高中数学苏教版 (2019)必修 第一册5.3 函数的单调性教案配套ppt课件

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5 . 3 函数的单调性
● 怎样用数学语言刻画上述某一时段内“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征?
由图可知，从4时到14 时这一时间段内，图象是上升趋势，气温逐渐升高.
f(x1)＜f(x2)
f(x1)＞f(x2)
(2)本质： 函数的单调性反映的是两个变量的对应变换规律，定量地刻画了函数在区间上图象的变化趋势,是函数诸多性质中最核心、最本质的性质.(3)应用：证明函数的单调性、比较大小、解不等式、 求参数范围等.
函数单调性的定义中，能否将“任意”改为“存在”?
提示：不能， 一些特殊的值满足并不能说明函数的单调性.
如果函数 y＝f(x) 在区间 I 上是增函数或减函数，那么称函数 y＝f(x) 在区间 I 上具有单调性.增区间和减区间统称为单调区间.
函数 y＝f(x) 在定义域内的每一个区间 D1，D2，…上都单调递减，那么函数在定义域上是减函数吗?你能举例说明吗?
画出下列函数图象，并写出单调区间：
(1) y＝－x2＋2；
解：函数图象如图， 增区间为(－∞ ，0]， 减区间为[0，＋∞).
解：函数图象如图， (－∞，0)和(0，＋∞) 是两个减区间.
2. 函数 y＝f(x) 的图象如图所示，其减区间是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.[－4，4] B.[－4，－3]∪[1，4] C.[－3，1] D.[－4，－3]，[1，4]
解析：由图象知函数在[－4，－3]以及[1，4]上是减函数，则对应的减区间为[－4，－3]，[1，4].
3. 若函数 f(x)＝(2k－1)x＋1 是减函数，则实数 k 的取值 范围是______________. 
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1. 函数 y＝∣x∣－1的减区间为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. (0，＋∞) B.(－∞，0) C. (－∞，－1) D.(－1，＋∞)
解析：当x≥0时，y＝∣x∣－1＝x－1，此时函数为增函数， 当x＜0时，y＝∣x∣－1＝－x－1，此时函数为减函数， 即函数的减区间为(－∞，0).
解析：由图象可知减区间为(0，1).
4. 若 f(x) 是减函数，且 f(3x－2)＜f(3)，则 x 的取值范围 是________________. 
5. 函数 f(x) ＝2x2－3∣x∣的增区间是_______________________. 
在图中，我们从图象上看出 14 时的气温为全天的最高气温，它表示在0~24 时，气温于14 时达到最大值.从中可以看出，图象在这一点的位置最高.
在图中，可以看出对于任意的 x∈R，都有f(x)＜2＝f(0).
三、函数的最大值和最小值
(2)本质： 函数图象上最高点的纵坐标即为最大值；最低点的纵坐标即为最小值.(3)应用： 求函数的值域，参数的范围，解决实际问题.
函数 f(x)＝－x2 的定义域为R，存在实数1，对于任意x∈R，都有f(x)≤1.那么1是函数 f(x)＝－x2的最大值吗?为什么?
提示：不是. 因为不存在 x0∈R，使得 f(x0) ＝－x02＝1.
图5-3-4 为函数 y＝f(x)，x∈[－4，7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间.
解 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是 (3，3)，最低的点是(－1.5，－2).因此，当x＝3时，函数y＝f(x)取得最大值，即ymax＝3；当x＝－1.5时，函数y＝f(x)取得最小值，即ymin＝－2. 函数的增区间为[－1.5，3]，[5，6]；减区间为[－ 4，－1.5]，[3，5]，[6，7].
(1) y＝x2－2x；
解：因为 y＝x2－2x ＝ (x－1)2－1＞－1， 且当x＝1时 y＝－1. 所以函数在 x＝1时取得最小值－1， 即 ymin＝－1.
例 4中的两个函数有无最大值?
已知函数y＝f(x)的定义域是[a，b]，a＜c＜b. 在区间[a，c] 上，f(x)单调递增；在区间[c，b] 上，f(x)单调递减，试证明 f(x) 在 x＝c 时取得最大值.
