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2023-2024学年鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形测验题（原卷+解析版）
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山东省济宁市鲁教版2023-2024学年八年级下册第六章特殊的平行四边形测验题一．选择题（共10小题）1．如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（ ）A． B．1 C． D．2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（ ）A．AO＝BO B．AC＝BD C．OD＝AC D．AC⊥BD3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（ ）A．4 B．3 C． D．24．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE，则△AED的面积为（ ）-A．6 B．8 C．12 D．245．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分．若添加下列条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）A．AC＝BD B．∠DAB＝90° C．AB＝AD D．∠ADC+∠ABC＝180°6．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝4，BD＝8，则OE的长为（ ）A． B． C．20 D．107．如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（ ）A．30° B．45° C．60° D．55°8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，仍不能使矩形ABCD成为正方形的是（ ）A．AC⊥BD B．AC平分∠BAD C．AB＝BC D．△OCD是等边三角形9．数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得∠D＝60°，对角线AC长为16cm，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的边长为（ ）A．8cm B．4cm C．16cm D．16cm10．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）A．当∠ABC＝90°时，▱ABCD是矩形 B．当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形 C．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC二．解答题（共10小题）11．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，点F在AD上，且AF＝AB，连接BF交AE于点G，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BF＝10，AB＝10，求菱形ABEF的面积．12．如图，已知平行四边形ABCD．（1）若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，求证：四边形AMCN是矩形；（2）若∠BAD＝120°，CD＝3，AB⊥AC，求平行四边形ABCD的面积．13．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．（1）求证：四边形BECF是菱形；（2）当∠A＝ °时，四边形BECF是正方形；（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 ．14．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，∠EFC＝2∠ABE．求证：四边形DBFE是菱形．15．如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．（1）求证：四边形ACFD是矩形；（2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABD＝∠CBD，AB＝AD．（1）求证：四边形ABCD为菱形．（2）过点A作AE⊥BC于点E，若CE＝4，，求BD的长．17．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四边形BFDE的面积．18．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．（1）∠EAF＝ °（直接写出结果不写解答过程）；（2）①求证：四边形ABCD是正方形．②若BE＝EC＝3，求DF的长．19．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．20．如图，在正方形ABCD中，BD是对角线，AO⊥BD于点O，OE⊥BC于点E，OF⊥CD于点F．（1）求证：四边形OECF是正方形；（2）若AD＝4，求正方形OECF的面积． 山东省济宁市鲁教版2023-2024学年八年级下册第六章特殊的平行四边形测验题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（ ）A． B．1 C． D．【分析】连接BD交AC于点O，由菱形的性质得OA＝OC，∠BAO＝30°，AC⊥BD，再由含30°角的直角三角形的性质得OB＝，然后由勾股定理得OA＝，即可得出结论．【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴OA＝OC，∠BAO＝∠DAB＝30°，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴OB＝AB＝，∴OA＝＝＝，∴AC＝2OA＝，故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（ ）A．AO＝BO B．AC＝BD C．OD＝AC D．AC⊥BD【分析】根据菱形的定义和判定定理即可作出判断．【解答】解：A、AO＝BO，可得AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，错误，不合题意；B、AC＝BD，不能判断平行四边形ABCD是菱形，错误，不合题意；C、OD＝AC，不能判断平行四边形ABCD是菱形，错误，不合题意；D、AC⊥BD，对角线垂直的平行四边形是菱形，正确，符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查菱形的判定，解题的关键是熟知菱形的判定定理．3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（ ）A．4 B．3 C． D．2【分析】连接DE，因为AB＝AD，AE⊥BD，AD∥BC，可证四边形ABED为菱形，从而得到BE、BC的长，进而解答即可．【解答】解：连接DE．