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高中数学第6章 幂函数、指数函数和对数函数6.3 对数函数课文内容课件ppt
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这是一份高中数学第6章 幂函数、指数函数和对数函数6.3 对数函数课文内容课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了3对数函数，习题63，问题与探究等内容，欢迎下载使用。
我们知道，在某细胞分裂过程中，细胞个数 y 是分裂次数 的指数函数 y＝2x，因此，知道x的值 (输入值是分裂次数)，就能求出y的值 (输出值是细胞个数). 现在，我们来研究相反的问题：知道了细胞个数 y，如何确定分裂次数x?
为了求 y＝2x 中的x，我们将 y＝2x 改写成对数式为 x＝lg2y . 对于每一个给定的y值，都有唯一的值与之对应把y看作自变量， 就是 y 的函数. 这样就得到了一个新的函数.
前面提到的放射性物质，经过的时间 x (单位：年) 与物质剩留量 y 的关系式为 y＝0.84x 改写成对数式为 x＝lg0.84y.类似地，y 是自变量，x 是 y 的函数.
这些函数的表达式都是对数的形式，底数是常数，真数是自变量，这样的函数称为对数函数.
提示：① a＞0，且 a≠1； ② lgax 的系数为1； ③自变量x的系数为1.
对数函数解析式有什么特征?
观察图 6－3－1中的函数的图象，对照指数函数的性质，你发现对数函数 y＝lgax (a＞0，a≠1) 有哪些性质?
二、对数函数的图象与性质
提示：当 x＝1 时，lga1＝0 恒成立，即对数函数的图象一定过点 (1，0) .
思 考
函数 y＝lgax 与函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的定义域、值域之间有怎样的关系?
画出下列两组函数的图象，并观察各组函数的图象，寻找它们之间的关系：
(1) y＝2x，y＝lg2x；
一般地，当a＞0，a≠1时，函数 y＝ax与 y＝lgax 的图象有怎样的关系?
当 a＞0，a≠1 时，y＝lgax 称为 y＝ax 的反函数. 反之，y＝ax 也称为 y＝lgax 的反函数.一般地，如果函数 y＝f(x) 存在反函数，那么它的反函数记作 y＝f－1(x).
(1) y＝lg0.2(4－x)；
解： 当4－x＞0，即x＜4时，lg0.2(4－x)有意义； 当 x≥4 时，lg0.2(4－x)没有意义. 因此，函数 y＝lg0.2(4－x)的定义域是(－∞，4).
比较下列各组数中两个数的大小：
(1) lg23.4，lg23.8；
解 考察对数函数 y＝lg2x. 因为 2＞1， 所以 y＝lg2x 在区间(0，＋∞)上是增函数. 又因为 0＜3.4＜3.8， 所以 lg23.4＜lg23.8.
(2) lg0.51.8，lg0.52.1；
解 考察对数函数 y＝lg0.5x. 因为0＜0.5＜1， 所以 y＝lg0.5x 在区间(0，＋∞)上是减函数. 又因为 0＜1.8＜ 2.1， 所以 lg0.51.8 ＞
解 考察对数函数 y＝lg7x. 因为 7＞1， 所以 y＝lg7x 在区间(0，＋∞)上是增函数. 又因为 0＜5＜7， 所以 lg75 ＜ lg77＝1. 同理 lg67 ＞ lg66＝1， 所以 lg75 ＜ lg67.
(3) 1g75，lg67.
说明函数 y＝lg3(x＋2) 与函数 y＝lg3x 的图的关系.
解 比较函数 y＝lg3(x＋2)与 y ＝lg3x 的取值关系，列表如表 6-3-2 所示.
一般地，函数 y＝lg3(x＋2)中x＝a－2 对应的 y 值与函数y＝lg3x中x＝a对应的y值相等，则将对数函数 y＝lg3x 的图象向左平移2个单位长度，就得到函数y＝lg3(x＋2) 的图象. 这两个函数的图象如图所示.
函数 y＝lg(x＋b) 与函数 y＝lgax (a＞0，a≠1，b≠0)的图象之间有怎样的关系?
画出函数 y＝lg2∣x∣的图象，并根据图象写出函数的单调区间.
解：由于函数 y＝f(x)＝lg2∣x∣满足对任意的 x∈(－8，0)∪(0，＋∞) 都有f(－x) ＝ lg2∣－x∣＝lg2∣x∣＝f(x)，所以函数 y＝lg2∣x∣是偶函数，它的图象关于y轴对称.
