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高中苏教版 (2019)4.2 对数课文内容ppt课件
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这是一份高中苏教版 (2019)4.2 对数课文内容ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了21对数的概念，习题42，问题与探究等内容，欢迎下载使用。
4 . 2 对 数
已知1个细胞经过 x 次分裂后，相应的细胞个数为y＝2x. 由此，若知道了分裂的次数 x，就能求出分裂后相应的细胞数 y . 反过来，
● 若知道了分裂后相应的细胞数 y，怎样求出分裂的次数 x 呢?
上述问题也就是在 y＝2x中，已知 y，求 x 此时问题就转化为已知底数和幂的值求指数的问题.
(1) 定义： 一般地，如果 ab＝N (a＞0，a≠1)，那么就称 b 是以 a 为底 N 的对数，记作__________，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数.
(2) 特殊对数： 常用对数：以10为底，记作________； 自然对数：以e为底，记作_________. (3) 指数与对数的关系： 当 a＞0，a≠1 时，ab＝N ⇔__________.
对数式 lgaN 是不是 lga 与 N 的乘积?
提示：不是， lgaN 是一个整体，其运算结果是一个实数.
由对数的定义可知，ab＝N与 b＝ lgaN 两个等式所表示的是a，b，N 这3个量之间的同一个关系.例如：
根据对数的定义，要解决本节开头提出的问题，就只要计算 lg2y 的值.
(1)负数和0没有对数；(2) lga1＝______；(3) lga a＝______.
你能否推导出对数的性质(2)(3)?
提示：因为a0＝1，所以 lga1＝0； 因为a1＝a，所以 lgaa＝1.
algaN＝_______.
对数恒等式中指数的底数与对数的底数有什么关系?
提示：指数的底数与对数的底数相等.
将下列指数式改写成对数式：
解：lg216 ＝ 4.
解：lg220 ＝ 5.
解：lg3 0.45＝b.
将下列对数式改写成指数式：
(1) lg5125＝3；
(3) lg10 a ＝－1.699.
解：53 ＝ 125.
解：10－1.699 ＝ a .
解：由 26＝64 ，得 lg264 ＝ 6.
(2) lg9 27.
通常将以10为底的对数称为常用对数 ，如lg102，lg1012 等.为了方便起见，对数 lg10N 简记为lg N，如 lg 2，lg 12 等.
在科学技术中，常常使用以 e为底的对数，这种对数称为自然对数. e＝2.718 28···是一个无理数. 正数N的自然对数 lgeN 一般简记为 ln N，如lge2，lge15 分别记为 ln 2，ln 15 等.
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) 因为(－4)2＝16，所以lg(－4)16＝2.( ) (2) 因为3x＝81，所以 lg813＝x.( ) (3) lg23＝lg32. ( )
对数的底数不能为负值.
应为 lg381＝x.
lg23 ＝ lg32
2. 把对数式 x＝lg232 改写为指数式________.
解析：对数式 x＝lg232改写为指数式为2x＝32.
3. 若ln e－2＝－x，则 x＝________.
解析：因为 ln e－2＝－x，所以 e－x＝e－2， 所以 x＝2.
解析：原式＝4 ＋ 1＝5.
解析：因为 lgx8＝3，所以 x3＝8，解得x＝2.
4. ln(lg10) ＝________.
解析：ln(lg 10)＝ln 1＝0.
5. 若对数 ln(x2－5x＋6)存在，则x的取值范围为_____________________.
(－ ∞，2)∪(3， ＋∞)
解析：因为对数 ln(x2－5x＋6)存在， 所以 x2－5x＋6＞0，所以解得x＞3或x＜2， 即x的取值范围为：(-∞，2)∪(3，+∞).
练 习
1. 根据对数的定义，写出下列各对数的值 (a＞0，a≠1)：
3. 将下列指数式改写成对数式：
4. 将下列对数式改写成指数式：
5. 求下列各式的值：
6. 利用计算器计算下列对数的值(结果保留4 位小数)：
(1) lg 2； (2) lg 5； (3) lg 1.078； (4) lg 0.84.