在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得DE＝5．∵AB＝AD，AE平分∠BAD，∴AE⊥BD，∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE．∴DE＝BE＝5．∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE＝5，∴BC＝BE+EC＝8，∴四边形ABED是菱形，由勾股定理得出BD＝，∴BO＝BD＝2，故选：D．【点评】本题考查勾股定理的运用以及菱形的判定和性质，题目难度适中，根据条件能够发现图中的菱形ABDE是关键．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE，则△AED的面积为（ ）A．6 B．8 C．12 D．24【分析】过点A作AF⊥BD于F，根据勾股定理求出BD＝AC＝10，得到DE的长度，利用面积法求出AF即可．【解答】解：过点A作AF⊥BD于F，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∴，∵对角线AC，BD相交于点O，∴，∵E为OD的中点，∴，∵∴∴△AED的面积为故选：A．【点评】此题考查了矩形的性质，勾股定理，正确掌握矩形的性质及利用面积法求出AF是解题的关键．5．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分．若添加下列条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）A．AC＝BD B．∠DAB＝90° C．AB＝AD D．∠ADC+∠ABC＝180°【分析】首先证出四边形ABCD是平行四边形，再分别对各个选项分别进行判定是不是矩形即可．【解答】解：∵四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；若∠DAB＝90°，则四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；若AB＝AD，则四边形ABCD是菱形，故选项C符合题意；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC，若∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，则四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质，关键是熟练掌握矩形的判定定理．6．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝4，BD＝8，则OE的长为（ ）A． B． C．20 D．10【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD，再证出平行四边形OCED为矩形，得OE＝CD即可求出OE的长．【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝8，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝2，OB＝OD＝BD＝4，∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝，∴平行四边形OCED为矩形，∴OE＝CD＝，故选：B．【点评】本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质，平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．7．如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（ ）A．30° B．45° C．60° D．55°【分析】由正方形的性质得出AB＝AD，∠BAD＝90°，再根据等腰三角形的性质得出∠ABE＝∠AEB，∠AED＝∠ADE，然后由三角形内角和定理求出∠AEB+∠AED＝135°，即可得出∠BEF．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵AE＝AB，∴AE＝AB＝AD，∴∠ABE＝∠AEB，∠AED＝∠ADE，∠ABE+∠AEB+∠BAE＝180°，∠AED+∠ADE+∠DAE＝180°，∵∠BAE+∠DAE＝∠BAD＝90°，∴∠ABE+∠AEB+∠AED+∠ADE＝270°，∴∠AEB+∠AED＝135°，即∠BED＝135°，∴∠BEF＝180°﹣135°＝45°．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握正方形和等腰三角形的性质，弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，仍不能使矩形ABCD成为正方形的是（ ）A．AC⊥BD B．AC平分∠BAD C．AB＝BC D．△OCD是等边三角形【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．∴A、C不符合题意；∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠DAC＝∠ACB，∴AB＝BC，∴矩形ABCD成为正方形，∴B不符合题意；∵添加△OCD是等边三角形，不能使矩形ABCD成为正方形，选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键9．数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得∠D＝60°，对角线AC长为16cm，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的边长为（ ）A．8cm B．4cm C．16cm D．16cm【分析】如图1，图2中，连接AC．在图1中，证△ADC是等边三角形，得出AD＝DC＝AC＝16cm即可得到答案．【解答】解：如图1，图2中，连接AC．图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，∵∠D＝60°，∴△ADC是等边三角形，∴AD＝DC＝AC＝16cm，∴正方形ABCD的边长为16cm，故选：C．【点评】本题考查菱形的性质、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．10．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）A．当∠ABC＝90°时，▱ABCD是矩形 B．当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形 C．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定和性质逐个判断即可．