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高中数学苏教版 (2019)必修 第一册8.1 二分法与求方程近似解教学课件ppt
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册8.1 二分法与求方程近似解教学课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了11函数的零点，习题81等内容，欢迎下载使用。
8 . 1 二分法与求方程近似解
函数是研究事物变化过程的数学模型，而方程刻画的则是相等关系成立的某种状态.我们可以从事物变化过程中考察某个状态，也可以通过对若干状态的考察来认识变化的过程，这样就产生了函数与方程的思想. 本节将着重研究函数与方程的关系.
● 函数与方程有什么关系?● 如何运用函数的知识研究方程的解?
前面我们学习过，使二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c ∈R，a≠0) 的值为0的实数 x 称为二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点.因此，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点就是关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的实数解，也是二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交点的横坐标.
一般地，我们把使函数 y＝f(x) 的值为0的_______称为函数 y＝f(x) 的零点.
零点、图象与x轴的交点、方程实数解的关系：
函数 y＝f(x) 的零点就是方程 f(x)＝0 的实数解从图象上看，函数 y＝f(x) 的零点，就是它的图象与轴交点的横坐标.
(2) 本质： 方程 f(x)＝0 的根、函数 y＝f(x) 的图象与 x 轴的公共点的横坐标.(3) 应用： 利用零点、图象与 x 轴的交点、方程实数解的关系，实现三种问题的相互转化.
提示：不是，是使 f(x)＝0 的实数x，是方程 f(x)＝0 的根.
对于函数 f(x)＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点这个问题，可以通过解方程或观察函数图象的方法来解决，我们还可以进行下面的思考：
如图，因为 f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，而二次函数 f(x)＝x2－2x－1 在区间[2，3] 上的图象是不间断的，这表明此函数图象在区间(2，3)上一定穿过 x 轴，即函数在区间(2，3)上存在零点.
二、函数零点范围的判定
(1)条件：函数 y＝f(x) 在区间 [a，b] 上的图象是一条不 间断的曲线，且有_____________；(2) 结论：函数 y＝f(x) 在区间 (a，b) 上有零点.(3) 本质：利用函数的性质判断零点的存在性.(4) 应用：判断零点的存在性、求参数的范围等.
函数 y＝f(x) 在区间 (a，b) 上有零点，是不是一定有f(a)f(b)＜0？
提示：不一定，如f(x)＝x2 在区间(－1，1) 上有零点0，但是 f(－1)f(1) ＝1×1＝1＞0.
证明：函数 f(x)＝x3＋x2＋1 在区间(－2，－1)上存在零点.
解：因为f(－2)＝(－2)3＋(－2)2＋1＝－3＜0，f(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1＞0. 且函数 f(x)在区间[－2，－1]上的图象是不间断的，所以函数 f(x)在区间(－2，－1)上存在零点.
求证：函数 f(x)＝2x＋2x－3 有零点.
解： 因为f(0)＝20＋2×0－3＝－2＜0，f(1)＝21＋2×1－3＝1＞0， 且函数 f(x) 在区间[0，1] 上的图象是不间断的，所以函数 f(x)＝2x＋2x－3在区间(0，1)上有零点，从而函数 f(x) ＝2x＋2x－3 有零点.
如果 x0 是二次函数 y＝f(x) 的零点，且 m＜x0＜n，那么f(m)f(n)＜0一定成立吗?
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1)函数 y＝f(x) 在区间 [a，b] 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)＜0，则函数在区间(a，b)内有唯一的零点. ( ) (2) 若函数y＝f(x)在区间(a，b)上f(a)·f(b)＞0，则在区间(a，b)内一定没有零点.( ) (3) 函数 f(x) ＝x2－x＋1有零点. ( )
2. 已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的，且其中的四组对应值如表，那么在下列区间中，函数f(x)不一定存在零点的是( ) A.(1，2)B.[1，3]C.[2，5)D.(3，5)
解析：由题表可知，f(1)＝3，f(2)＝－1，f(3)＝2，f(5)＝0.由f(1)•f(2)＜0，可知函数f(x)在(1，2)上一定有零点；则函数 f(x) 在 [1，3] 上一定有零点；由f(2)•f(3) ＜0，可知函数f(x)在(2，3)上一定有零点，则函数f(x)在[2，5)上一定有零点；由f(3)＞0，f(5)＝0，可知f(x)在(3，5)上不一定有零点.所以函数f(x)不一定存在零点的区间是(3，5).
3. 函数 f(x)＝lnx－6 的零点是________.
解析：令 f(x) ＝ln x－6＝0，则 ln x＝6，解得 x＝e6.