7. 已知 a＞0，a≠1，N＞0，b∈R.
4.2.2对数的运算性质
我们知道，指数幂运算有下列性质：
根据对数的定义，有 lgaN＝b ⇔ ab ＝ N (a＞0，a≠1，N＞0).
那么，对数运算也有相应的性质吗?
设 M＝as，N＝at，于是 MN＝as＋t.由对数的定义得 lgaM＝s，lgaN＝t， lga(MN) ＝ s＋t.因此，lga(MN) ＝lgaM ＋lgaN.
一般地，我们可以得到如下的对数运算性质：
思 考
你能证明性质②和性质③吗?
(2) 本质： 正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算；逆用是将同底数对数的和、差分别合并成积、商计算，数与对数的乘积转化成幂的对数计算.(3) 应用： 广泛用于对数式的化简求值中，解决对数式的计算问题.
你能用文字语言叙述对数的运算性质吗?
提示：积的对数等于积的各个因式的对数的和； 商的对数等于分子的对数减去分母的对数； 幂的对数等于幂指数乘以底数的对数.
(1) lg2(23×45)；
解：＝lg223＋lg245 ＝3＋5lg24 ＝3＋5×2 ＝13.
(2) lg5125.
解：＝lg5125 ＝1g553 ＝3lg55 ＝3.
已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，求下列各式的值 (结果保留4位小数)：
解：＝lg(22×3) ＝lg22＋lg3 ＝2lg2＋lg3 ≈2×0.3010＋0.4771＝1.079 1.
解：＝lg(22×3) ＝lg33－lg24 ＝3lg3－4lg2 ≈3×0.4771－4×0.3010＝0.2273.
用计算器检验运算的结果.
1. 用 lgx，lgy，lgz 示下列各式：
(1) lg(xy2z3)；
2. 求下列各式的值：
(1) lg3(9×27)；
＝ lg39＋lg327＝2＋3＝5
(3) lg 25＋lg 4；
＝lg (25×4)＝lg100＝2
＝－lg333＋lg332＝－3＋2＝－1
3. 已知 lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值 (结果保留4位小数)：
＝lg(2×3) ＝lg2＋2lg3 ≈0.3010＋2×0.4771＝1.2552
＝lg(23×32) ＝3lg2＋2lg3 ≈3×0.3010＋2×0.4771＝1.8572
＝ lg(3×2－2)＝lg3－2lg2 ≈ 0.4771－2×0.3010＝－0.1249
＝lg(10×3÷2) ＝1＋lg3－lg2≈1＋0.4771－0.3010＝1.1761
4.设 lg 2 ＝ a，lg 3 ＝ b，试用 a，b 表示下列各对数：
(1) lg 108；
＝ lg (22×33) ＝lg22＋lg33＝2lg2＋3lg3＝2a＋3b
5. 不用计算器，求下列各式的值：
(2) lg3 45 － lg3 5.
试用常用对数表示 lg35.
lgaN＝________ (a＞0，且a≠1；N＞0；c＞0，c≠1).
这个公式称为对数的换底公式.
(2)本质： 将对数的底数换成任意大于零，且不等于1的实数.(3)应用： 将底数换成10或e，即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进行计算.
(1) 对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式?
求lg89×lg332 的值.
如图，2000 年我国国内生产总值(GDP)为89 442 亿元如果我国 GDP 年均增长 78%，那么按照这个增长速度，在 2000 年的基础上，经过多少年以后，我国 GDP 就能实现比2000年翻两番的目标?
要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C会自动衰变. 经过 5 730 年(14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半.经过科学测定，若14C 的原始含量为 1，则经过x年后的残留量为 y＝0.999 879x.
用放射性碳法，测得我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子中14C 的残余量占原来的 87.9%，试推算古莲子的生活年代.
解 由题设可知，原始量为 1的14C 经过x年后的残余量是 y＝0.999 879x.