【解答】解：A、当∠ABC＝90°时，由有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形，故该选项不符合题意；B、当AC⊥BD时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，故该选项不符合题意；C、当▱ABCD是正方形时，由正方形的对角线可得AC＝BD，故该选项不符合题意；D、当▱ABCD是菱形时，可得AB＝BC＝CD＝DA，不能得到AB＝AC，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了对矩形、菱形、正方形的判定和性质的应用，能正确运用判定定理和性质定理进行判断是解此题的关键．二．解答题（共10小题）11．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，点F在AD上，且AF＝AB，连接BF交AE于点G，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BF＝10，AB＝10，求菱形ABEF的面积．【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE＝∠AEB，证出BE＝AB，由AF＝AB得出BE＝AF，即可得出结论．（2）根据菱形的性质得到AB＝BF＝10，BG＝FG＝5，利用勾股定理求出AG，进而求出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB，∵AF＝AB，∴BE＝AF，又∵BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AF＝AB，∴平行四边形ABEF是菱形；（2）解：∵四边形ABEF为菱形，∴AF＝AB＝10，AG⊥BF，又∵BF＝10，∴BG＝FG＝5，∴＝，∴，∴菱形ABEF的面积．【点评】本题主要考查了菱形的性质和判定，勾股定理，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线互相垂直且平分．12．如图，已知平行四边形ABCD．（1）若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，求证：四边形AMCN是矩形；（2）若∠BAD＝120°，CD＝3，AB⊥AC，求平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN是平行四边形；（2）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB＝CD＝3，求得∠ABC＝60°，勾股定理即可求出AC，可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵AC＝2OM，∴MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝3，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠BCA＝30°∴BC＝6∴AC＝＝3，∴平行四边形ABCD的面积＝AC•AB＝33＝9．【点评】本题考查了矩形的判定，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．13．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．（1）求证：四边形BECF是菱形；（2）当∠A＝ 45 °时，四边形BECF是正方形；（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 12 ．【分析】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC，根据四边相等的四边形是菱形即可判断；（2）若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°，而∠ACB＝90°，则∠ACE＝45°，若∠A＝45°，则∠AEC＝90°，可得四边形BECF是正方形；（3）根据梯形面积公式即可得到答案．【解答】（1）证明：∵EF垂直平分BC，∴BF＝FC，BE＝EC，∴∠FCB＝∠FBC，∵CF∥AE∴∠FCB＝∠CBE，∴∠FBC＝∠CBE，∵∠FDB＝∠EDB，BD＝BD，∴△FDB≌△EDB（ASA），∴BF＝BE，∴BE＝EC＝FC＝BF，∴四边形BECF是菱形；（2）解：当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形，理由如下：若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝45°，∵∠A＝45°，∴∠AEC＝90°，由（1）知四边形BECF是菱形，∴四边形BECF是正方形；故答案为：45；（3）解：由（2）知，四边形BECF是正方形，AE＝BE＝CE＝2，∴四边形ABFC的面积为＝12，故答案为：12．【点评】本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握菱形、正方形的判定定理．14．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，∠EFC＝2∠ABE．求证：四边形DBFE是菱形．【分析】证四边形DBFE是平行四边形，再证DE＝DB，然后由菱形的判定即可得出结论．【解答】证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠EFC＝2∠ABE＝∠ABC，∴EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠DEB，∴DE＝DB，∴四边形DBFE是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．15．如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．（1）求证：四边形ACFD是矩形；（2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．【分析】（1）证明△ADE≌△FCE（AAS），得AE＝FE，所以四边形ACFD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题；（2）根据矩形的性质和勾股定理求出DF的值，由△ADE≌△FCE，可得四边形ABCE的面积＝平行四边形ABCD﹣△CEF的面积，进而可以解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE，∵E为线段CD的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AE＝FE，∴四边形ACFD是平行四边形，∵∠ACF＝90°，∴四边形ACFD是矩形；（2）解：∵四边形ACFD是矩形，∴∠CFD＝90°，AC＝DF，∵CD＝13，CF＝5，∴DF＝＝＝12，∵△ADE≌△FCE，∵△CEF的面积＝△ACF的面积＝5×12＝15，平行四边形ABCD的面积＝BC•AC＝5×12＝60，∴四边形ABCE的面积＝平行四边形ABCD的面积﹣△CEF的面积＝60﹣15＝45．【点评】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABD＝∠CBD，AB＝AD．（1）求证：四边形ABCD为菱形．（2）过点A作AE⊥BC于点E，若CE＝4，，求BD的长．