2024九省联考考后高三数学模拟适应性练习3（原卷+解析版）

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．具体得分如【附】评分表．）
【附】评分表
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15.（13分）
（1）由题意，A+B+C=π ，所以
csinB+C2=asinC
⟺ csinπ−A2=asinC
⟺ ccsA2=asinC
正弦定理边化角得
sinCcsA2=sinAsinC
⟺csA2=sinA=2sinA2csA2
⟺sinA2=12
解得 A=π3 ，所以 A 的值是 π3 ．
（2）由向量积的定义，
AB·AC=c·b·csA=12bc=2
即 bc=4 ，由余弦定理得，
a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−4
由基本不等式，
b2+c2−4≥2bc−4=4
所以 a2≥4 ，即 a≥2 ，当且仅当 b=c=2 ，即 △ABC 是等边三角形时等号成立．
故 a 的最小值是2．
16.（15分）
（1）由差数列的定义，数列 2n 的一阶差数列为
2n−2n−1=2n−1
数列 2n 的二阶差数列为 2n−1 的一阶差数列，即
2n−1−2n−2=2n−2
故数列 2n 的二阶差数列为 2n−2 ．
（2）通过找规律得，2n 的 m 阶差数列为 2n−m 下面进行证明．
我们采用数学归纳法进行证明：
①（归纳奠基）当 m=1 时，显然成立；m=2 时，由（1）得结论也成立．
②（归纳递推）我们假设该结论对 m=k k≥3 时成立，尝试证明对 m=k+1
时也成立．
由差数列的定义，2n 的 k+1 阶差数列即 2n 的 k 阶差数列的一阶差数列，即
2n−k−2n−k−1=2n−k−1
故该结论对 m=k+1 时也成立．数学归纳法证毕．
故 2n 的 m 阶差数列为 2n−m ．该数列是以 21−m 为首项，2为公比的等比数列，故其前 n 项和
S=a11−qn1−q=21−m1−2n1−2=2n+1−m−21−m
故 2n 的 m 阶差数列为 2n−m ，其前 n 项和 S=2n+1−m−21−m ．
17.（15分）
（1）fx=ax−lnx+1 ,x>−1 ，f'x=a−1x+1 ，
注意到 f0=0 ，由题意 x=0 是 fx 的极值点，所以 f0=a−1=0 ，
解得 a=1 ．故 a 的值是1．
代入原函数验证得，fx 有且仅有一个零点0，有且仅有一个极值点0，结论成立．
（2）首先注意到 f0=0 ，
fx=ax−lnx+1 ,x>−1 ，f'x=a−1x+1 ，f'0=a−1 ，
①若 a≤0 ，则 f'x0 ，fx0 时，gx>g0=a−1≥0 ，即 f'x>0 ，所以 fx 在 0,+∞ 上单调递增，
则对所有 x>0 ，fx>f0=0 ，符合题意，该情况成立．
综上所述，a 的取值范围是 1,+∞ ．
18.（17分）
（1）记蚂蚁爬行 n 次在底面 ABCD 的概率为 Pn ，则它前一步只有两种情况：在下底面或在上底面，
结合题意易得，P1=23 ，Pn+1=13Pn+231−Pn ，Pn+1−12=−13Pn−12 ，
所以 Pn−12 是首项为 16 ，公比为 −13 的等比数列，
Pn−12=16−13n−1,Pn=12+16−13n−1
（2）结合题意易得：X=0,1,2 ，
当 X=2 时，蚂蚁第3次、第5次都在 C 处，
PX=2=16×16×2×23+16×23×2×16+16×23×2×16×23×23+16×16+16×16
=118
当 X=1 时，蚂蚁第3次在 C 处或第5次在 C 处，
设蚂蚁第3次在 C 处的概率为 P1 ，
P1=16×16×2×23+16×23×2×16+16×23×2×16×16×56+16×56+23×13=118
设蚂蚁第5次在C处的概率为 P2 ，
设蚂蚁不过点 C 且第3次在 D1 的概率为 P3 ，设蚂蚁不过点 C 且第3次在 B1 的概率为P4 ，
设蚂蚁不过点 C 且第3次在 A 的概率为 P5 ，由对称性知，P3=P4 ，
P3=16×16×16×4+23×16×23×3=1354
又 P5=16×23×16×6+23×23×23=1127
得 P2=2P3×16×23×2+P5×16×16×2=754
∴PX=1=P1+P2=527
PX=0=1−PX=1−PX=2=4154
X 的分布列为：
X 的数学期望
EX=0×PX=0+1×PX=1+2×PX=2=827
19.（17分）
（1）设复数 z=a+bi a,b∈R ，则
z2−z2−9
=a2+b2−a2−b2−92+4a2b2=7
⟺a2−b2−92+4a2b2=a2+b2−7
两边平方得
a2−b2−92+4a2b2=a2+b22+49−14a2+b2
⟺a2−8b2=8
⟺a28−b2=1
所以 W 是一个焦点在实轴上，顶点为 ±22,0 ，渐近线为 y=±24x 的双曲线．
其离心率
e=222+1222=324
（2）由（1）的计算得 L=22 ，e=324 ，F1c,0=3,0 ，则直线 x=Le=83 ，
设 z=a+bi a,b∈R,a>0 ，则 d=a−83=a−83 ，
ed=324a−83=324a−22
ZF1=a−32+b2
由 a28−b2=1 得 b2=a28−1 ，代入得
ZF1=a−32+b2=a−32+a28−1=98a2−6a+8=324a−222
=324a−22=ed
所以 ZF1=ed ，原式得证．
（3）由（1）得 W 的两条渐近线 l1: y=24x ，l2:y=−24x ，
由对称性，不妨设 z=a+bi a,b∈R,a>0 ，则 kl3=kl1=24 ，
所以 l3:y=24x−a+b ，同理得 l4:y=−24x−a+b ．
联立 l2 和 l3 ：
y=−24xy=24x−a+b
得 Pa2−2b,b2−28a ，
易知直线 OZ:bx−ay=0 ，所以点 P 到直线 OZ 的距离
d=ba2−2b−ab2−28aa2+b2=28·8b2−a2a2+b2
由（1）a2−8b2=8 ，所以
d=28·8b2−a2a2+b2=28·8a2+b2=2a2+b2
而 OZ=a2+b2 ，所以
S△OPZ=12·d·OZ=12×2a2+b2×a2+b2=22
S▱OPQZ=2S△OPZ=2
故平行四边形 OPQZ 的面积为定值 2 ．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
D
A
C
B
D
题号
9
10
11
答案
AC
BD
ACD
9-11题（每题满分6分）
得分情况
正确选项个数
2个
（如AC）
选对1个（选A或C）
3分
选对2个（选AC）
6分
3个
（如ACD）
选对1个（选A或C或D）
2分
选对2个（选AC或CD或AD）
4分
选对3个（选ACD）
6分
题号
12
13
14
答案
3N
−6,7
79
X
0
1
2
P
527
118