1. 利用对数的换底公式，计算下列各式的值：
(1) lg25 × lg54；
(2) lg23×lg34×lg45×lg56×lg67×lg78.
4. 利用计算器，计算下列各式的值(结果保留4位小数)：
(1) lg25 ＋ lg 5；
(2) lg53.14 － lg73；
(4) lg2×lg310.
5. 截至 1999 年底，我国人口约 13 亿如果此后的人口年 平均增长率为 1%，那么约经过多少年后，我国人口 数将达到 18 亿?
lg(xy) ＝lg x＋lg y.
2. 若lg a－2lg 2＝1，则 a＝( ) A.4B.10 C.20 D.40
2.已知正实数 a，b，c 满足lg2a＝lg3b＝lg6c，则( ) A. a＝bcB.b2＝ac C.c＝ab D.c2＝ab
解析：设lg2a＝lg3b＝lg6c＝k， 则a＝2k，b＝3k，c＝6k， 所以 c＝ab.
4. lg23·lg35·lg516＝________.
1. 将下列指数式改写成对数式：
2. 将下列对数式改写成指数式：
(1) lg28＝3；
(4) lg25＝2.321 9；
(5) lg 6＝0.778 2；
(6) ln 10＝2.302 6.
3. 求下列各式的值：
(1) lg3 81；
(3) lg3.4 3.4；
＝lg334＝4lg33＝4
＝lg44－3＝－3lg44＝－3
(4) lg0.45 1；
(5) lg 125＋lg 8；
(6) lg2 56－lg27.
＝lg1000＝lg103＝3lg10＝3
＝lg28＝lg223＝3lg22＝3
4. 利用计算器，求下列各式的值(结果保留 4 位小数)：
＝lg9＝2lg3≈0.9542
＝4lg6×lg3≈1.4851
5. 已知 lg 2≈0.3010，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值 (结果保留 4 位小数):
(1) lg 54； (2) lg 1.5；
原式＝ lg (2×27) ＝ lg 2＋3lg 3 ≈ 0.301 0＋3×0.477 1＝1732 3；
原式＝ lg4－lg9 ＝2lg2－2lg3 ≈2×0.3010 －2×0.4771＝－0.3522；
原式＝ lg 5＋lg 9 ＝1－lg 2＋21g 3 ≈1－ 0.3010 ＋ 2×0.477 1＝1.653 2.
6. 不用计算器，求下列各式的值：
＝21g22＋lg5－lg23＝4lg2＋lg5－3lg2＝lg2＋lg5 ＝lg(2×5) ＝1
(3) (lg 5)2＋lg 2 ＋lg 50 .
7. 已知lg2＝a，lg3＝b，试用 a，b 表示下列各对数：
(1) lg 36； (2) lg 15；
＝ lg62 ＝ 2lg6 ＝ 2(lg2＋lg3)＝2(a＋b)
8. 如果我国国内生产总值 (GDP) 2020 年比 2010 年翻一 番那么平均每年的增长率是多少? (精确到 0.1%)
解 设平均每年的增长率为x， 若2000年的GDP为a，则若2010年的GDP为2a， 根据题意得 a(1＋x)10＝2a， ∴(1＋x)10 ＝ 2， 两边取常用对数得10lg(1＋x) ＝ lg2，
10. 设 a，b 均为不等于1的正数，利用对数的换底公式， 证明：
11. (1)设lg6＝a，lg12＝b，试用 a，b 表示 lg24 和1g120；
(2) 设lg6＝a，lg15＝b，试用a，b 表示lg24和lg120.
12. (阅读题) 对数可以将乘除运算转化为加减运算，通过 对数转换，可以简化运算过程. 例如，1，10，100， 1 000，10 000，···成 10 倍增长，取常用对数后就变 为0，1，2，3，4，···.