当x＞0时，lg2∣x∣＝lg2x. 因此，我们先画出函数 y＝lg2x (x＞0)的图象C1，再作出 C1关于 y 轴对称的图象C2. C1和C2构成函数 y＝lg2∣x∣的图象，如图 6-3-4.
由图象可以知道，函数 y＝lg2∣x∣的减区间是(－∞ ，0)，增区间是(0，＋∞).
在GGB中作出动态函数 y＝ax与y＝lgax (a＞0，a≠1)的图象，直观地理解第 145 页“思考”中的问题. (1) 在输入框中输入“y＝a∧x”，确认“创建滑动条：a”(图6-3-5)
(2) 在输入框中输入“y＝lg(a，x)”，敲回车确认；(3) 拖动滑块a，观察两个图象的动态变化趋势 (图 6-3-6).
右击滑块 a 在“属性”中可设置参数 a 的范围及增量(每次变化的幅度).
练 习
2. 求下列函数的定义域：
(1) y＝lg2(2x＋1)；
(2) y＝lg0.5(2x－3)
3. 判断下列函数的单调性：
(1) y＝lg2x；
解 ∵函数 y＝lg2x，x＞0 的底数2＞1， ∴该函数在 (0，＋∞) 上单调递增；
(3) y＝lg7(2x＋1)；
(4) y＝lg(3－2x).
4. 比较下列各组数中两个数的大小：
(1) lg35.4，lg35.5；
解 ∵f(x)＝lg3x 在(0，＋∞) 单调递增，且 5.4＜5.5， ∴lg35.4＜lg35.5；
(3) lg 0.02，lg 3.12；
(4) ln 0.55，ln 0.56.
解 ∵f(x)＝lgx 在(0，＋∞) 单调递增，且 0.02＜3.12， ∴lg0.02＜lg3.12；
解 ∵f(x)＝lnx 在(0，＋∞) 单调递增，且 0.55＜0.56， ∴ln0.55＜ln0.56；
(1) lg2(3x)＝lg2(2x＋1)；
解 ∵lg2(3x)＝lg2(2a＋1)， ∴ 3x＝2x＋1， 即x＝1.
(2) lg5(2x＋1) ＝lg5(x2－2)；
解 ∵ lg5(2x＋1)＝lg5(x2－2)， ∴ 2x＋1＝x2－2， ∴ x＝3 或 x＝－1， 又∵真数都是大于0的， 当x＝－1时，x2－2＝－1＜0. ∴x＝－1舍去，即 x＝3.
链 接
在 x＝f－1(y)中，y 是自变量，x是y的函数. 习惯上改写成 y＝f－1(x) (x∈B，y∈A) 的形式.
函数 y＝f(x) 的定义域 A 恰好是它的反函数 y＝f－1(x) 的值域，函数 y＝f(x) 的值域 B 恰好是它的反函数 y＝f－1(x) 的定义域.
函数 y＝ax与 y＝lgax 的图象表明，互为反函数的两个函数的图象关于直线 y＝x 对称.
函数 f(x)＝x2 有反函数吗?为什么?
提示：没有. 若令 y＝f(x)＝1，则 x＝±1， 即x值不唯一，不符合反函数的定义.
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) y＝lgx5是对数函数.( ) (2) 对数函数的图象都过定点 ( ) (3) 对数函数的图象都在 y 轴的右侧.( )
2. 函数 y＝lg2x 在区间 (0，2]上的最大值是( ) A.2 B.1 C.0 D. －1
解析：函数 y＝lg2x 在(0，2]上递增，故 x＝2时，y的值最大，最大值是1.
4. 若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝______.
解析：要使函数 f(x) 有意义，则 lg2x－1≥0， 解得x≥2，即函数 f(x) 的定义域为[2，＋∞).
解析：设函数 f(x)＝lgax (x＞0，a＞0且a≠1)，因为对数函数的图象过点M(9，2)，所以 2＝lga9，所以a2＝9，a＞0，解得a＝3.所以此对数函数的解析式为 y＝lg3x.
2. 函数 f(x) ＝ln(1－x) 的定义域是( ) A. (0，1) B. [0，1) C. (1，＋∞) D. (－∞，1)
解析：要使 f(x) 有意义，则1－x＞0， 所以 x＜1，所以 f(x) 的定义域为(－∞，1).
3. 如果函数 y＝lg2x 的图象经过点 A (4，y0)，那么 y0＝________.
解析：因为函数 y＝lg2x 的图象经过点 A(4，y0)， 所以 y0＝lg24，所以 2y0＝4＝22， 所以 y0＝2.
4. 设函数 f(x)＝lgax，则 f(a＋1) 与 f(2) 的大小关系是 _____________.