【分析】（1）首先证明出四边形ABCD为平行四边形，然后结合AB＝AD即可证明出四边形ABCD为菱形；（2）首先根据菱形的性质得到AB＝BC，然后根据得到BE＝2，AB＝BC＝6，然后利用勾股定理求出，，最后利用菱形的面积公式求解即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB．又∵∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC．又∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵AB＝AD，∴四边形ABCD为菱形．（2）如图，连接AC．∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC．又∵，∴，∴．∵CE＝4，∴BE＝2，AB＝BC＝6．∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∴，∴．∵菱形ABCD的面积＝，∴．【点评】此题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．17．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四边形BFDE的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质可以得到DF∥EB，再根据DF＝EB，可以得到四边形BFDE是平行四边形，然后根据DE⊥AB，即可证明结论成立；（2）根据勾股定理可以得到AD的长，再根据平行线的性质和角平分线的定义，可以得到∠DAF＝∠DFA，从而可以得到AD＝FD，然后即可得到DF的值，最后根据矩形的面积＝DF•DE计算即可．【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，∴DF∥EB，又∵DF＝EB，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵DE⊥AB，∵AF平分∠DAB，DC∥AB，∴∠DAF＝∠FAB，∠DFA＝∠FAB，∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝FD＝5，∵AB＝CD，DF＝BE，∴AE＝CF＝3，∴DE＝＝4，∴矩形BFDE的面积是：DF•DE＝5×4＝20，即矩形BFDE的面积是20．【点评】本题考查矩形的判定和性质、角平分线的定义、勾股定理、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．（1）∠EAF＝ 45 °（直接写出结果不写解答过程）；（2）①求证：四边形ABCD是正方形．②若BE＝EC＝3，求DF的长．【分析】（1）根据平角的定义得到∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，根据角平分线的定义得到∠AFE＝∠DFE，∠AEF＝∠BEF，求得∠AEF+∠AFE＝（∠DFE+∠BEF），根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）①作AG⊥EF于G，如图1所示：则∠AGE＝∠AGF＝90°，先证明四边形ABCD是矩形，再由角平分线的性质得出AB＝AD，即可得出四边形ABCD是正方形；②设DF＝x，根据已知条件得到BC＝6，由①得四边形ABCD是正方形，求得BC＝CD＝4，根据全等三角形的性质得到BE＝EG＝2，同理，GF＝DF＝x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】（1）解：∵∠C＝90°，∴∠CFE+∠CEF＝90°，∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，∴∠AFE＝DFE，∠AEF＝BEF，∴∠AEF+∠AFE＝（∠DFE+∠BEF）＝270°＝135°，∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°，故答案为：45；（2）①证明：作AG⊥EF于G，如图1所示：则∠AGE＝∠AGF＝90°，∵AB⊥CE，AD⊥CF，∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，∴四边形ABCD是矩形，∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，∴AB＝AG，AD＝AG，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形；②解：设DF＝x，∵BE＝EC＝3，∴BC＝6，由①得四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝6，在Rt△ABE与Rt△AGE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），∴BE＝EG＝6，同理，GF＝DF＝x，在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，即32+（6﹣x）2＝（x+3）2，解得：x＝2，∴DF的长为2．【点评】本题考查了正方形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、矩形的判定、翻折变换的性质等知识是解题的关键．19．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）作出辅助线，得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF即可；（2）同（1）的方法判断出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，即：CE+CG＝CE+AE＝AC＝6．【解答】解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等．20．如图，在正方形ABCD中，BD是对角线，AO⊥BD于点O，OE⊥BC于点E，OF⊥CD于点F．（1）求证：四边形OECF是正方形；（2）若AD＝4，求正方形OECF的面积．【分析】（1）首先证得△ODF≌△OBE（AAS），得到OF＝OE，结合四边形OECF是矩形，推导出四边形OECF是正方形；（2）由正方形ABCD得到∠ODF＝45°，AD＝CD＝4，DF＝OF，又OF＝FC，，进而求得正方形OECF的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB．∵AO⊥BD，∴DO＝BO，∵OF⊥DC，OE⊥BC，∴∠OFD＝∠OEB＝90°∵∠ODF＝∠OBE＝45°，∴△ODF≌△OBE（AAS），∴OF＝OE．∵∠OFC＝∠OEC＝∠C＝90°，∴四边形OECF是矩形．∵OE＝OF，∴四边形OECF是正方形．（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ODF＝45°，AD＝CD＝4．∵∠OFD＝90°，∴DF＝OF．∵四边形OECF是正方形，∴OF＝FC，∴，∴S正方形OECF＝FC2＝4．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质是解题的关键．