2024高考数学新试卷结构下的压轴题研究：9.三次函数及应用

这是一份2024高考数学新试卷结构下的压轴题研究：9.三次函数及应用，共8页。试卷主要包含了三次函数的图像与性质及应用，根的个数，极值情况，对称中心，三次方程根与系数得关系等内容，欢迎下载使用。
三次函数是高中阶段可以系统研究的一个重要函数， 因为其导函数二次函数是中学阶段研究最深的函数之一，于是在学习完导数后，我们可以通过对其导函数二次函数的详细研究来弄清楚三次函数的基本性质. 通过对三次函数的系统研究，能够增强学生对导数的应用价值的认识和理解. 正因如此，三次函数在高考中自然也是热门的考察方向，特别是在2019，2020年连续两年出现在全国三卷的试题中后，再一次引起了研究热潮. 本节试图从三次函数的基本性质出发，展示其重要的一些应用手法.
基本命题原理
对于三次函数而言，其导函数为一个二次函数，那么根据其导函数的基本性质，可将三次函数的图象和性质梳理如下：
1.根的个数（）.
对于三次函数，其导函数为二次函数:
，
二次函数的判别式化简为：△=，
（1）若，则恰有一个实根；
（2）若,且，则恰有一个实根；
（3）若,且，则有两个不相等的实根；
（4）若,且，则有三个不相等的实根.
注：由图像可知：①含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，
即在上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且
）.
②有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一
为切点，所以，且.
③有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即
有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.故且.
2.极值情况：
三次函数（）,导函数为二次函数
，
二次函数的判别式化简为：△=，
（1） 若，则在上为增函数；
（2）若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中.
证明：, △=，
（1） 当 即时，在 R上恒成立， 即在为
增函数.
（2） 当 即时，解方程，得
由得或，在和上为增函数.由得
，在上为减函数.
总结以上得到结论:三次函数（）
（1）若，则在上无极值；
（2）若，则在上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.
3.对称中心
三次函数的对称中心为点，该点是三
次函数的拐点，此点的横坐标也是二阶导数的零点.
4.三次方程根与系数得关系
（1）已知实系数多项式有三个根,设为
（2）由三次方程根与系数的关系：
二．典例应用
例1.已知曲线在点处的切线与曲线的另外一个交点为为线段的中点,为坐标原点.
（1）求的极小值并讨论的奇偶性.
（2）当函数为奇函数时,直线的斜率记为,若,求实数的取值范围.
解析：（1），当时,；当时，
.当时,显然，所以为奇函数.当时，显然.
且，所以为非奇非偶函数.
（2）,所以曲线在点处的切线方程为
，其与原曲线方程，联立化简
得:.从而.
所以,.由于；
即当时，都有.令,则
，易知当时,；当
时,.即在上递减，在上递增，所以当
时,，所以，从而实数的取值范国为.
注：可以看到，切点的横坐标恰好便是方程①的二重根.
例2.（切割线定理）
如果我们将上述的内容再结合三次函数韦达定理，就可以得到更多有趣的结论.如图，过切点的切线与三次函数的图象交于点，同时，过的割线与三次函数的图象交于三点. 我们有以下结论：
三次函数切割线定理.
；
；
（3）.
证明：显然，方程①整理可得：.结合上述重根个数定理以及韦达定理可得：，结论（1）证毕.
（2）设直线的方程为，代入的表达式结合韦达定理可得：
,再联立，可证得：.
（3）同理，如图，再联立，可得：.

同样是2020年全国三卷23题，不等式选做题，依然以三次方程根与系数的关系命制而
成，下面予以分析，希望各位读者在高三备考时重视对三次方程根与系数关系的认识程度，
有备无患！
例3．设直线与曲线的三个交点分别为，且．现给出如下结论：
①的取值范围是；②为定值；③.
其中正确结论的为
解析：设，则，令，解得：或；当或时，，当时，；∴在上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；当时，取得极大值，当时，取得极小值；作出函数的图象如图所示：
∵直线与曲线有三个交点，由图象知.
令，则是的三个实根．
∴，
即，∴，，，①③正确；∴，∴②正确；
综上，正确的命题序号是①②③．故答案为：①②③．
例4.椭圆曲线加密算法运用于区块链．
椭圆曲线．关于x轴的对称点记为．C在点处的切线是指曲线在点P处的切线．定义“”运算满足：①若，且直线PQ与C有第三个交点R，则；②若，且PQ为C的切线，切点为P，则；③若，规定，且．
（1）当时，讨论函数零点的个数；
（2）已知“”运算满足交换律、结合律，若，且PQ为C的切线，切点为P，证明：；
（3）已知，且直线PQ与C有第三个交点，求的坐标．
参考公式：
解析：（1）由题设可知，有，若，则，则，此时仅有一个零点；若，令，解得．当或时，，当时，，故在，上为单调递增；在上单调递减.因为，若，则，此时，而故此时有2个零点；若，则，
此时，而
故此时有2个零点；综上，当，所以有2个零点．当，所以有2个零点．当，有，则有1个零点．
（2）因为为C在点P处的切线，且，所以，故，故，因为“”运算满足交换律、结合律，
故，故.
（3）直线的斜率，设与C的第三个交点为，
则，代入得，
而，故，
整理得到：，
故即，
同理可得，两式相减得：，故，
所以，故，故，
所以，因此的坐标为：
．