必修 第一册3.1 不等式的基本性质集体备课课件ppt

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3 . 1 不等式的基本性质
我们知道，实数可分为正数、零和负数，任给一个实数，它只可能为正数、零和负数中的一种. 那么，对于任意两个实数 a，b，它们的差 a－b 也只可能为正数、零和负数中的一种.
一、实数比较大小的基本事实
在小学和初中，我们知道等式有如下基本性质：
● 不等式有哪些基本性质呢?
(1) 在比较两实数 a，b大小的依据中，a，b 两数是任意实数吗?
(2) 如何由比较两个实数大小的依据得出两个实数比较大小的方法?
提示：通过两个实数作差，判断差的正负比较大小.
(2) 本质： 不等式的基本性质可以由实数比较大小的基本事实证明，它阐述了不等式在不同条件下的同解变形结论，是求解和证明不等式的依据.(3) 应用：① 解不等式； ② 判断或证明不等式.
(1) 性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗?为什么?
提示：不对. 要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向.
(2) 使用性质6时，要注意什么条件?
提示：各个数均为正数.
若 a ＞ b，则 b ＜ a.
分析 要证 b ＜ a ，只要证 b － a ＜ 0.
证明 因为 a＞b，所以 a－b＞0. 又因为正数的相反数是负数，所以－(a－b)＜0， 即 b－a＜0. 所以 b＜a.
若 a ＞ b，b ＞ c，则 a ＞ c.
分析 要证 a＞c，只要证 a－ c＞0.
证明 因为 a＞b，b＞c，所以 a－b＞0，b－c＞0. 由两个正数的和是正数，得(a－b)＋(b－c)＞0， 即 a－c＞0. 因此 a＞c.
若 a＞b，则 a＋c＞b＋c.
分析 要证 a＋c＞b＋c，只要证(a＋c)－(b＋c)＞0， 即 a－b ＞ 0.
证明 因为a ＞ b，所以 a－b＞0. 又因为 (a＋c) －(b＋c) ＝ a－b， 所以 (a＋c) －(b＋c) ＞ 0. 故 a＋c ＞ b＋c.
本性质告诉我们，不等式两边都加上(或都减去)同一个实数，不等号的方向不变. 利用它可以把不等式中某一项改变符号后，从不等式的一边移到另一边，即
a ＋ b ＞ c ⇔ a ＞ c － b.
若 a ＞ b，c ＞ 0，则 ac ＞ bc；若 a ＞ b，c ＜ 0，则 ac ＜ bc.
证明 ac－bc＝(a － b)c. 因为 a＞b，所以 a－b＞0. 因此，当c＞0时，(a－b)c＞0，从而 ac＞bc； 当c＜0时，(a－b)c＜0，从而 ac ＜ bc.
本性质告诉我们，不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变.
若 a＞b，c＞d，则 a＋c ＞ b＋d.
证明 由 a ＞ b 和性质3，得 a＋c ＞ b＋c. 又由 c ＞ d 和性质3，得 b＋c ＞ b＋d. 于是，由性质 2，得 a＋c ＞ b＋d.
本性质告诉我们，两个同向不等式两边分别相加，所得的不等式和原不等式同向.
若 a＞b＞0，c＞d＞0，则 ac＞bd.
证明 因为a＞b＞0，c＞0，由性质4，得 ac＞bc. 因为c＞d＞0，b＞0，由性质4，得 bc＞bd. 由性质 2，得 ac＞bd. 特别地，当 a＝c，且b＝d时，有a2＞b2. 以后，我们可以用数学归纳法证明如下结论： 若 a＞b＞0，则 an＞bn( n∈N*).
本性质告诉我们，两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得的不等式和原不等式同向。
性质 5 和性质 6 也可以看成是前面性质的推论.
以上性质是求解和证明不等式的基础.
已知 a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d.
证法1 由a＞b，得 a－b＞0； 由c＜d，得 d－c＞0. 因为(a－c) －(b－d) ＝(a－b)＋(d－c) ＞0， 所以 a－c＞b－d.
证法2 因为c＜d， 所以－c＞－d. 又因为 a＞b， 所以 a＋ (－c) ＞b＋ (－d). 即 a－c＞b－d
比较两数(a2＋1)2与 a4＋a2＋1的大小.
解： 因为 (a2＋1)2－ (a4＋a2＋1) ＝ a4＋2a2＋1－a4－a2－1 ＝a2. 当a＝0时，a2＝0，所以(a2＋1)2 ＝a4＋a2＋1； 当a≠0时，a＞0，所以 (a2＋1)2＞a4＋a2＋1.
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1)两个实数 a，b 之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种.(　　) (2) a＞b且 c＞d，则 a－c＞b－d.(　　)
例如 5＞3 且 4＞1 时，则 5－4 ＞ 3－1是错的.
取 a＝4，c＝5，b＝6，d＝2. 满足 a＋c＞ b＋d，但不满足a＞b.
2. 已知 a＞b，c＞d，且cd≠0，则(　　) A. ad＞bc　　　　 B. ac＞bc C. a－c＞b－dD. a＋c＞b＋d
解析：a，b，c，d 的符号未确定，排除A、B两项；同向不等式相减，结果未必是同向不等式，排除C项.
3. 已知 x≠2，则 x2＋4 与4x 的大小关系为_________. 