1. 函数 f(x)＝lg2(2x＋1) 的零点是( ) A.1 B.0 C.(0，0) D.(1，1)
解析：令 lg2(2x＋1)＝ 0，解得 x＝0.
4. 函数 y＝x2－bx＋1有一个零点，则b＝________.
解析：因为函数有一个零点，所以 Δ＝b2－4＝0， 所以 b＝±2.
5. 已知函数 f(x)＝|x2－5|－2，则函数F(x)＝xf(x) －1的零 点的个数为________.
练 习
1. 画出函数y＝x2＋x－2的图象，并指出函数y＝x2＋x－2 的零点.
2. 求下列函数的零点：
(1) y＝2x＋3；
(2) y＝x2＋4x；
解 由 y＝0 得 x2＋4x＝0，解得 x＝0或 x＝－4， 所以函数的零点是0或－4.
解 由 y＝0 得 3x－9＝0，解得 x＝2， 所以函数的零点是 2.
(3) y＝3x－9；
3. 已知数 f(x)＝3x－x2，那么方程 f(x)＝0 在区间[－1，0] 上有实数解吗?为什么?
4. 证明：(1)函数 f(x) ＝x2＋6x＋4 有两个不同的零点；
证明：方程 x2＋6x＋4＝0的判别式∆＝62－4×4 ＝20＞0， ∴方程 f(x)＝0 有两个不同的实数解， ∴ 函数 f(x)＝x2＋6x＋4 有两个不同的零点.
(2) 函数 f(x)＝x3＋3x－1 在区间(0，1)上有零点.
证明：∵ f(0)＝03＋3×0－1＝－1＜0， f(1)＝13＋3×1－1＝3＞0， 且函数f(x)在区间[0，1] 上的图象是不间断的， ∴ f(x) 在区间 (0，1) 上有零点.
5. 函数 f(x)＝4x3＋x－15 在区间 [1，2] 上是否存在零点? 为什么?
解 函数 f(x)＝4x3＋x－15在区间[1，2]上存在零点， ∵ f(1)＝－10＜0，f(2)＝19＞0. ∴ f(1)f(2)＜0 又∵函数 f(x)＝4x3＋x－15的图象在区间[1，2]上是一条连续不断的曲线 ∴函数 f(x)＝4x3＋x－15在区间[1，2] 上存在零点.
6. 求证：函数 f(x)＝2x＋x 在 R 上有零点.
8.1.2用二分法求方程的近似解
对于方程 lg x＝3－x，要求出这个方程的解是较为困难的.我们能否求出这个方程的近似解呢?
让我们先从熟悉的一元二次方程开始研究.
例如，求方程 x2－2x－1＝0 的实数解就是求函数 f(x) ＝x2－2x－1 的零点. 根据图8-1-2，我们发现 f(2)＜0，f(3)＞0.
这表明此函数图象在区间 (2，3) 上有零点，即方程 f(x)＝0 在区间(2，3)上有实数解. 又因为在区间(2，3)上函数 f(x) 单调递增，所以方程 x2－2x－1＝0 在区间(2，3)上有唯一实数解 x1.
你能把此方程的一个根 x1 限制在更小的区间内吗?
下面我们利用计算工具来求方程 x2－2x－1＝0 的一个近似解(精确到 0.1). 设 f(x)＝x2－2x－1，先画出函数的图象.
▲ 图中负号“－”表示此点所对应的函数值为负，正号“＋”表示此点所对应的函数值为正，下同.
因为 f(2) ＝－1＜0，f(3)＝2＞0，所以在区间(2，3)上，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x1. 取2与3的平均数2.5.因为f(2.5)＝0.25＞0，所以2＜x＜2.5. 再取2与2.5的平均数2.25.因为 f(2.25) ＝－0.43750，所以2.25＜ x1＜2.5.
f(2)＜0，f(3)＞0 ⇒ x1∈(2，3)，f(2)＜0，f(2.5)＞0 ⇒ x1∈(2，2.5)，f(2.25)＜0，f(2.5)＞0 ⇒ x1∈(2.25，2.5)，f(2.375)＜0，f(2.5)＞0 ⇒ x1∈(2.375，2.5)，f(2.375)＜0，f(2.437 5)＞0 ⇒ x1∈(2.375，2.437 5).
因为 2.375 与 2.437 5 精确到 0.1的近似值都为 2.4，所以此方程的近似解为x1≈2.4.
利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.
像上面这种求方程近似解的方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法.
运用二分法的前提是要先判断某解所在的区间.
