2024高考数学新试卷结构下的压轴题研究：12.近期模考卷创新题目汇编

这是一份2024高考数学新试卷结构下的压轴题研究：12.近期模考卷创新题目汇编，共13页。试卷主要包含了各地模拟卷17分压轴题汇编， ．等内容，欢迎下载使用。

1．（浙江省温州市2024届高三上学期期末考试）已知动点M到点的距离与到直线l：的距离之比等于．
（1）求动点M的轨迹W的方程；
（2）过直线l上的一点P作轨迹W的两条切线，切点分别为A，B，且，
①求点P的坐标；
②求的角平分线与x轴交点Q的坐标．
解析：（1）设，根据题意得：，化简得：动点M的轨迹方程为：；
（2）①，切线方程为；，代入得：，∵切线，∴，得：（*），
设方程（*）的两根分别为，，分别为PA，PB的斜率，则有，
又∵PA，PB的方向向量分别为，，
∴，解得：，∴．
②由对称性，不妨取，所以，将代入（*）得：，解得，则，
∴，
得：，所以点Q的坐标为.
2．（浙江省宁波市镇海中学2024届高三上学期期末）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数）
(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆在处的曲率；
(3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．
解析：（1）．
（2），，，
故，，故．
（3），，故，其中，
令，，则，则，其中（不妨）
令，在递减，在递增，故；
令，
，令，
则，当时，恒成立，故在上单调递增，
可得，即，故有，
则在递增，又，，故，
故．
3．（新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2024届高三第一次质量监测）已知函数．
（1）证明曲线在处的切线过原点；
（2）讨论的单调性；
（3）若，求实数的取值范围．
解析：（1）由题设得，所以，又因为，所以切点为，斜率，
所以切线方程为，即恒过原点．
（2）由（1）得，①时，，
当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减；令，则
②且时，即时，，在上单调递增，时，，，则，或，得
所以在上单调递增，在上单调递增；
，则，则，所以在上单调递减，
③时，，
则，则，所以在上单调递减；
，则，所以在上单调递增，
综上：时，在上单调递增；在上单调递减；
时，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递增；在上单调递减，
时，在上单调递减；在上单调递增，
（3）当时，，即，
下面证明当时，，，即证，
令，因为，所以，只需证，
即证，令，，，令，，
令，，与在上单调递减，
所以在上单调递减，，，
所以存在，使得，即，
所以，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，，，
令，时，
所以在上单调递增，所以，
所以，，所以在上单调递减，
，，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，综上所述．
4. （合肥一中2024届高三上学期期末）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，，且．若则称a与b关于模m同余，记作（mdm）（“|”为整除符号）．
（1）解同余方程（md3）；
（2）设（1）中方程的所有正根构成数列，其中．
①若（），数列的前n项和为，求；
②若（），求数列的前n项和．
解析：（1）
由题意（md3），所以或（），即或（）．
（2）由（1）可得为，所以．
①因为（），所以．
．
②（）．
因为，
所以
．
5．（江西省南昌市第二中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试）若存在使得对任意恒成立，则称为函数在上的最大值点，记函数在上的所有最大值点所构成的集合为
（1）若，求集合；
（2）若，求集合；
（3）设为大于1的常数，若，证明，若集合中有且仅有两个元素，则所有满足条件的从小到大排列构成一个等差数列．
解析：（1）,
当且仅当时，在R上取得最大值，故；
（2）定义域为R，
，
令，则，令得，
其中，故，，可以看出，
故有且仅有2个零点，分别为1和2，令得或1或2，
其中，故当或2时，取得最大值，故；
（3），，，，
令得，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当，，单调递增，
……，
由于，
故所有的单调递增区间经过适当平移可重合，同理，所有的单调递减区间经过适当平移可重合，要想集合中有且仅有两个元素，则需要或，或，……，，
其中，
，
又，
所有的均处在单调递增区间上，所以为定值，故所有满足条件的从小到大排列构成一个等差数列．
6．（江西省抚州市临川第一中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试）若各项为正的无穷数列满足：对于，，其中为非零常数，则称数列为数列.记.
(1)判断无穷数列和是否是数列，并说明理由；
(2)若是数列，证明：数列中存在小于1的项；
(3)若是数列，证明：存在正整数，使得.
解析：（1）是数列，不是数列，理由如下：当时，，，
则，故是数列；当时，，，
则，故不是数列；
（2）若是数列，则且，此时数列是以为首项，为公差的等差数列，故，当时，则总存在正整数，使，
与矛盾，故恒成立，，
有，，
即，，有，
则，由随的增大而增大，
故总存在正整数使，即数列中存在小于1的项；
（3）由（2）得，故，
即
，
则
，由随的增大而增大，且时，，故对任意的，总存在正整数使，即总存在正整数，使得.
7．（吉林省长春市五校2023-2024学年高三上学期联合模拟考试）已知（其中为自然对数的底数）.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程，
（2）当时，判断是否存在极值，并说明理由；
（3），求实数的取值范围.
解析：（1）当时，，可得，
则，所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：当时，，定义域为，可得，令，则，
当时，；当时，，所以在递减，在上递增，所以，
又由，存在使得，存在使得，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；
所以时，有一个极大值，一个极小值.
（3）由，可得，
由，因为，可得，令，则在上递减，当时，可得，则，所以，则，
又因为，使得，即且当时，，即；当时，，即，
所以在递增，在递减，所以，
由，可得，由，可得，即，由，可得，所以，因为，设，则，
可知在上递增，且，
所以实数的取值范围是.
8．（2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考））离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为．
(1)若，求；
(2)对，记为除以的余数（当能被整除时，）．证明：，其中；
(3)已知．对，令．证明：．
解析：（1）若，又注意到，所以.
（2）【方法一】：当时，此时，此时，，
故，此时.
当时，因相异，故，而，故互质.
记，则，使得，故，故，
设，则，因为除以的余数两两相异，
且除以的余数两两相异，故，故，故，而其中，故即.
法2：记，，，
其中，，k是整数，则，
可知．因为1，a，，…，两两不同，所以存在，使得，即可以被p整除，于是可以被p整除，即．若，则，，因此，．
记，，，其中l是整数，
则，即．
（3）【方法二】：当时，由（2）可得，若，则也成立.因为，所以.另一方面，
.由于，所以.
法2：由题设和（2）的法2的证明知：
，
．
故
．
由（2）法2的证明知，所以．
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