一次速算表演中，主持人出题：一个 35 位整数的 31 次方根仍是一个整数，下面我报出这个 35 位数，请说出它的 31 次方根，这个 35位数是······ 未等主持人报出第一位数字，速算专家已经写出了这个数的 31次方根：13.
还不知道什么数，他居然能求出方根，并且是 31 次方根，又用的是心算，而且闪电般地快! 你很惊奇吧? 其实很简单，因为只有一个整数，它的 31 次方是一个 35 位整数你知道为什么吗?在事先不知道题目的情况下，速算专家是怎么如此快速地推算出这个结论的呢? 现在只告诉你，速算专家的秘诀是：他心中记住了下面的表(表中常用对数为近似值).
如果你不能心算，也可以借助笔把专家的思路弄清了，再自己试一试.比如下面的题目：一个 20 位整数的 64 次方根仍是一个整数，这个 64 次方根是多少?
对数是由苏格兰数学家纳皮尔 ( J . Napier，1550-1617)发明的纳皮尔为了简化天文学问题的球面三角计算，在没有指数概念的情况下发明了对数，并于1614 年在《奇妙对数定律说明书》中，介绍了他的方法和研究成果. 18世纪的欧拉(L，Euler，1707-1783)深刻地揭示了指数与对数的密切联系，他曾说“对数源出于指数”.
在纳皮尔的著作发表 40 年后，对数传入我国，lgarithm 一词被译成“比例数”后又逐步演变成“对数”，意指“对(照)表中的数”. 清代数学家戴煦(1805-1860)等，经过独立的刻苦研究，也取得了很多成就。
纳 皮尔 (J.Napier. 1550--1617)，苏格兰数学家，对数发明人.
现在通用的“常用对数”.是与纳皮尔同时期的英国教学家布里格斯( H.Briggs，1561-1631)引入的，并于1617 年出版了常用对数表.1622年，英国数学家斯皮德尔(J，Speidell) 给出了以e为底的自然对数表. 恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡儿的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为 17 世纪的三大数学发明.
法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯( ，1749-1827)曾说： 对数可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.
由此可见，对数的发明对于人们研究科学和了解自然起了重大作用.
写 作
收集有关对数概念的形成和发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.
4 . 2 对 数
已知1个细胞经过 x 次分裂后，相应的细胞个数为y＝2x. 由此，若知道了分裂的次数 x，就能求出分裂后相应的细胞数 y . 反过来，
● 若知道了分裂后相应的细胞数 y，怎样求出分裂的次数 x 呢?
上述问题也就是在 y＝2x中，已知 y，求 x 此时问题就转化为已知底数和幂的值求指数的问题.
(1) 定义： 一般地，如果 ab＝N (a＞0，a≠1)，那么就称 b 是以 a 为底 N 的对数，记作__________，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数.
(2) 特殊对数： 常用对数：以10为底，记作________； 自然对数：以e为底，记作_________. (3) 指数与对数的关系： 当 a＞0，a≠1 时，ab＝N ⇔__________.
对数式 lgaN 是不是 lga 与 N 的乘积?
提示：不是， lgaN 是一个整体，其运算结果是一个实数.
由对数的定义可知，ab＝N与 b＝ lgaN 两个等式所表示的是a，b，N 这3个量之间的同一个关系.例如：
根据对数的定义，要解决本节开头提出的问题，就只要计算 lg2y 的值.
(1)负数和0没有对数；(2) lga1＝______；(3) lga a＝______.
你能否推导出对数的性质(2)(3)?
提示：因为a0＝1，所以 lga1＝0； 因为a1＝a，所以 lgaa＝1.
algaN＝_______.
对数恒等式中指数的底数与对数的底数有什么关系?
提示：指数的底数与对数的底数相等.
将下列指数式改写成对数式：
解：lg216 ＝ 4.
解：lg220 ＝ 5.
解：lg3 0.45＝b.
将下列对数式改写成指数式：
(1) lg5125＝3；
(3) lg10 a ＝－1.699.
解：53 ＝ 125.
解：10－1.699 ＝ a .