利用计算器，求方程 lg x＝3－x 的近似解(精确到 0.1).
分析 求方程 lg x＝3－x 的解可以转化为求函数 f(x)＝lg x＋x－3 的零点，故可以利用二分法求出题中方程的近似解.
解 分别画出函数 y＝lg x 和 y＝3－x 的图象，如图所示.
在两个函数图象的交点处，函数值相等. 因此，这个点的横坐标就是方程 lgx＝3－x 的解由函数 y＝lgx 与 y＝3－x 的图象可以发现，方程 lg x＝3－x 有唯一解，记为x1，并这个解在区间 (2，3) 内.
设 f(x)＝lgx＋x－3，用计算器计算，得
f(2)＜0，f(3)＞0 ⇒ x1∈(2，3)，f(2.5)＜0，f(3)＞0 ⇒ x1∈(2.5，3)，f(2.5)＜0，f(2.75)＞0 ⇒ x1∈(2.5，2.75)，f(2.5)<0，f(2.625)＞0 ⇒ x1∈(2.5，2.625),f(2.562 5)＜0，f(2.625)＞0 ⇒ x1∈(2.562 5，2.625).
因为 2.5625与2.625 精确到0.1的近似值都为 2.6，以原方程的近似解为x1≈2.6.
利用计算器，求方程 sin x＝1－x 的近似解 (精确到 0.1)
解：因为方程 sin x＝1－x 可化为 x＋sinx－1＝0，所以原方程的解即函数 f(x)＝x＋sinx－1的零点. 先画出函数 y＝sinx与函数 y＝1－x 的图象，如图 8-1-4 所示.
观察图象，因为f(0)＝－1＜0，f(1)＝sin1＞0，所以函数 f(x)的零点在区间 (0，1) 内，记为 x0.
取0和1的平均数 0.5，因为f(0.5)＝sin0.5－0.5＝－0.020 57＜0，所以动 x0∈ (0.5，1). 取 0.5和1的平均数 0.75，因为f(0.75)－sin0.75－0.25＝0.43164＞0，所以 x0∈(0.5，0.75).
取0.5和0.75的平均数 0.625，因为f(0.625)＝sin0.625－0.375＝0.210 10＞0，所以 x0∈(0.5，0.625). 取0.5和0.625的平均数 0.562 5，因为f(0.562 5)＝sin0.562 5－0.437 5＝0.095 80＞0，所以 x0∈ (0.5，0.562 5).
取0.5和0.5625的平均数0.53125，因为f(0.531 25) ＝sin0.531 25－0.68 75＝0.037 86＞0，所以 x0∈(0.5，0.531 25).
因为0.5和0.531 25 精确到 0.1的近似数都是0.5，所以区间(0.5，0.531 25)内的所有数精确到 0.1的近似数都是 0.5，从而 x0≈0.5. 因此，方程 sinx＝1－x 的近似解(精确到 0.1)为0.5.
用二分法求方程的一个近似解的操作流程是：
在以上操作过程中，如果存在 c，使得 f(x)＝0，那么 c 就是方程 f(x)＝0 的一个精确解.
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) 任何函数的零点都可以用二分法求得.( ) (2)用二分法求出的函数零点就是精确值.( )
2. 下列图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
解析：只有A中图象与x轴交点两侧的函数值不变号，都是正值，因此不能用二分法.
3. 若函数 f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
则方程 x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为________.
解析 因为f(1)f(1.5)＜0，所以x0∈(1，1.5)； 因为 f(1.437 5)≈0.162＞0， 又 f(1.375)≈－0.260＜0， 所以 x0∈(1.375，1.437 5)， 因为1.375与1.437 5精确到0.1的近似值都是1.4， 所以原方程的近似解为x≈1.4.
2. 用二分法求函数 f(x)＝3x－x－4 的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得方程 3x－x－4＝0 的一个近似解 (精确到0.01)为________.
解析 f(1.562 5)≈0.003＞0，f(1.556 2)≈－0.029＜0， 方程3x－x－4＝0 的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上， 所以精确到0.01的近似解为 x≈1.56.
3. 用二分法求方程 x3－2x－5＝0 在区间[2，3]内的实根， 取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间为_______.
解析：因为 f(2)＜0，f(2.5)＞0，f(3)＞0， 所以 f(2)f(2.5)＜0，f(2.5)f(3) ＞0. 所以下一个有根区间应为 (2，2.5).
1. 利用计算器，求方程 x3＋3x －1＝0 在区间(0，1)上的 近似解 (精确到0.1).