解析：x2＋4－4x＝ (x－2)2 ，而 x≠2， 所以 (x－2)2 ＞ 0，所以 x2＋4－4x＞0， 所以 x2＋4＞ 4x.
1. 已知 a＋b＞0，b＜0，那么，a，b，－a，－b的大小是 (　　) A. a＞b＞－b＞－a　　　 B. a＞－b＞－a＞b C. a＞－b＞b＞－a D. a＞b＞－a＞－b
解析：令 a＝5，b＝－2 满足 a＋b＞0，b＜0， 所以 a＞－b＞b＞－a.
3. 设 a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则(　　) A. a＞b　　　B. a＜b　　 C. a≥b　　 D. a≤b
解析：a－b＝ (3x2－x＋1) －(2x2＋x) ＝x2－2x＋1 ＝ (x－1)2≥0，所以a≥b.
练 习
1. 回答下列问题，并说明理由.
(1)由 a＞b，能否得到ac2＞bc2？
解：当c＝0时，ac2＝bc2＝0， ∴当c＝0时，不能得到 ac2＞bc2.
当c≠0时，c2＞0， ∴ ac2＞bc2， ∴ c≠0 时，能得到 ac2＞bc2， 故 c＝0时，不能得到ac2＞bc2； c≠0 时，能得到 ac2＞bc2 .
(2) 由 a＞b，c＞d，能否得到 a－c ＞ b－d ?
解：由 a＞b，c＞d 不一定能得到 a－c＞b－d. 例如，令 a＝3，b＝2，c＝－1，d ＝－2， 满足 a＞b，c＞d，但是 a－c＝b－d， 故 a＞b，c＞d 不一定能得到 a－c＞b－d.
(3) 由 a＞b，c＞d，能否得到ac＞bd ?
解：由 a＞b，c＞d 不一定能得到 ac＞bd. 例如，令a＝3，b＝2，c＝－2，d＝－3. 满足a＞b，c＞d，但是ac＝bd， 当 a＞b＞0，c＞d＞0时，可以得到 ac＞bd. 故只有 a＞b＞0，c＞d＞0时，可以得到ac＞bd.
3. 比较两数 (x＋1)(x2－x＋1)与(x－1)(x2＋x＋1)的大小.
解：(x＋1)(x2－x＋1)＝x3－x2＋x＋x2－x＋1＝x3＋1， (x－1)(x2＋x＋1)＝x3＋x2＋x－x2－x－1＝x3－1， ∵ x3＋1＞x3－1 ∴ (x＋1)(x2－x＋1) ＞(x－1)(x2＋x＋1)， 综上所述，结论为： (x＋1)(x2－x＋1) ＞(x－1)(x2＋x＋1)
4. 已知 a ＜ b ＜ 0，求证： a2 ＞ b2.
证明：∵ a＜b＜0， ∴－a＞－b＞0. (→或由 a＜b＜0 得 ∣a∣＞∣b∣＞0， 进而得 a2＞b2. 由不等式性质6，得(－a)2＞(－b)2， 即a2＞b2.
2. 已知a ≠b，比较 a2－ab 与ba－b2 的大小.
解： a2－ab－(ba－b2) ＝ a2－ab－ba＋b2 ＝ a2－2ab＋b2 ＝ (a－b)2 ∵ a ≠b， ∴ (a－b)2＞0， ∴ a2－ab ＞ ba－b2.
3. 已知 x≠0，比较(x2＋2)2与x4＋x2＋4的大小.
解： (x2＋2)2 － x4＋x2＋4 ＝ x4＋4x2＋4－x4 － x2－4＝3x2， ∵ x≠0， ∴ 3x2＞0， ∴ (x2＋2)2 － x4＋x2＋4 ＞0， ∴ (x2＋2)2 ＞ x4＋x2＋4 .
4. 证明下面的结论：
(1) 如果 a＞b＞0，c＞d，且 c＞0，那么ac＞bd；
证明：由题知 a＞b＞0，c＞d，c＞0， 若d＞0即c＞d＞0， 由不等式的同向可乘性得 ac＞bd， 若 d＝0，则bd＝0，又ac＞0，所以 ac＞bd， 若 d＜0，则bd＜0，又ac＞0，所以 ac＞bd， 综上 ，ac＞bd；
(2) 如果 a＜b＜0，c＜d＜0，那么 ac＞bd；
证明：由题知 a＜b＜0，c＜d＜0， 则－a＞－b＞0，－c＞－d＞0， ∴ (－a)·(－c) ＞(－b)·(－d)， 即 ac＞bd；
5. 设m为实数，解关于 x 的不等式 m(x＋2)x＋m.
8. 已知 a＜b＜0，求证：a4＞ b4.
证明：∵ a＜b＜0 ， ∴ a－b＜0，且 a＋b＜0. 从而 (a－b)(a＋b)＞0，即 a2－b2＞0. 又∵ a＞0，b＞0， ∴ a＋b＞0， 从而 (a2－b2)(a2＋b2)＞0，即a－b＞0，故a4＞b4.
9. 已知 a ＞ b ＞ 0，求证：
11. 已知b g糖水中含有a g(b＞a＞0)，若再添m g(m＞0) 解在其中，则糖水变得更甜(即糖水中含糖浓度变大). 试根据这个事实写出 a，b，m 所满足的不等关系， 并给予证明.