解析：当a＞1时，a＋1＞2，f(x)＝lgax 是增函数，则 f(a＋1)＞f(2)； 当0＜a＜1时，a＋1＜2，f(x)＝lgax 是减函数，则f(a＋1)＞f(2). 综上，f(a＋1)＞f(2).
f(a＋1)＞f(2)
5. 若lg0.1(1－a)＞lg0.1(2a－1)，则a的取值范围是 ___________.
(1) y＝lg2(5x＋2)；
解 根据题意可得 x－3＞0，解得 x＞3， 则函数的定义域为(3，＋∞).
(3) y＝ln(3x－1)；
3. 比较下列各组数中两个数的大小：
(1) lg57.8，lg57.9；
解 ∵ y＝lg5x是(0，＋∞)上的单调递增函数， 且0＜7.8＜7.9. ∴ lg57.8 ＜ lg57.9.
(2) lg0.33，lg0.32；
解 ∵y＝lg0.3x是(0，＋∞)上的单调递增函数， 且0＜2＜3. ∴ lg0.33 ＜ lg0.32.
(3) ln0.32，lg2；
解 ∵ y＝lnx 是 (0，＋∞) 上的单调递增函数， 且0＜0.32＜1， ∴ ln0.32＜ln1＝0， ∵ y＝lgx 是 (0，＋∞) 上的单调递增函数， 且0＜1＜2， ∴lg2＞lg1＝0， ∴ln 0.32＜lg2.
(4) lg55，lg58.
解 ∵y＝lg6x 是(0，＋∞)上的单调递增函数， 且0＜5＜6， ∴lg65＜lg66＝1. ∵y＝lg7x 是(0，＋∞)上的单调递增函数， 且0＜7＜8， ∴lg78＞lg77＝1， ∴ lg65＜lg78.
4. 证明：函数 y＝lg0.5(3x－2)在定义域上是减函数.
(1) 33x＋5＝ 27；
(2) 22x ＝ 12；
(3) 31－x－2＝0.
6. 画出函数 y＝lg2(x＋1)与 y＝lg2(x－1)的图象，并指 出这两个函数图象之间的关系.
解 画出函数 y＝lg2(x＋1) 与 y＝lg2(x－1) 的图象，如图所示：
从图象发现将 y＝lg2(x＋1) 图象向右平移2个单位得 y＝ lg2(x－1)的图象
7. 比较 lg25与lg58 的大小.
解 构造函数 y＝lg2x，x∈(0，＋∞)， ∵ y＝lg2x 在(0，＋∞) 上单调递增，且 5＞4， ∴ lg25 ＞ 1g24 ＝ 2， 构造函数 y＝lg5x，x∈(0，＋∞)， ∵y＝lg5x 在(0，＋∞) 上单调递增，且5＜8＜25， ∴1＝lg55 ＜ lg58＜ lg25＝2. ∴lg25＞1g58.
8. 设a与b为实数，a＞0，a≠1. 已知函数 y＝lga(x＋b) 的图象如图所示求a与b 的值.
9. 已知 f(x)＝lg3x，求证：
(1) f(x)＋f(y) ＝f(xy)；
证明：∵f(x)＝lg3x， ∴f(y)＝lg3y， ∴ f(xy)＝lg3(xy)＝lg3x＋lg3y＝f(x)＋f(y)， ∴f(x)＋f(y)＝f(xy). 综上所述，结论是： f(x)＋f(y)＝f(xy).
11. 设 a，b，c，d 均为不等于 1 的正实数，如图，已知 函数 y＝lgax，y＝lgbx，y＝lgcx，y＝lgdx 的图象 分别是曲线 C1，C2，C3，C4， 试判断 0，1，a，b，c，d 的大 小关系，并用“＜”连接起来.
解 当对数函数值为1时，底数与真数相等，这是对数的一条重要性质，将对数与指数结合更好理解，将对数 y＝lgax (a＞0且a≠1)变为指数形式，ay＝x (a＞0且a≠1)，当 y＝1 时，可得 a＝x；接下来作出y＝1的直线与其他对数图象的交点根据横坐标的先后顺序，即可得到a、b、c、d、1、0的大小关系.
作直线 y＝1 分别与 y＝lgax，y＝lgbx，y＝lgcx，y＝lgcx 的交点为 (a，1)，(b，1)，(c，1)，(d，1) . 结合图象知 0＜b＜a＜l＜d＜c.
(1) 21－x＝ 5；
解 原方程化为：21－x＝ 2lg25， ∴1－x＝lg25， ∴原方程的解为： x＝1－lg25；
(2) 2×5x＋1－9＝0.
