2.长轴长与双球半径之间的关系：设两个球，的半径分别为，球心距，则如图2，图3，.3.焦距与双球半径之间的关系：如图4，设，由于，最终求出. 图3 图44.离心率与截面角之间的关系在空间中，已知圆锥是由围绕旋转得到的，我们把称为轴.用平面截圆锥，得到的截口曲线取决于平面与圆锥轴所成的线面角（显然，当与平行时，），具体关系如下：若，平面截圆锥面所得截口曲线为椭圆；若，平面截圆锥面所得截口曲线为抛物线：若，平面截圆锥面所得截口曲线为双曲线.这个比值就是圆锥曲线的离心率，离心率是一个比.二．典例分析例1．（2023届广州一模）如图是数学家 Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球，球的半径分别为4和2，球心距离，截面分别与球，球相切于点（是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.解析：设，由，解得，所以，所以，设直线与圆锥的母线相交于点， 圆锥的母线与球相切于两点，如图所示，则，两式相加得，即，过作，垂直为，则四边形为矩形，所以，，所以椭圆的离心率为. 故答案为：例2.如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为，，这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林（G·Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为，球，的半径分别为1、4，则椭圆的长轴长为___________．解析：如图，A、B为圆锥的一条母线与球的切点，连接、，则，连接，过作交于点D，则，在直角中，，所以，解得，故，在和中，，，为公共边，所以，有.同理可得，由椭圆的定义，得长轴+.故答案为：.例3．如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面和平面相切，两个球分别与平面相切于点，丹德林（）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.若平面截圆锥得的是焦点在轴上，且离心率为的椭圆，圆锥的顶点到椭圆顶点的距离为，圆锥的母线与椭圆的长轴垂直，圆锥的母线与它的轴的夹角为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于A，B两点，A，B中点为D，过点F2的直线MF2与AB垂直，且与直线l：交于点M，求证：O，D，M三点共线.解析：（1）因为圆锥的母线与它的轴的夹角为，所以，且，所以直角三角形中，，所以 ，又因为，所以，，故椭圆的标准方程为（2）设， 由题可知直线AB的斜率存在且不为0，设其方程为，代入椭圆，得：所以，所以，由题可知直线的方程为，且，所以 求得：，，所以，故O，D，M三点共线.