解：由 26＝64 ，得 lg264 ＝ 6.
(2) lg9 27.
通常将以10为底的对数称为常用对数 ，如lg102，lg1012 等.为了方便起见，对数 lg10N 简记为lg N，如 lg 2，lg 12 等.
在科学技术中，常常使用以 e为底的对数，这种对数称为自然对数. e＝2.718 28···是一个无理数. 正数N的自然对数 lgeN 一般简记为 ln N，如lge2，lge15 分别记为 ln 2，ln 15 等.
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) 因为(－4)2＝16，所以lg(－4)16＝2.( ) (2) 因为3x＝81，所以 lg813＝x.( ) (3) lg23＝lg32. ( )
对数的底数不能为负值.
应为 lg381＝x.
lg23 ＝ lg32
2. 把对数式 x＝lg232 改写为指数式________.
解析：对数式 x＝lg232改写为指数式为2x＝32.
3. 若ln e－2＝－x，则 x＝________.
解析：因为 ln e－2＝－x，所以 e－x＝e－2， 所以 x＝2.
解析：原式＝4 ＋ 1＝5.
解析：因为 lgx8＝3，所以 x3＝8，解得x＝2.
4. ln(lg10) ＝________.
解析：ln(lg 10)＝ln 1＝0.
5. 若对数 ln(x2－5x＋6)存在，则x的取值范围为_____________________.
(－ ∞，2)∪(3， ＋∞)
解析：因为对数 ln(x2－5x＋6)存在， 所以 x2－5x＋6＞0，所以解得x＞3或x＜2， 即x的取值范围为：(-∞，2)∪(3，+∞).
练 习
1. 根据对数的定义，写出下列各对数的值 (a＞0，a≠1)：
3. 将下列指数式改写成对数式：
4. 将下列对数式改写成指数式：
5. 求下列各式的值：
6. 利用计算器计算下列对数的值(结果保留4 位小数)：
(1) lg 2； (2) lg 5； (3) lg 1.078； (4) lg 0.84.
7. 已知 a＞0，a≠1，N＞0，b∈R.
4.2.2对数的运算性质
我们知道，指数幂运算有下列性质：
根据对数的定义，有 lgaN＝b ⇔ ab ＝ N (a＞0，a≠1，N＞0).
那么，对数运算也有相应的性质吗?
设 M＝as，N＝at，于是 MN＝as＋t.由对数的定义得 lgaM＝s，lgaN＝t， lga(MN) ＝ s＋t.因此，lga(MN) ＝lgaM ＋lgaN.
一般地，我们可以得到如下的对数运算性质：
思 考
你能证明性质②和性质③吗?
(2) 本质： 正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算；逆用是将同底数对数的和、差分别合并成积、商计算，数与对数的乘积转化成幂的对数计算.(3) 应用： 广泛用于对数式的化简求值中，解决对数式的计算问题.
你能用文字语言叙述对数的运算性质吗?
提示：积的对数等于积的各个因式的对数的和； 商的对数等于分子的对数减去分母的对数； 幂的对数等于幂指数乘以底数的对数.
(1) lg2(23×45)；
解：＝lg223＋lg245 ＝3＋5lg24 ＝3＋5×2 ＝13.
(2) lg5125.
解：＝lg5125 ＝1g553 ＝3lg55 ＝3.
已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，求下列各式的值 (结果保留4位小数)：
解：＝lg(22×3) ＝lg22＋lg3 ＝2lg2＋lg3 ≈2×0.3010＋0.4771＝1.079 1.
解：＝lg(22×3) ＝lg33－lg24 ＝3lg3－4lg2 ≈3×0.4771－4×0.3010＝0.2273.
用计算器检验运算的结果.