13. 解下列不等式：
(1) 5x＋2＞2；
解 不等式 5x＋2＞2可化为 x＋2＞lg52， 解得 x＞－2＋1g52， ∴不等式的解集为{ x∣x＞－2＋lg52}；
(2) 33－x＜6；
解 不等式 33－x＜6 可化为 3－x＜1g36， 解得 x＞3－1g36， ∴不等式的解集为{x∣x＞3－lg36}.
(3) lg3(x＋2)＞3；
(4) lg(x－1) ＜1.
解 不等式 lg3(x＋2)＞3 可化为 x＋2＞33，解得 x＞25， ∴ 不等式的解集为{x∣x＞25}；
15. (探究题) 对于等式 ab＝c (a＞0，a≠1)，如果将a视为 自变量x，b视为常数，c为关于a (即x) 的函数，记为 y， 那么y ，是幂函数；如果将 a 视为常数，b 视为自变 量x，c 为关于b (即x) 的函数，记为y，那么y＝ax，是 指数函数；如果将 a 视为常数，c 视为自变量x，为关 于c (即x) 的函数，记为y，那么y＝lgax，是对数函数. 事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.
例如，如果 c 为常数e (e 自然对数的底)，将 a 视为自变量x (x＞0，x≠1)，则b为x的函数，记为 y，那么xy＝e. (1) 试将y表示成x的函数 f(x)； (2) 研究函数 f(x)的性质. 你还能运用这个等式得到什么样的函数?这些函数分别具有哪些性质?
钢琴是一种用琴槌击弦而振动发声的键盘乐器，最早的钢琴是意大利佛罗伦萨梅迪奇宫廷的乐师克里斯托弗里(1655-1731)于1711年制造的，钢琴的意大利文为 pian frte，由 pian(弱)和 frte(强)两字组合而成.钢琴在音量上可以奏出极大的层次变化，它的音域极为宽广，最多可以有 7 个八度并包括所有的半音. 它可演奏和弦与复调音乐，手法极为丰富.因此，钢琴有“乐器之王”的称号.
但是，你曾留心过三角钢琴的轮廓有一段奇妙的“曲线”吗?三角钢琴的轮廓上部为什么要制成这样形状的曲线?为了解释这一现象，我们应学会观察、调查和研究.
首先，从左往右逐个试弹所有琴键(包括所有白键和黑键)，我们听到琴声逐渐由低到高，这是因为琴声的高低与琴弦振动的频率有关，而琴弦振动的频率又与琴弦的长度有关，粗略地说，琴弦长则振动慢，频率小，故发出的声音低；琴弦短，则振动快，频率大，故发出的声音高.
如图 1，在 88 键钢琴中，音域宽度自大字二组的 A2 至小字五组的 c5. 根据“十二平均律”的法则，任何两个相邻的键所发出的音相差半音阶(100 音分)，它们的振动频率之比是一个常数 Q. 设最低的第一个音 A2 的频率是a，则第二个音#A2，的频率是 aQ，第三个音 B2的频率是aQ2······另外，音高每提高八度(如 A2到 A1)，频率增大为原来的2倍，
而八度音域内包含 12 个半音(连续的 7个白键和 5个黑键)，所以，第十三个音(A1)的频率是第一个音(A2)的频率的2倍.故
aQ12 ＝ 2a，即 Q12＝2.
设左边第一根弦的长度为 l ，则第二根弦的长度为 lg，第三根弦的长度为 lq2······如图 2，取第一根弦所在直线为 y 轴，各弦靠近键盘的端点所在直线为 x 轴建立坐标系,相邻两弦间的距离为长度单位这时，将弦的另一端点(上部) 连成光滑曲线，那么曲线上任意点的坐标 (x，y)都满足函数关系 y＝lgx.
若令 c＝lgql，则 y＝lqx 可化为 y＝qx＋c.
生活中到处都有数学，我们要学会用数学的眼光观察世界，用数学这一强大工具发现自然界的奥秘. 只要我们深入调查研究. 就能发现许多问题是可以利用数学知识加以解决的. 例如，中小学学生身高与课桌椅高度的关系.
许多学校的课桌椅高度都是一样的. 无疑，高度一样的课桌椅不仅制作方便，而且摆放起来整齐、美观.
但是，同一高度的课桌椅不能完全适合身高不同的学生，从而给他们的身体发育带来不良影响. 因此，中小学学生的身高与课桌椅高度的关系就值得研究.
通过实地调查，研究你所在学校的学生身高与课桌椅高度的关系.