因为 f(0.31)＝0.313＋3×－1＞－0.04＜0，所以 f(0.31)·f(0.375)＜0，因为 ∣0.31－0.375∣＝0.065＜0.1，又因为函数 f(x) 在区间 (0.31，0.375) 上连续，所以方程x3＋3x－1＝0在区间 (0，1) 上的近似解为0.3.
2. 利用计算器，求方程lgx＝1－2x的近似解 (精确到0.1).
3. 用自己的语言叙述用二分法求方程近似解的基本步骤.
4. 用两种方法解方程 2x2＝3x－1.
5. 利用计算器，求方程 x3＝2x＋1 的近似解(精确到0.1).
因为－0.625≈－0.6，－0.5625≈－0.6，所以取x2＝－0.6
因为1.5625 ≈ 1.6，所以取x3 ≈ 1.6.综上，方程x3＝2x＋1的近似解是 x1＝1.0，x2≈－0.6，x3≈1.6.
6. 利用计算器，求方程 x－csx＝0 的近似解(精确到0.1).
解：设 f(x)＝x－csx，方程的解为x0，用计算器计算得 f(0)＜0，f(1)＞0 ⇒ x0 ∈(0，1)， f(0.5)＜0，f(1)＞0 ⇒ x0 ∈(0.5，1)， f(0.5)＜0，f(0.75)＞0 ⇒ x0∈( 0.5，0.75 )， f(0.625)＜0，f(0.75)＞0 ⇒ x0∈(0.625，0.75)， f(0.6875)＜0，f(0.75)＞0 ⇒ x0∈(0.6875，0.75)，
f(0.71875)＜0，f(0.75)＞0 ⇒ x0∈(0.71875 ，0.75)，f(0.734 375)＜0，f(0.75)＞0 ⇒ x0∈(0.734 375，0.75 )，f(0.734 375)＜0，f(0.742 187 5)＞0 ⇒ x0∈(0.734 375，0.742 187 5)∵ 0.734375和0.742 1875 精确到0.1 的近似值都是 0.7，∴x≈0.7.
1. 说明下列函数在给定的区间上存在零点：
(1) f(x)＝ lgx＋2x－5，(1，3)；
(2) f(x)＝ 2x＋x2－7，(1，2)；
(3) f(x)＝ x3＋x－1，(0，1)；
(4) f(x)＝ 2x＋sinx－l，(0，π).
2. 求证：方程 x2＋x＋1＝0 没有实数根.
3. 设m为实数若函数 y＝mx2－6x＋2 的图象与x轴只有1个 公共点，求m的值.
4. 设 k 为实数，若方程 4(x2－3x) ＋k－3＝0没有实数根， 求的取值范围.
5. 求证：方程 5x2＋7x－1＝0 的根一个在区间(－2，－1) 内，另一个在区间(0，1)内.
证明：设 f(x)＝5x2＋7x－1，则二次函数f(x)是定义域R上的连续函数， 计算 f(－2)· f(－1)＝(20－14－1) ×(5－7－1)＜0， 所以 f(x) 的一个零点在区间(－2，1)内，
计算 f(0)·f(1)＝(0＋0－1) ×(5＋7－1) ＜0， 所以f(x)的一个零点在区间 (0，1)内； 所以方程 5x2＋7x－1＝0的根一个在区间(－2，－1)内，另一个在区间(0，1)内.
6. 利用计算器，求方程 x2－2x－2＝0 的近似解 (精确到0.1).
解 由条件x2－2x－2＝0 两个根设为 x1，x2， 则x1＋x2＝2， 设函数为f(x)＝x2－2x－2，设函数的零点为x0， 因为 f(0)＝－2＜0，f(－1)＝1＞0， 则 x0∈(－1，0) ，
取(－1，0)的中间值－0.5，所以f(－0.5) ＝－0.75＜0，则f(－0.5)f(－1)＜0，则 x0∈(－1，－0.5)，取 (－1，－0.5)中间值－0.75，计算得 f(－0.75)＝0.0625＞0，所以 f(－0.75)f(－0.5)＜0，则 x0∈(－0.75， －0.5)，取(－0.75， －0.5)中间值－0.625，计算得 f(－0.625)＝－0.3594＜0，所以 f(－0.75)f(－0.625)＜0，则x0∈(－0.75，－0.625)，
取(－0.75，－0.625)中间值－0.6875，计算得 f(－0.6875) ＝－0.1523＜0，所以 f(－0.75)f(－0.6875)＜0，则x0∈(－0.75，－0.6875)，因为∣－0.75－(－0.6875)∣＝0.0625＜0.1，则方程 x2－2x－2＝0的近似解为x1≈－0.7，同理可得方程另一个近似解为x2≈2.7，则方程两个近似解为－0.7和2.7.