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/1/6 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山东省济宁市鲁教版2023-2024学年八年级下册第六章特殊的平行四边形测验题一．选择题（共10小题）1．如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（ ）A． B．1 C． D．2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（ ）A．AO＝BO B．AC＝BD C．OD＝AC D．AC⊥BD3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（ ）A．4 B．3 C． D．24．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE，则△AED的面积为（ ）-A．6 B．8 C．12 D．245．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分．若添加下列条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）A．AC＝BD B．∠DAB＝90° C．AB＝AD D．∠ADC+∠ABC＝180°6．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝4，BD＝8，则OE的长为（ ）A． B． C．20 D．107．如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（ ）A．30° B．45° C．60° D．55°8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，仍不能使矩形ABCD成为正方形的是（ ）A．AC⊥BD B．AC平分∠BAD C．AB＝BC D．△OCD是等边三角形9．数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得∠D＝60°，对角线AC长为16cm，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的边长为（ ）A．8cm B．4cm C．16cm D．16cm10．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）A．当∠ABC＝90°时，▱ABCD是矩形 B．当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形 C．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC二．解答题（共10小题）11．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，点F在AD上，且AF＝AB，连接BF交AE于点G，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BF＝10，AB＝10，求菱形ABEF的面积．12．如图，已知平行四边形ABCD．（1）若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，求证：四边形AMCN是矩形；（2）若∠BAD＝120°，CD＝3，AB⊥AC，求平行四边形ABCD的面积．13．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．（1）求证：四边形BECF是菱形；（2）当∠A＝ °时，四边形BECF是正方形；（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 ．14．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，∠EFC＝2∠ABE．求证：四边形DBFE是菱形．15．如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．（1）求证：四边形ACFD是矩形；（2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABD＝∠CBD，AB＝AD．（1）求证：四边形ABCD为菱形．（2）过点A作AE⊥BC于点E，若CE＝4，，求BD的长．17．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四边形BFDE的面积．18．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．（1）∠EAF＝ °（直接写出结果不写解答过程）；（2）①求证：四边形ABCD是正方形．②若BE＝EC＝3，求DF的长．19．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．20．如图，在正方形ABCD中，BD是对角线，AO⊥BD于点O，OE⊥BC于点E，OF⊥CD于点F．（1）求证：四边形OECF是正方形；（2）若AD＝4，求正方形OECF的面积． 山东省济宁市鲁教版2023-2024学年八年级下册第六章特殊的平行四边形测验题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（ ）A． B．1 C． D．【分析】连接BD交AC于点O，由菱形的性质得OA＝OC，∠BAO＝30°，AC⊥BD，再由含30°角的直角三角形的性质得OB＝，然后由勾股定理得OA＝，即可得出结论．【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴OA＝OC，∠BAO＝∠DAB＝30°，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴OB＝AB＝，∴OA＝＝＝，∴AC＝2OA＝，故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（ ）A．AO＝BO B．AC＝BD C．OD＝AC D．AC⊥BD【分析】根据菱形的定义和判定定理即可作出判断．【解答】解：A、AO＝BO，可得AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，错误，不合题意；B、AC＝BD，不能判断平行四边形ABCD是菱形，错误，不合题意；C、OD＝AC，不能判断平行四边形ABCD是菱形，错误，不合题意；D、AC⊥BD，对角线垂直的平行四边形是菱形，正确，符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查菱形的判定，解题的关键是熟知菱形的判定定理．3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（ ）A．4 B．3 C． D．2【分析】连接DE，因为AB＝AD，AE⊥BD，AD∥BC，可证四边形ABED为菱形，从而得到BE、BC的长，进而解答即可．【解答】解：连接DE．在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得DE＝5．∵AB＝AD，AE平分∠BAD，∴AE⊥BD，∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE．∴DE＝BE＝5．∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE＝5，∴BC＝BE+EC＝8，∴四边形ABED是菱形，由勾股定理得出BD＝，∴BO＝BD＝2，故选：D．【点评】本题考查勾股定理的运用以及菱形的判定和性质，题目难度适中，根据条件能够发现图中的菱形ABDE是关键．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE，则△AED的面积为（ ）A．6 B．8 C．12 D．24【分析】过点A作AF⊥BD于F，根据勾股定理求出BD＝AC＝10，得到DE的长度，利用面积法求出AF即可．【解答】解：过点A作AF⊥BD于F，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∴，∵对角线AC，BD相交于点O，∴，∵E为OD的中点，∴，∵∴∴△AED的面积为故选：A．【点评】此题考查了矩形的性质，勾股定理，正确掌握矩形的性质及利用面积法求出AF是解题的关键．5．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分．若添加下列条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）A．AC＝BD B．∠DAB＝90° C．AB＝AD D．∠ADC+∠ABC＝180°【分析】首先证出四边形ABCD是平行四边形，再分别对各个选项分别进行判定是不是矩形即可．【解答】解：∵四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；若∠DAB＝90°，则四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；若AB＝AD，则四边形ABCD是菱形，故选项C符合题意；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC，若∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，则四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质，关键是熟练掌握矩形的判定定理．6．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝4，BD＝8，则OE的长为（ ）A． B． C．20 D．10【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD，再证出平行四边形OCED为矩形，得OE＝CD即可求出OE的长．【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝8，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝2，OB＝OD＝BD＝4，∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝，∴平行四边形OCED为矩形，∴OE＝CD＝，故选：B．【点评】本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质，平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．7．如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（ ）A．30° B．45° C．60° D．55°【分析】由正方形的性质得出AB＝AD，∠BAD＝90°，再根据等腰三角形的性质得出∠ABE＝∠AEB，∠AED＝∠ADE，然后由三角形内角和定理求出∠AEB+∠AED＝135°，即可得出∠BEF．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵AE＝AB，∴AE＝AB＝AD，∴∠ABE＝∠AEB，∠AED＝∠ADE，∠ABE+∠AEB+∠BAE＝180°，∠AED+∠ADE+∠DAE＝180°，∵∠BAE+∠DAE＝∠BAD＝90°，∴∠ABE+∠AEB+∠AED+∠ADE＝270°，∴∠AEB+∠AED＝135°，即∠BED＝135°，∴∠BEF＝180°﹣135°＝45°．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握正方形和等腰三角形的性质，弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，仍不能使矩形ABCD成为正方形的是（ ）A．AC⊥BD B．AC平分∠BAD C．AB＝BC D．△OCD是等边三角形【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．∴A、C不符合题意；∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠DAC＝∠ACB，∴AB＝BC，∴矩形ABCD成为正方形，∴B不符合题意；∵添加△OCD是等边三角形，不能使矩形ABCD成为正方形，选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键9．数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得∠D＝60°，对角线AC长为16cm，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的边长为（ ）A．8cm B．4cm C．16cm D．16cm【分析】如图1，图2中，连接AC．在图1中，证△ADC是等边三角形，得出AD＝DC＝AC＝16cm即可得到答案．【解答】解：如图1，图2中，连接AC．图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，∵∠D＝60°，∴△ADC是等边三角形，∴AD＝DC＝AC＝16cm，∴正方形ABCD的边长为16cm，故选：C．【点评】本题考查菱形的性质、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．10．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）A．当∠ABC＝90°时，▱ABCD是矩形 B．当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形 C．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定和性质逐个判断即可．【解答】解：A、当∠ABC＝90°时，由有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形，故该选项不符合题意；B、当AC⊥BD时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，故该选项不符合题意；C、当▱ABCD是正方形时，由正方形的对角线可得AC＝BD，故该选项不符合题意；D、当▱ABCD是菱形时，可得AB＝BC＝CD＝DA，不能得到AB＝AC，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了对矩形、菱形、正方形的判定和性质的应用，能正确运用判定定理和性质定理进行判断是解此题的关键．