《怎样解题》是由美国数学家和数学教育家 G.波利亚所写的一部畅销书，“怎样解题表”是该书的精华. 波利亚将解题过程分成了四个步骤，解题时按这四个步骤去尝试，有利于学会解题，提升分析问题与解决问题的能力.
我们知道，在某细胞分裂过程中，细胞个数 y 是分裂次数 的指数函数 y＝2x，因此，知道x的值 (输入值是分裂次数)，就能求出y的值 (输出值是细胞个数). 现在，我们来研究相反的问题：知道了细胞个数 y，如何确定分裂次数x?
为了求 y＝2x 中的x，我们将 y＝2x 改写成对数式为 x＝lg2y . 对于每一个给定的y值，都有唯一的值与之对应把y看作自变量， 就是 y 的函数. 这样就得到了一个新的函数.
前面提到的放射性物质，经过的时间 x (单位：年) 与物质剩留量 y 的关系式为 y＝0.84x 改写成对数式为 x＝lg0.84y.类似地，y 是自变量，x 是 y 的函数.
这些函数的表达式都是对数的形式，底数是常数，真数是自变量，这样的函数称为对数函数.
提示：① a＞0，且 a≠1； ② lgax 的系数为1； ③自变量x的系数为1.
对数函数解析式有什么特征?
观察图 6－3－1中的函数的图象，对照指数函数的性质，你发现对数函数 y＝lgax (a＞0，a≠1) 有哪些性质?
二、对数函数的图象与性质
提示：当 x＝1 时，lga1＝0 恒成立，即对数函数的图象一定过点 (1，0) .
思 考
函数 y＝lgax 与函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的定义域、值域之间有怎样的关系?
画出下列两组函数的图象，并观察各组函数的图象，寻找它们之间的关系：
(1) y＝2x，y＝lg2x；
一般地，当a＞0，a≠1时，函数 y＝ax与 y＝lgax 的图象有怎样的关系?
当 a＞0，a≠1 时，y＝lgax 称为 y＝ax 的反函数. 反之，y＝ax 也称为 y＝lgax 的反函数.一般地，如果函数 y＝f(x) 存在反函数，那么它的反函数记作 y＝f－1(x).
(1) y＝lg0.2(4－x)；
解： 当4－x＞0，即x＜4时，lg0.2(4－x)有意义； 当 x≥4 时，lg0.2(4－x)没有意义. 因此，函数 y＝lg0.2(4－x)的定义域是(－∞，4).
比较下列各组数中两个数的大小：
(1) lg23.4，lg23.8；
解 考察对数函数 y＝lg2x. 因为 2＞1， 所以 y＝lg2x 在区间(0，＋∞)上是增函数. 又因为 0＜3.4＜3.8， 所以 lg23.4＜lg23.8.
(2) lg0.51.8，lg0.52.1；
解 考察对数函数 y＝lg0.5x. 因为0＜0.5＜1， 所以 y＝lg0.5x 在区间(0，＋∞)上是减函数. 又因为 0＜1.8＜ 2.1， 所以 lg0.51.8 ＞
解 考察对数函数 y＝lg7x. 因为 7＞1， 所以 y＝lg7x 在区间(0，＋∞)上是增函数. 又因为 0＜5＜7， 所以 lg75 ＜ lg77＝1. 同理 lg67 ＞ lg66＝1， 所以 lg75 ＜ lg67.
(3) 1g75，lg67.
说明函数 y＝lg3(x＋2) 与函数 y＝lg3x 的图的关系.
解 比较函数 y＝lg3(x＋2)与 y ＝lg3x 的取值关系，列表如表 6-3-2 所示.
一般地，函数 y＝lg3(x＋2)中x＝a－2 对应的 y 值与函数y＝lg3x中x＝a对应的y值相等，则将对数函数 y＝lg3x 的图象向左平移2个单位长度，就得到函数y＝lg3(x＋2) 的图象. 这两个函数的图象如图所示.
函数 y＝lg(x＋b) 与函数 y＝lgax (a＞0，a≠1，b≠0)的图象之间有怎样的关系?
画出函数 y＝lg2∣x∣的图象，并根据图象写出函数的单调区间.
解：由于函数 y＝f(x)＝lg2∣x∣满足对任意的 x∈(－8，0)∪(0，＋∞) 都有f(－x) ＝ lg2∣－x∣＝lg2∣x∣＝f(x)，所以函数 y＝lg2∣x∣是偶函数，它的图象关于y轴对称.
当x＞0时，lg2∣x∣＝lg2x. 因此，我们先画出函数 y＝lg2x (x＞0)的图象C1，再作出 C1关于 y 轴对称的图象C2. C1和C2构成函数 y＝lg2∣x∣的图象，如图 6-3-4.
