高中数学苏教版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式多媒体教学ppt课件

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式多媒体教学ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了证法1，证法2，证法3，基础小测，跟踪训练，习题32等内容，欢迎下载使用。

把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 a .如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同(其他因素不计)，那么 a 并非物体的实际质量. 不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为 b. 那么如何合理地表示物体的质量呢?
算术平均数与几何平均数
● 两个正数 a，b 的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系?
3 . 2 . 1基本不等式的证明
也就是说，两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时，两者相等.
下面证明上述猜想是正确的.
当且仅当 a＝b 时，等号成立.
(1) 公式： ① 条件：a，b是正数； ② 结论：____________； ③ 等号成立：当且仅当 a＝b 时.
当 a，b≥0时，这个不等式仍然成立.
当 a＞0，b＞0 时，请用基本不等式证明这两个不等式.
这两个不等式通常可以直接使用.
(1) 基本不等式成立的条件能省略吗?
(2)“当且仅当 a＝b 时，等号成立”的含义是什么?
二、基本不等式求最值的结论 *
设 a，b 为正数，证明下列不等式成立：
解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正， 所以 x－2y＞0，即 x＞2y .
3. 设 x，y 满足 x＋y＝40，且 x，y 都是正数，则 xy 的最大值为_________. 
1. 已知 ab＝4，a＞0，b＞0，则 a＋b 的最小值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　 A.1B.2 C.4 D.8
练 习
1. 计算下列两个数的算术平均数与几何平均数 (其中p＞0)：
(1) 2，8； (2) 3，12； (3) p，9p； (4) 2，2p2.
(3) p，9p； (4) 2，2p2.
解：(3) p，9p的算术平均数为5p，几何平均数为3p； (4) 2，2p2的算术平均数为1＋p2， 几何平均数为2p；
2. 如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角 形围成的. 设直角三角形的直角边长为 a，b，根据图 示，大正方形的面积与四个小直角三角形的面积之和 存在不等关系，用 a，b 表示这种关系.
证明：∵ 0°＜α＜90°， ∴ 0°＜2α＜180°， ∴ sin2α∈(0，1]， ∴ 1＋sin2α∈ (1，2]， ∴ (sinα＋csα)2∈ (1，2]， ∴ 1＜ (sinα＋csα)2≤2， ∴ 1＜ (sinα＋csα)2≤2，得证.
3 . 2 . 2基本不等式的应用
用长为 4a 的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大?
上式当且仅当 x＝2a－x，即 x＝a 时，等号成立.由此可知，当x＝a时，S＝(2a－x)取得最大值 a2.答 将铁丝围成正方形时面积最大，最大面积为 a2.
某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m，深度为 3m. 如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，怎样设计水池能使总造价最低? 最低总造价为多少元?
对于正数 a，b，在运用基本不等式时，应注意：
如图 3-2-3，一份印刷品的排版面积(矩形)为 A，它的两边都留有宽为 a 的空白，顶部和底部都留有宽为的空白如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少?
解 设纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别是 x，y (x＞0，y＞0)，则 xy＝A.
4. 某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元,其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次.某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车,无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元. 若使每名同学游8次，每人最少应交多少元钱?
3. 设 x＞0，y＞0，且 2x＋5y＝20，求xy的最大值.
4. 将一段圆木制成横截面是矩形的柱子，怎样加工才能 使横截面的面积最大?
故 AB＝2rcsα，BC＝2rsinα，故 S＝4r2sinαcsα＝2r2sin2α≤2r2，故当α＝45°时，sin2α 取得最大值1，此时面积 S 取得最大值 S＝2r2.
5. 如图，质量是 W 的重物挂在杆上距支点 a 处. 质量均 的杆子每单位长度的质量为 m. 杠杆应当多长，才能 使得加在另一端用来平衡重物的力 F最小?
1. 证明下列不等式：
(1) a2＋b2≥2a＋2b－2；
证明：∵a2＋1＞2a，b2＋1＞2b， ∴ a2＋b2＋2≥2a＋2b， 即 a2＋b2≥2a＋2b－2.
6. 如图，墙角线互相垂直，长为 a m 的木棒AB的两个端 点分别在这两墙角线上，如何放置木棒才能使围成区 域的面积最大?
解：如图，设 AO＝a m，BO＝y m. ∵OA⊥OB ∴ OA2＋OB2＝AB2 ∴ x2＋y2＝a2
证明：设点A(b，a)，B(－c,－c)，C(－d，－d)， ∵a＞0，b＞0，c＞0，d＞0， ∴点A在第一象限，点B在第三象限， 点C第三象限， 且点B、点C都在直线 y＝x上，
解：设提价前的价格为1，那么两次提价后的价格为， 方案甲：(1＋p %)(1＋q%) ＝1＋p%＋q%＋0.01pq%； 方案乙：(1＋q%)(1＋p%) ＝ 1＋p%＋q% ＋0.01pq%；
乙：因为y＝2x2－1在区间[1，＋∞)上的图象随着x增 大而逐渐上升，即y随x增大而增大，所以y的最 小值是 2×12＋1＝3.试判断谁错，错在何处?
解：甲的解法错误，乙的解法正确.