1. 用 lgx，lgy，lgz 示下列各式：
(1) lg(xy2z3)；
2. 求下列各式的值：
(1) lg3(9×27)；
＝ lg39＋lg327＝2＋3＝5
(3) lg 25＋lg 4；
＝lg (25×4)＝lg100＝2
＝－lg333＋lg332＝－3＋2＝－1
3. 已知 lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值 (结果保留4位小数)：
＝lg(2×3) ＝lg2＋2lg3 ≈0.3010＋2×0.4771＝1.2552
＝lg(23×32) ＝3lg2＋2lg3 ≈3×0.3010＋2×0.4771＝1.8572
＝ lg(3×2－2)＝lg3－2lg2 ≈ 0.4771－2×0.3010＝－0.1249
＝lg(10×3÷2) ＝1＋lg3－lg2≈1＋0.4771－0.3010＝1.1761
4.设 lg 2 ＝ a，lg 3 ＝ b，试用 a，b 表示下列各对数：
(1) lg 108；
＝ lg (22×33) ＝lg22＋lg33＝2lg2＋3lg3＝2a＋3b
5. 不用计算器，求下列各式的值：
(2) lg3 45 － lg3 5.
试用常用对数表示 lg35.
lgaN＝________ (a＞0，且a≠1；N＞0；c＞0，c≠1).
这个公式称为对数的换底公式.
(2)本质： 将对数的底数换成任意大于零，且不等于1的实数.(3)应用： 将底数换成10或e，即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进行计算.
(1) 对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式?
求lg89×lg332 的值.
如图，2000 年我国国内生产总值(GDP)为89 442 亿元如果我国 GDP 年均增长 78%，那么按照这个增长速度，在 2000 年的基础上，经过多少年以后，我国 GDP 就能实现比2000年翻两番的目标?
要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C会自动衰变. 经过 5 730 年(14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半.经过科学测定，若14C 的原始含量为 1，则经过x年后的残留量为 y＝0.999 879x.
用放射性碳法，测得我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子中14C 的残余量占原来的 87.9%，试推算古莲子的生活年代.
解 由题设可知，原始量为 1的14C 经过x年后的残余量是 y＝0.999 879x.
1. 利用对数的换底公式，计算下列各式的值：
(1) lg25 × lg54；
(2) lg23×lg34×lg45×lg56×lg67×lg78.
4. 利用计算器，计算下列各式的值(结果保留4位小数)：
(1) lg25 ＋ lg 5；
(2) lg53.14 － lg73；
(4) lg2×lg310.
5. 截至 1999 年底，我国人口约 13 亿如果此后的人口年 平均增长率为 1%，那么约经过多少年后，我国人口 数将达到 18 亿?
lg(xy) ＝lg x＋lg y.
2. 若lg a－2lg 2＝1，则 a＝( ) A.4B.10 C.20 D.40
2.已知正实数 a，b，c 满足lg2a＝lg3b＝lg6c，则( ) A. a＝bcB.b2＝ac C.c＝ab D.c2＝ab
解析：设lg2a＝lg3b＝lg6c＝k， 则a＝2k，b＝3k，c＝6k， 所以 c＝ab.
4. lg23·lg35·lg516＝________.
1. 将下列指数式改写成对数式：
2. 将下列对数式改写成指数式：
(1) lg28＝3；
(4) lg25＝2.321 9；
(5) lg 6＝0.778 2；
(6) ln 10＝2.302 6.
3. 求下列各式的值：
(1) lg3 81；
(3) lg3.4 3.4；
＝lg334＝4lg33＝4
＝lg44－3＝－3lg44＝－3
(4) lg0.45 1；
(5) lg 125＋lg 8；
(6) lg2 56－lg27.
＝lg1000＝lg103＝3lg10＝3
＝lg28＝lg223＝3lg22＝3
4. 利用计算器，求下列各式的值(结果保留 4 位小数)：
＝lg9＝2lg3≈0.9542
＝4lg6×lg3≈1.4851
5. 已知 lg 2≈0.3010，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值 (结果保留 4 位小数):
(1) lg 54； (2) lg 1.5；
原式＝ lg (2×27) ＝ lg 2＋3lg 3 ≈ 0.301 0＋3×0.477 1＝1732 3；
原式＝ lg4－lg9 ＝2lg2－2lg3 ≈2×0.3010 －2×0.4771＝－0.3522；
原式＝ lg 5＋lg 9 ＝1－lg 2＋21g 3 ≈1－ 0.3010 ＋ 2×0.477 1＝1.653 2.