证明 因为在区间[a，c] 上，f(a)单调递增， 所以对于任意 x∈ [a，c]，都有 f(x) ＜ f(c).
又因为在区间[c，b] 上，f(x)单调递减，所以对于任意 x∈[c，b]，都有 f(x)≤f(c).因此，对于任意 x∈[a，b]都有 f(x)≤f(c)，即f(x)在 x＝c 时取得最大值.
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1)任何函数都有最大值、最小值.(　　) (2)如果一个函数有最大值，那么最大值是唯一的. (　　) (3)如果一个函数f(x)在区间[a，b]上单调递减，那么函数的最大值是f(b).(　　)
2. 函数 f(x)＝x2－3x(∣x∣＜1)(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值C.无最大值，但有最小值D.既无最大值，也无最小值
4.当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)A.(－∞，1] B.(－∞，0]C.(－∞，0) D.(0，＋∞)
解析：令 f(x)＝－x2＋2x，则 f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1. 又因为x∈[0，2]，所以f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.所以a＜0.
练 习
1. 判断函数f(x)＝x2－1在(0，＋∞)上是增函数还是减函数.
证明 在(0， ＋∞)上任取两个不相等的实数 x1，x2， 且设 x1 ＜x2； 则 f(x1)－f(x2)＝(x12－1)－(x22－1)＝x12－x22 ＝(x1＋x2)(x1－ x2)， ∵0＜x1＜x2，∴ x1－x2＜0，x1＋x2＞0， ∴ f(x1)－f(x2)＜0，∴ f(x1) ＜ f(x2). ∴函数 f(x)＝x2－1在(0，＋∞)上是增函数.
2. 画出函数 f(x)＝∣x＋1∣的图象，并根据图象写出f(x) 的单调区间.
3. 判断函数 f(x)＝－x2＋2x 在(－∞ ，0)上是增函数还是 减函数.
函数 f(x)＝－x2＋2 在(－∞，0)上是增函数.
证明如下：设在(－∞，0) 上任意取 x1，x2，且x1＜x2， ∴ f(x1)－f(x2)＝(－x12＋2x1)－(－x22＋2x2) ＝(x22－x12)＋(2x1－2x2) ＝(x2－x1)(x1＋x2)＋(2x1－2x2) ＝(x2－x1)(x1＋x2－2)，
∵ x1＜x2＜0，∴ x2－x1＞0，x1＋x2＜0，∴ x1＋x2－2＜0，∴(x2－x1)(x1＋x2－2)＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴函数 f(x)＝－x2＋2x 在 (－∞，0) 上是增函数.
4. 求函数 f(x)＝－x2＋2x 在[0，10]上的最大值和最小值.
解 f(x)＝－x2＋2x－1＋1＝－ (x－1)2＋1， 对称轴x＝1， ∴函数f(x)在[0，1)递增，在(1，10]递减， ∴f(x)max＝1，f(x)min＝f(10) ＝－80.
6. 证明：函数f(x)＝－2x＋1是减函数.
解 由题，f(x)＝－2x＋1，x ∈ R， 因为f′(x)＝－2＜ 0， 所以函数 f(x)＝－2x＋1为减函数.
7. 下图分别为函数 y＝f(x) 和 y＝g(x) 的图象，试写出函 数 y＝f(x) 和 y＝g(x) 的增区间.
8. 判断下列说法是否正确： (1) 若定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(2)＞ f(1)，则数f(x) 是 R 上的增函数；
解 若函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的 x1，x2∈R 且x1 ＜x2，则 f(x1)＜f(x2) 一定成立， 若f(2)＞f(1)成立，f(2)＞f(0)不一定成立，函数f(x)在R上不一定是增函数，(1)错误；
(2) 若定义在 R 上的函数 f(x) 满 f(2)＞f(1)，则函数 f(x) 在 R 上不是减函数；
解 若函数f(x)在R上为减函数，则对于任意的x1，x2∈R 且x1 ＜x2，则f(x1)＞f(x2) 一定成立，所以，f(2)＜f(1)一定成立， 所以，若 f(2)＞f(1)，函数f(x)在R上一定不是减函数，(2)正确；
(3) 若定义在 R 上的函数f(x)在区间(－∞ ，0] 上单调递增， 在区间[0，＋∞) 上也单调递增，则函数 f(x)在 R 上是 增函数；
解 若定义在R上的函数f(x)在区间(－∞ ，0]上是增函数，在区间[0，＋∞)上也是增函数，则满足对于任意的 x1，x2∈R且x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)成立， 所以，函数f(x)在R上是增函数，(3)正确；
(4) 若定义在 R 上的函数 f(x)在区间(－∞ ，0] 上单调递增， 在区间(0，＋∞)上也单调递增，则函数 f(x) 在 R 上是 增函数.
