2024高考数学新试卷结构下的压轴题研究：11.空间解析几何与应用

这是一份2024高考数学新试卷结构下的压轴题研究：11.空间解析几何与应用，共9页。试卷主要包含了平面的点法式方程[1]，点到直线的距离公式，点到平面的距离公式[1]，直线的交线式方程[1]等内容，欢迎下载使用。

随着向量法的引出，新教材也在习题位置介绍了空间平面与直线的方程. 类似于平面解析几何思想，在涉及到空间直线的交点或者平面的交线时，我们当然也可以通过它们的方程来求得具体的位置或者轨迹，这样的话，就降低了对几何方法的需求. 实际上，根据笔者的教学经验，学生在利用几何关系寻找交点，截线，轨迹时，往往很难找到解题思路. 所以，我们需要思考和探寻能够更加有效地帮助学生突破这类问题的方法，本文所涉及的空间解析几何思想就是其中重要的一种，下面我将通过近年的高考试题与模考试题做详细分析和说明.
一．基本原理
1.平面的点法式方程[1]
在人教版选择性必修第一册44页习题中出现如下结论：在空间直角坐标系中，已知向量，点.
若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则我们可以得到平面的点法式方程：.
2.点到直线的距离公式
已知直线上两点，则由可知直线的单位方向向量为，则线外一点到直线的距离满足的公式为：.
3.点到平面的距离公式[1]
显然，若我们将上述点法式方程加以整理即可得到平面的一般式方程，即三元一次方程，进一步，若点到平面：的距离为：
.
证明：如图所示，设平面的方程为，向量为的法向量，平面外一点，在平面内取一点，则点到平面的距离为，其中为向量与向量的夹角，则，所以
而，由于点在平面上，因此有，即，由此可得，所以，空间中点平面距离公式可看成平面内点到直线的距离公式的推广.

4.直线的交线式方程[1]
若我们将上述点法式方程加以整理即可得到平面的一般式方程，即三元一次方程：
.进一步，两个平面的交线的方程为：
，
该三元一次方程组称为直线由平面的相交的交线式方程，此时，直线的方向向量为：
，即平面法向量的向量积.
在得到上述平面的方程与点到平面的距离后，我们就可以将一些立体几何问题利用“解析几何”的思想来计算，特别是一些截线，交点问题，倘若我们无法通过几何手段找到“隐点”，“隐截线”的位置，那我们还可通过解析的方法来实现，下面通过实例予以说明.
二．典例分析
例1．在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为：”．用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为和，则这两平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
解析：由题意，平面和平面的法向量分别是，，
设平面和平面的夹角为，故选：B.
例2．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线l是平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
解析：对于，可以整理为，
由题意可得：平面过点，且法向量，联立方程，整理可得，由题意可得：直线l过点，且方向向量为，∵，∴故直线l与平面所成角的正弦值为.故选：A.
例3.（2020新高考1卷16题）已知直四棱柱的棱长为2，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为_________.
解析：建立如图1所示的直角坐标系，由已知条件，，则各点坐标分别为：.
那么，设为面的法向量，则可得：
，故面的方程为：，整理可得：
①.而球的方程为：②.
根据球的截面性质，先计算球心到平面的距离，根据公式可知：.进一步，假设球心在平面的小圆半径为，则.
最后，为了算得截线长，我们假设球心在小圆面的投影为，经过分析，球与面的交点在侧棱上，设交点分别为.则联立①②，以及
，我们可计算得坐标分别为：，于是，那么，，则球与面的截线为
图1 图2
注：利用解析几何的思想，我们只需把握住球的小圆面的基本性质就可通过解析方法找到结果，全程并未通过几何作图找具体位置，不失为一种好的方法！
计算与“隐直线”有关的夹角
例4.（2022合肥二模）在正方体中，为线段的中点，设平面与平面的交线为，则直线与所成角的余弦值为__________．
解析：设正方体的棱长为2，建立如图2所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，建立如图2所示的空间直角坐标系.则，
.设平面的法向量为，由上述可得，由于，取，则可求得：
.
同理，设平面的法向量为，由于，由可求得：.
设直线的方向向量为，那么，即，而，则，故答案为.
例5．（多选题）类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系中的一个平面的方程，如果平面的一个法向量，已知平面上定点，对于平面上任意点，根据可得平面的方程为．则在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．若平面过点，且法向量为，则平面的方程为
B．若平面的方程为，则是平面的法向量
C．方程表示经过坐标原点且斜率为的一条直线
D．关于的任何一个三元一次方程都表示一个平面
解析：对于A：根据题设可知平面的方程为，
即为，故A正确；
对于B：因为平面的方程为，由题设可知平面的一个法向量为，且即共线，所以是平面的法向量，故B正确；
对于C：，
该方程可表示：一个法向量为且过的平面，故C错误；
对于D：设，其等价于，
该方程可表示：一个法向量为且过的平面，故D正确；故选：ABD.
例6．在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为．
阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为，平面的方程为，直线的方程为，直线的方程为，则（ ）
A．平面与垂直
B．平面与所成角的余弦值为
C．直线与平面平行
D．直线与是异面直线
解析：由材料可知：平面的法向量，平面的法向量，直线的方向向量，直线的方向向量；
对于A，，，则平面与垂直，A正确；
对于B，，
平面与所成角的余弦值为，B错误；
对于C，，，直线平面或直线平面，
直线过点，又满足，直线平面，C错误；
对于D，与不平行，直线与直线相交或异面，
由得：，此时无解，直线与直线无交点，
直线与直线是异面直线，D正确.故选：AD.
例7．类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：
①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；
②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为．已知曲面的方程为．
（1）写出坐标平面的方程（无需说明理由），指出平面截曲面所得交线是什么曲线，说明理由；
（2）已知直线过曲面上一点，以为方向量，求证：直线在曲面上（即上任意一点均在曲面上）；
（3）已知曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上．设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值．
解析：（1）根据坐标平面内点的坐标的特征可知，坐标平面的方程为，
已知曲面的方程为，
当时，平面截曲面所得交线上的点满足，
即，也即在平面上到原点距离为定值1，
从而平面截曲面所得交线是平面上，以原点为圆心，1为半径的圆.
（2）设是直线上任意一点，由，均为直线的方向向量，有，从而存在实数，使得，即，
则，解得，所以点的坐标为，
于是，因此点的坐标总是满足曲面的方程，从而直线在曲面上.
（3）直线在曲面上，且过点，设是直线上任意一点，直线的方向向量为，由，均为直线的方向向量，有，从而存在实数，使得，即，则，解得，所以点的坐标为，
∵在曲面上，∴，整理得，由题意，对任意的，有恒成立，∴，且，∴，或，
不妨取，则，或，∴，或，又直线的方向向量为，
则异面直线与所成角的余弦值均为