由图象可以知道，函数 y＝lg2∣x∣的减区间是(－∞ ，0)，增区间是(0，＋∞).
在GGB中作出动态函数 y＝ax与y＝lgax (a＞0，a≠1)的图象，直观地理解第 145 页“思考”中的问题. (1) 在输入框中输入“y＝a∧x”，确认“创建滑动条：a”(图6-3-5)
(2) 在输入框中输入“y＝lg(a，x)”，敲回车确认；(3) 拖动滑块a，观察两个图象的动态变化趋势 (图 6-3-6).
右击滑块 a 在“属性”中可设置参数 a 的范围及增量(每次变化的幅度).
练 习
2. 求下列函数的定义域：
(1) y＝lg2(2x＋1)；
(2) y＝lg0.5(2x－3)
3. 判断下列函数的单调性：
(1) y＝lg2x；
解 ∵函数 y＝lg2x，x＞0 的底数2＞1， ∴该函数在 (0，＋∞) 上单调递增；
(3) y＝lg7(2x＋1)；
(4) y＝lg(3－2x).
4. 比较下列各组数中两个数的大小：
(1) lg35.4，lg35.5；
解 ∵f(x)＝lg3x 在(0，＋∞) 单调递增，且 5.4＜5.5， ∴lg35.4＜lg35.5；
(3) lg 0.02，lg 3.12；
(4) ln 0.55，ln 0.56.
解 ∵f(x)＝lgx 在(0，＋∞) 单调递增，且 0.02＜3.12， ∴lg0.02＜lg3.12；
解 ∵f(x)＝lnx 在(0，＋∞) 单调递增，且 0.55＜0.56， ∴ln0.55＜ln0.56；
(1) lg2(3x)＝lg2(2x＋1)；
解 ∵lg2(3x)＝lg2(2a＋1)， ∴ 3x＝2x＋1， 即x＝1.
(2) lg5(2x＋1) ＝lg5(x2－2)；
解 ∵ lg5(2x＋1)＝lg5(x2－2)， ∴ 2x＋1＝x2－2， ∴ x＝3 或 x＝－1， 又∵真数都是大于0的， 当x＝－1时，x2－2＝－1＜0. ∴x＝－1舍去，即 x＝3.
链 接
在 x＝f－1(y)中，y 是自变量，x是y的函数. 习惯上改写成 y＝f－1(x) (x∈B，y∈A) 的形式.
函数 y＝f(x) 的定义域 A 恰好是它的反函数 y＝f－1(x) 的值域，函数 y＝f(x) 的值域 B 恰好是它的反函数 y＝f－1(x) 的定义域.
函数 y＝ax与 y＝lgax 的图象表明，互为反函数的两个函数的图象关于直线 y＝x 对称.
函数 f(x)＝x2 有反函数吗?为什么?
提示：没有. 若令 y＝f(x)＝1，则 x＝±1， 即x值不唯一，不符合反函数的定义.
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) y＝lgx5是对数函数.( ) (2) 对数函数的图象都过定点 ( ) (3) 对数函数的图象都在 y 轴的右侧.( )
2. 函数 y＝lg2x 在区间 (0，2]上的最大值是( ) A.2 B.1 C.0 D. －1
解析：函数 y＝lg2x 在(0，2]上递增，故 x＝2时，y的值最大，最大值是1.
4. 若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝______.
解析：要使函数 f(x) 有意义，则 lg2x－1≥0， 解得x≥2，即函数 f(x) 的定义域为[2，＋∞).
解析：设函数 f(x)＝lgax (x＞0，a＞0且a≠1)，因为对数函数的图象过点M(9，2)，所以 2＝lga9，所以a2＝9，a＞0，解得a＝3.所以此对数函数的解析式为 y＝lg3x.
2. 函数 f(x) ＝ln(1－x) 的定义域是( ) A. (0，1) B. [0，1) C. (1，＋∞) D. (－∞，1)
解析：要使 f(x) 有意义，则1－x＞0， 所以 x＜1，所以 f(x) 的定义域为(－∞，1).
3. 如果函数 y＝lg2x 的图象经过点 A (4，y0)，那么 y0＝________.
解析：因为函数 y＝lg2x 的图象经过点 A(4，y0)， 所以 y0＝lg24，所以 2y0＝4＝22， 所以 y0＝2.
4. 设函数 f(x)＝lgax，则 f(a＋1) 与 f(2) 的大小关系是 _____________.