6. 不用计算器，求下列各式的值：
＝21g22＋lg5－lg23＝4lg2＋lg5－3lg2＝lg2＋lg5 ＝lg(2×5) ＝1
(3) (lg 5)2＋lg 2 ＋lg 50 .
7. 已知lg2＝a，lg3＝b，试用 a，b 表示下列各对数：
(1) lg 36； (2) lg 15；
＝ lg62 ＝ 2lg6 ＝ 2(lg2＋lg3)＝2(a＋b)
8. 如果我国国内生产总值 (GDP) 2020 年比 2010 年翻一 番那么平均每年的增长率是多少? (精确到 0.1%)
解 设平均每年的增长率为x， 若2000年的GDP为a，则若2010年的GDP为2a， 根据题意得 a(1＋x)10＝2a， ∴(1＋x)10 ＝ 2， 两边取常用对数得10lg(1＋x) ＝ lg2，
10. 设 a，b 均为不等于1的正数，利用对数的换底公式， 证明：
11. (1)设lg6＝a，lg12＝b，试用 a，b 表示 lg24 和1g120；
(2) 设lg6＝a，lg15＝b，试用a，b 表示lg24和lg120.
12. (阅读题) 对数可以将乘除运算转化为加减运算，通过 对数转换，可以简化运算过程. 例如，1，10，100， 1 000，10 000，···成 10 倍增长，取常用对数后就变 为0，1，2，3，4，···.
一次速算表演中，主持人出题：一个 35 位整数的 31 次方根仍是一个整数，下面我报出这个 35 位数，请说出它的 31 次方根，这个 35位数是······ 未等主持人报出第一位数字，速算专家已经写出了这个数的 31次方根：13.
还不知道什么数，他居然能求出方根，并且是 31 次方根，又用的是心算，而且闪电般地快! 你很惊奇吧? 其实很简单，因为只有一个整数，它的 31 次方是一个 35 位整数你知道为什么吗?在事先不知道题目的情况下，速算专家是怎么如此快速地推算出这个结论的呢? 现在只告诉你，速算专家的秘诀是：他心中记住了下面的表(表中常用对数为近似值).
如果你不能心算，也可以借助笔把专家的思路弄清了，再自己试一试.比如下面的题目：一个 20 位整数的 64 次方根仍是一个整数，这个 64 次方根是多少?
对数是由苏格兰数学家纳皮尔 ( J . Napier，1550-1617)发明的纳皮尔为了简化天文学问题的球面三角计算，在没有指数概念的情况下发明了对数，并于1614 年在《奇妙对数定律说明书》中，介绍了他的方法和研究成果. 18世纪的欧拉(L，Euler，1707-1783)深刻地揭示了指数与对数的密切联系，他曾说“对数源出于指数”.
在纳皮尔的著作发表 40 年后，对数传入我国，lgarithm 一词被译成“比例数”后又逐步演变成“对数”，意指“对(照)表中的数”. 清代数学家戴煦(1805-1860)等，经过独立的刻苦研究，也取得了很多成就。
纳 皮尔 (J.Napier. 1550--1617)，苏格兰数学家，对数发明人.
现在通用的“常用对数”.是与纳皮尔同时期的英国教学家布里格斯( H.Briggs，1561-1631)引入的，并于1617 年出版了常用对数表.1622年，英国数学家斯皮德尔(J，Speidell) 给出了以e为底的自然对数表. 恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡儿的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为 17 世纪的三大数学发明.
法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯( ，1749-1827)曾说： 对数可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.
由此可见，对数的发明对于人们研究科学和了解自然起了重大作用.
写 作
收集有关对数概念的形成和发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.
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