1. 已知 k，b 是常数，填写下表：
2. 指出下列函数的单调区间：
(1) y＝1－3x；
解 ∵k＝－3＜0. ∴y＝1－3x 在(－∞，＋∞)单调递减；
(3) y＝x2＋1；
解 函数 y＝x2＋1定义域为R， ∵ y＝x2在(－∞，0) 单调递减， 在(0，＋∞)单调递增， ∴ y＝x2＋1在(－∞，0) 单调递减， 在(0，＋∞)单调递增；
(4) y＝－x2＋x－1.
3. 画出下列函数的图象，指出函数的单调区间，并求出 函数的最大值或最小值：
(1) f(x) ＝－x2－1；
解 函数图象如图(1)，增区间为(－∞，0]，减区间为[0， ＋∞)，最大值为－1，无最小值.
(2) f(x)＝ x2－2x－1，x∈[－1，1]；
解 函数图象如图(2)，减区间为[－1，1]， 最大值为 2，最小值为 －2.
(3) f(x) ＝ x∣x∣；
解 函数图象如图(4)， 减区间为[0，＋∞)， 最大值为 ，无最小值.
解 函数图象如图(5)，增区间为[0，＋∞)， 减区间为(－∞ ，0]， 无最大值，最小值为－2.
解 函数图象如图(6)， 增区间为(－∞，＋∞)， 既无最大值，也无最小值.
4. 设 a 为实数，已知函数 y＝f(x) 在定义域 R 上是减函数， f(a＋1) ＞f(2a)，求 a 的取值范围.
解 由题意可知，f(x)在R上是减函数. ∴ f(a＋1)＞f(2a)， ∴ a＋1＜2a， 解得 a＞1.
5. 证明： (1) 函数 f(x)＝－2x2＋3 在区间(－∞，0]上是增函数；
解 设 x1，x2∈(－∞ ，0]，且 x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－2x12＋2x22 ＝ 2(x2＋x1)(x2－x1)，
∵ x1，x2∈(－∞，0]，且 x1＜x2，∴ x1＋x2＜0，x2－x1＞0，∴ 2(x2＋x1)(x2－x1)＜0， 即 f(x1)－f(x2)＜0， 即 f(x1)＜f(x2)，∴ f(x) 在区间 (－∞，0] 上是增函数.
(2) 函数 f(x)＝－x＋1 在区间(－∞，0]上是减函数；
证明：任取 0＜x1＜x2， 则 x1－x2＜0，x1x2＞0.
(1) 求证：f(x)在区间(0，1]上单调递减，在区间[1，＋∞) 上单调递增；
∴当 x∈(0，1) 时， f′(x)＜ 0， 当 x∈(1， ＋∞) 时， f′(x) ＞0，∴ f(x)在区间(0，1]上是单调减函数，在区间[1， ＋∞) 上是单调增函数；
(2) 试求函数 f(x) 的最大值或最小值.
证明： 由 (1) 知，f(x)有最小值，无最大值； fmin(x)＝f(1)＝1＋1＝2.
8. 利用技术工具 (如计算器或计算机) 画函数 f(x)＝x3－3x＋1的图象并求函数的单调区间.
函数 f(x)＝x3－3x＋1图象如下：
因为 f(x)＝x3－3x＋1，所以 f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1).由 f′(x)＞0得x＞1或x＜－1，所以 f(x)＝x3－3x＋1的单调递增区间为 (－8，－1)，(1，＋∞)，由f′(x)＜0得－1＜x＜1，所以f(x)＝x3－3x＋1的单调递增区间为(－1，1).