解析：当a＞1时，a＋1＞2，f(x)＝lgax 是增函数，则 f(a＋1)＞f(2)； 当0＜a＜1时，a＋1＜2，f(x)＝lgax 是减函数，则f(a＋1)＞f(2). 综上，f(a＋1)＞f(2).
f(a＋1)＞f(2)
5. 若lg0.1(1－a)＞lg0.1(2a－1)，则a的取值范围是 ___________.
(1) y＝lg2(5x＋2)；
解 根据题意可得 x－3＞0，解得 x＞3， 则函数的定义域为(3，＋∞).
(3) y＝ln(3x－1)；
3. 比较下列各组数中两个数的大小：
(1) lg57.8，lg57.9；
解 ∵ y＝lg5x是(0，＋∞)上的单调递增函数， 且0＜7.8＜7.9. ∴ lg57.8 ＜ lg57.9.
(2) lg0.33，lg0.32；
解 ∵y＝lg0.3x是(0，＋∞)上的单调递增函数， 且0＜2＜3. ∴ lg0.33 ＜ lg0.32.
(3) ln0.32，lg2；
解 ∵ y＝lnx 是 (0，＋∞) 上的单调递增函数， 且0＜0.32＜1， ∴ ln0.32＜ln1＝0， ∵ y＝lgx 是 (0，＋∞) 上的单调递增函数， 且0＜1＜2， ∴lg2＞lg1＝0， ∴ln 0.32＜lg2.
(4) lg55，lg58.
解 ∵y＝lg6x 是(0，＋∞)上的单调递增函数， 且0＜5＜6， ∴lg65＜lg66＝1. ∵y＝lg7x 是(0，＋∞)上的单调递增函数， 且0＜7＜8， ∴lg78＞lg77＝1， ∴ lg65＜lg78.
4. 证明：函数 y＝lg0.5(3x－2)在定义域上是减函数.
(1) 33x＋5＝ 27；
(2) 22x ＝ 12；
(3) 31－x－2＝0.
6. 画出函数 y＝lg2(x＋1)与 y＝lg2(x－1)的图象，并指 出这两个函数图象之间的关系.
解 画出函数 y＝lg2(x＋1) 与 y＝lg2(x－1) 的图象，如图所示：
从图象发现将 y＝lg2(x＋1) 图象向右平移2个单位得 y＝ lg2(x－1)的图象
7. 比较 lg25与lg58 的大小.
解 构造函数 y＝lg2x，x∈(0，＋∞)， ∵ y＝lg2x 在(0，＋∞) 上单调递增，且 5＞4， ∴ lg25 ＞ 1g24 ＝ 2， 构造函数 y＝lg5x，x∈(0，＋∞)， ∵y＝lg5x 在(0，＋∞) 上单调递增，且5＜8＜25， ∴1＝lg55 ＜ lg58＜ lg25＝2. ∴lg25＞1g58.
8. 设a与b为实数，a＞0，a≠1. 已知函数 y＝lga(x＋b) 的图象如图所示求a与b 的值.
9. 已知 f(x)＝lg3x，求证：
(1) f(x)＋f(y) ＝f(xy)；
证明：∵f(x)＝lg3x， ∴f(y)＝lg3y， ∴ f(xy)＝lg3(xy)＝lg3x＋lg3y＝f(x)＋f(y)， ∴f(x)＋f(y)＝f(xy). 综上所述，结论是： f(x)＋f(y)＝f(xy).
11. 设 a，b，c，d 均为不等于 1 的正实数，如图，已知 函数 y＝lgax，y＝lgbx，y＝lgcx，y＝lgdx 的图象 分别是曲线 C1，C2，C3，C4， 试判断 0，1，a，b，c，d 的大 小关系，并用“＜”连接起来.
解 当对数函数值为1时，底数与真数相等，这是对数的一条重要性质，将对数与指数结合更好理解，将对数 y＝lgax (a＞0且a≠1)变为指数形式，ay＝x (a＞0且a≠1)，当 y＝1 时，可得 a＝x；接下来作出y＝1的直线与其他对数图象的交点根据横坐标的先后顺序，即可得到a、b、c、d、1、0的大小关系.
作直线 y＝1 分别与 y＝lgax，y＝lgbx，y＝lgcx，y＝lgcx 的交点为 (a，1)，(b，1)，(c，1)，(d，1) . 结合图象知 0＜b＜a＜l＜d＜c.
(1) 21－x＝ 5；
解 原方程化为：21－x＝ 2lg25， ∴1－x＝lg25， ∴原方程的解为： x＝1－lg25；
(2) 2×5x＋1－9＝0.