二．解答题（共10小题）11．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，点F在AD上，且AF＝AB，连接BF交AE于点G，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BF＝10，AB＝10，求菱形ABEF的面积．【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE＝∠AEB，证出BE＝AB，由AF＝AB得出BE＝AF，即可得出结论．（2）根据菱形的性质得到AB＝BF＝10，BG＝FG＝5，利用勾股定理求出AG，进而求出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB，∵AF＝AB，∴BE＝AF，又∵BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AF＝AB，∴平行四边形ABEF是菱形；（2）解：∵四边形ABEF为菱形，∴AF＝AB＝10，AG⊥BF，又∵BF＝10，∴BG＝FG＝5，∴＝，∴，∴菱形ABEF的面积．【点评】本题主要考查了菱形的性质和判定，勾股定理，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线互相垂直且平分．12．如图，已知平行四边形ABCD．（1）若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，求证：四边形AMCN是矩形；（2）若∠BAD＝120°，CD＝3，AB⊥AC，求平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN是平行四边形；（2）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB＝CD＝3，求得∠ABC＝60°，勾股定理即可求出AC，可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵AC＝2OM，∴MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝3，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠BCA＝30°∴BC＝6∴AC＝＝3，∴平行四边形ABCD的面积＝AC•AB＝33＝9．【点评】本题考查了矩形的判定，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．13．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．（1）求证：四边形BECF是菱形；（2）当∠A＝ 45 °时，四边形BECF是正方形；（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 12 ．【分析】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC，根据四边相等的四边形是菱形即可判断；（2）若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°，而∠ACB＝90°，则∠ACE＝45°，若∠A＝45°，则∠AEC＝90°，可得四边形BECF是正方形；（3）根据梯形面积公式即可得到答案．【解答】（1）证明：∵EF垂直平分BC，∴BF＝FC，BE＝EC，∴∠FCB＝∠FBC，∵CF∥AE∴∠FCB＝∠CBE，∴∠FBC＝∠CBE，∵∠FDB＝∠EDB，BD＝BD，∴△FDB≌△EDB（ASA），∴BF＝BE，∴BE＝EC＝FC＝BF，∴四边形BECF是菱形；（2）解：当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形，理由如下：若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝45°，∵∠A＝45°，∴∠AEC＝90°，由（1）知四边形BECF是菱形，∴四边形BECF是正方形；故答案为：45；（3）解：由（2）知，四边形BECF是正方形，AE＝BE＝CE＝2，∴四边形ABFC的面积为＝12，故答案为：12．【点评】本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握菱形、正方形的判定定理．14．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，∠EFC＝2∠ABE．求证：四边形DBFE是菱形．【分析】证四边形DBFE是平行四边形，再证DE＝DB，然后由菱形的判定即可得出结论．【解答】证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠EFC＝2∠ABE＝∠ABC，∴EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠DEB，∴DE＝DB，∴四边形DBFE是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．15．如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．（1）求证：四边形ACFD是矩形；（2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．【分析】（1）证明△ADE≌△FCE（AAS），得AE＝FE，所以四边形ACFD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题；（2）根据矩形的性质和勾股定理求出DF的值，由△ADE≌△FCE，可得四边形ABCE的面积＝平行四边形ABCD﹣△CEF的面积，进而可以解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE，∵E为线段CD的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AE＝FE，∴四边形ACFD是平行四边形，∵∠ACF＝90°，∴四边形ACFD是矩形；（2）解：∵四边形ACFD是矩形，∴∠CFD＝90°，AC＝DF，∵CD＝13，CF＝5，∴DF＝＝＝12，∵△ADE≌△FCE，∵△CEF的面积＝△ACF的面积＝5×12＝15，平行四边形ABCD的面积＝BC•AC＝5×12＝60，∴四边形ABCE的面积＝平行四边形ABCD的面积﹣△CEF的面积＝60﹣15＝45．【点评】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABD＝∠CBD，AB＝AD．（1）求证：四边形ABCD为菱形．（2）过点A作AE⊥BC于点E，若CE＝4，，求BD的长．【分析】（1）首先证明出四边形ABCD为平行四边形，然后结合AB＝AD即可证明出四边形ABCD为菱形；（2）首先根据菱形的性质得到AB＝BC，然后根据得到BE＝2，AB＝BC＝6，然后利用勾股定理求出，，最后利用菱形的面积公式求解即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB．又∵∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC．又∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵AB＝AD，∴四边形ABCD为菱形．（2）如图，连接AC．∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC．又∵，∴，∴．∵CE＝4，∴BE＝2，AB＝BC＝6．∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∴，∴．∵菱形ABCD的面积＝，∴．【点评】此题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．17．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四边形BFDE的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质可以得到DF∥EB，再根据DF＝EB，可以得到四边形BFDE是平行四边形，然后根据DE⊥AB，即可证明结论成立；（2）根据勾股定理可以得到AD的长，再根据平行线的性质和角平分线的定义，可以得到∠DAF＝∠DFA，从而可以得到AD＝FD，然后即可得到DF的值，最后根据矩形的面积＝DF•DE计算即可．【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，∴DF∥EB，又∵DF＝EB，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵DE⊥AB，∵AF平分∠DAB，DC∥AB，∴∠DAF＝∠FAB，∠DFA＝∠FAB，∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝FD＝5，∵AB＝CD，DF＝BE，∴AE＝CF＝3，∴DE＝＝4，∴矩形BFDE的面积是：DF•DE＝5×4＝20，即矩形BFDE的面积是20．【点评】本题考查矩形的判定和性质、角平分线的定义、勾股定理、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．（1）∠EAF＝ 45 °（直接写出结果不写解答过程）；（2）①求证：四边形ABCD是正方形．②若BE＝EC＝3，求DF的长．【分析】（1）根据平角的定义得到∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，根据角平分线的定义得到∠AFE＝∠DFE，∠AEF＝∠BEF，求得∠AEF+∠AFE＝（∠DFE+∠BEF），根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）①作AG⊥EF于G，如图1所示：则∠AGE＝∠AGF＝90°，先证明四边形ABCD是矩形，再由角平分线的性质得出AB＝AD，即可得出四边形ABCD是正方形；②设DF＝x，根据已知条件得到BC＝6，由①得四边形ABCD是正方形，求得BC＝CD＝4，根据全等三角形的性质得到BE＝EG＝2，同理，GF＝DF＝x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】（1）解：∵∠C＝90°，∴∠CFE+∠CEF＝90°，∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，∴∠AFE＝DFE，∠AEF＝BEF，∴∠AEF+∠AFE＝（∠DFE+∠BEF）＝270°＝135°，∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°，故答案为：45；（2）①证明：作AG⊥EF于G，如图1所示：则∠AGE＝∠AGF＝90°，∵AB⊥CE，AD⊥CF，∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，∴四边形ABCD是矩形，∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，∴AB＝AG，AD＝AG，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形；②解：设DF＝x，∵BE＝EC＝3，∴BC＝6，由①得四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝6，在Rt△ABE与Rt△AGE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），∴BE＝EG＝6，同理，GF＝DF＝x，在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，即32+（6﹣x）2＝（x+3）2，解得：x＝2，∴DF的长为2．【点评】本题考查了正方形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、矩形的判定、翻折变换的性质等知识是解题的关键．19．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）作出辅助线，得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF即可；（2）同（1）的方法判断出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，即：CE+CG＝CE+AE＝AC＝6．【解答】解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等．20．如图，在正方形ABCD中，BD是对角线，AO⊥BD于点O，OE⊥BC于点E，OF⊥CD于点F．（1）求证：四边形OECF是正方形；（2）若AD＝4，求正方形OECF的面积．【分析】（1）首先证得△ODF≌△OBE（AAS），得到OF＝OE，结合四边形OECF是矩形，推导出四边形OECF是正方形；（2）由正方形ABCD得到∠ODF＝45°，AD＝CD＝4，DF＝OF，又OF＝FC，，进而求得正方形OECF的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB．∵AO⊥BD，∴DO＝BO，∵OF⊥DC，OE⊥BC，∴∠OFD＝∠OEB＝90°∵∠ODF＝∠OBE＝45°，∴△ODF≌△OBE（AAS），∴OF＝OE．∵∠OFC＝∠OEC＝∠C＝90°，∴四边形OECF是矩形．∵OE＝OF，∴四边形OECF是正方形．（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ODF＝45°，AD＝CD＝4．∵∠OFD＝90°，∴DF＝OF．∵四边形OECF是正方形，∴OF＝FC，∴，∴S正方形OECF＝FC2＝4．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质是解题的关键．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/1/6 21:31:07；用户：陈振君；邮箱：18253728062；学号：32455636
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