13. 解下列不等式：
(1) 5x＋2＞2；
解 不等式 5x＋2＞2可化为 x＋2＞lg52， 解得 x＞－2＋1g52， ∴不等式的解集为{ x∣x＞－2＋lg52}；
(2) 33－x＜6；
解 不等式 33－x＜6 可化为 3－x＜1g36， 解得 x＞3－1g36， ∴不等式的解集为{x∣x＞3－lg36}.
(3) lg3(x＋2)＞3；
(4) lg(x－1) ＜1.
解 不等式 lg3(x＋2)＞3 可化为 x＋2＞33，解得 x＞25， ∴ 不等式的解集为{x∣x＞25}；
15. (探究题) 对于等式 ab＝c (a＞0，a≠1)，如果将a视为 自变量x，b视为常数，c为关于a (即x) 的函数，记为 y， 那么y ，是幂函数；如果将 a 视为常数，b 视为自变 量x，c 为关于b (即x) 的函数，记为y，那么y＝ax，是 指数函数；如果将 a 视为常数，c 视为自变量x，为关 于c (即x) 的函数，记为y，那么y＝lgax，是对数函数. 事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.
例如，如果 c 为常数e (e 自然对数的底)，将 a 视为自变量x (x＞0，x≠1)，则b为x的函数，记为 y，那么xy＝e. (1) 试将y表示成x的函数 f(x)； (2) 研究函数 f(x)的性质. 你还能运用这个等式得到什么样的函数?这些函数分别具有哪些性质?
钢琴是一种用琴槌击弦而振动发声的键盘乐器，最早的钢琴是意大利佛罗伦萨梅迪奇宫廷的乐师克里斯托弗里(1655-1731)于1711年制造的，钢琴的意大利文为 pian frte，由 pian(弱)和 frte(强)两字组合而成.钢琴在音量上可以奏出极大的层次变化，它的音域极为宽广，最多可以有 7 个八度并包括所有的半音. 它可演奏和弦与复调音乐，手法极为丰富.因此，钢琴有“乐器之王”的称号.
但是，你曾留心过三角钢琴的轮廓有一段奇妙的“曲线”吗?三角钢琴的轮廓上部为什么要制成这样形状的曲线?为了解释这一现象，我们应学会观察、调查和研究.
首先，从左往右逐个试弹所有琴键(包括所有白键和黑键)，我们听到琴声逐渐由低到高，这是因为琴声的高低与琴弦振动的频率有关，而琴弦振动的频率又与琴弦的长度有关，粗略地说，琴弦长则振动慢，频率小，故发出的声音低；琴弦短，则振动快，频率大，故发出的声音高.
如图 1，在 88 键钢琴中，音域宽度自大字二组的 A2 至小字五组的 c5. 根据“十二平均律”的法则，任何两个相邻的键所发出的音相差半音阶(100 音分)，它们的振动频率之比是一个常数 Q. 设最低的第一个音 A2 的频率是a，则第二个音#A2，的频率是 aQ，第三个音 B2的频率是aQ2······另外，音高每提高八度(如 A2到 A1)，频率增大为原来的2倍，
而八度音域内包含 12 个半音(连续的 7个白键和 5个黑键)，所以，第十三个音(A1)的频率是第一个音(A2)的频率的2倍.故
aQ12 ＝ 2a，即 Q12＝2.
设左边第一根弦的长度为 l ，则第二根弦的长度为 lg，第三根弦的长度为 lq2······如图 2，取第一根弦所在直线为 y 轴，各弦靠近键盘的端点所在直线为 x 轴建立坐标系,相邻两弦间的距离为长度单位这时，将弦的另一端点(上部) 连成光滑曲线，那么曲线上任意点的坐标 (x，y)都满足函数关系 y＝lgx.
若令 c＝lgql，则 y＝lqx 可化为 y＝qx＋c.
生活中到处都有数学，我们要学会用数学的眼光观察世界，用数学这一强大工具发现自然界的奥秘. 只要我们深入调查研究. 就能发现许多问题是可以利用数学知识加以解决的. 例如，中小学学生身高与课桌椅高度的关系.
许多学校的课桌椅高度都是一样的. 无疑，高度一样的课桌椅不仅制作方便，而且摆放起来整齐、美观.
但是，同一高度的课桌椅不能完全适合身高不同的学生，从而给他们的身体发育带来不良影响. 因此，中小学学生的身高与课桌椅高度的关系就值得研究.
通过实地调查，研究你所在学校的学生身高与课桌椅高度的关系.
《怎样解题》是由美国数学家和数学教育家 G.波利亚所写的一部畅销书，“怎样解题表”是该书的精华. 波利亚将解题过程分成了四个步骤，解题时按这四个步骤去尝试，有利于学会解题，提升分析问题与解决问题的能力.
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