7. 用多种方法解方程 x2＝3x＋10.
解法1：方程 x2＝3x＋10可化为 x2－3x－10＝0， 即 (x＋2)(x－5) ＝0， ∴x1＝－2，x2＝5.
解法2：方程 x2＝3x＋10 可化为 x2－3x－10＝0， ∴∆＝b2－4ac＝ (－3)2－4×1× (－10) ＝9＋40＝49，
8. 设 m 为实数，若方程 7x2－(m＋13)x－m－2＝0 的一 个根在区间 (0，1) 内，另一个根在区间 (1，2) 内， 求 m 的取值范围.
解 设 f(x)＝7x2－(m＋13)x－m－2， ∵方程 7x2－(m＋13)x－ m－2＝0的一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，
解得－4＜m＜－2，∴ m的取值范围是(－4，－2).
9. 设 k 为实数，若函数 f(x)＝x2－2x＋k 在区间[－1，0] 上有零点，求 k 的取值范围.
解 f(x)＝0等价于k＝2x－x2 ， 构造函数 g(x)＝2x－x2 ，x∈[－1，0]， 故只需要k的范围是函数g(x)的值域， 即原函数 f(x) 在区间 [－1，0] 上有零点， g′(x) ＝ 2xln2－2x，g′′(x) ＝ 2x(ln2)2－2，
10. 设 a 为实数，函数 f(x)＝x2－ax－1，且函数 f(x) 在区 间 [－1，2] 上有唯的零点，求 a 的取值范围.
解 ∵ ∆＝(－a)2－4×(－1) ＝a2＋4＞0， ∴ 方程f(a)＝0有两个不等实根.
①当 f(－1)＝0时，1＋a－1＝a＝0. 此时f(a)＝x2－1. 令 f(x)＝0，解得 x＝－1或 x＝1， 此时 f(x) 在区间[－1，2] 上有两个零点，不合题意，舍掉.
11. 利用计算器，求下列方程的近似解 (精确到 0.1)：
(1) lg(2x) ＝－x＋1；
(2) 3x ＝x＋4；
(3) 2x－csx －1＝0.
解 设函数 f(x)＝lg(2x)＋x－1， 则 f(0.7)＝lg1.4＋0.7－1≈－0.15＜0， f(0.75)＝lg1.5＋0.75－1≈－0.07＜0， f(0.8)＝lg1.6＋0.8－1≈0.004＞0， 所以f(x)＝lg(2x)＋x－1＝0， 即方程 lg(2x)＝－x＋1的解约为0.8.
解 设函数 f(x)＝3x－x－4， 则f(－4.0)＝3－4.0 ＋4.0－4≈0.012＞0， f(－3.95)＝3－3.95＋3.95－4≈－0.037＜0， f(1.55)＝31.55－1.55－4≈－0.060＜0， f(1.60)＝31.60 －1.60－4≈0.20＞0， 所以 f(x)＝3x－x－4＝0，即方程 3x＝x＋4的两个解约为－4.0和1.6.
解 设函数 f(x) ＝2x－cs x －1， 则f(0.8) ＝1.6－cs0.8－1≈－0.10＜0， f(0.85) ＝1.7－cs0.85－1≈0.04＞0， 所以方程 2x－csx－1＝0 的解约为0.8.
8 . 1 二分法与求方程近似解
函数是研究事物变化过程的数学模型，而方程刻画的则是相等关系成立的某种状态.我们可以从事物变化过程中考察某个状态，也可以通过对若干状态的考察来认识变化的过程，这样就产生了函数与方程的思想. 本节将着重研究函数与方程的关系.
● 函数与方程有什么关系?● 如何运用函数的知识研究方程的解?
前面我们学习过，使二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c ∈R，a≠0) 的值为0的实数 x 称为二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点.因此，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点就是关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的实数解，也是二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交点的横坐标.
一般地，我们把使函数 y＝f(x) 的值为0的_______称为函数 y＝f(x) 的零点.
零点、图象与x轴的交点、方程实数解的关系：
函数 y＝f(x) 的零点就是方程 f(x)＝0 的实数解从图象上看，函数 y＝f(x) 的零点，就是它的图象与轴交点的横坐标.
(2) 本质： 方程 f(x)＝0 的根、函数 y＝f(x) 的图象与 x 轴的公共点的横坐标.(3) 应用： 利用零点、图象与 x 轴的交点、方程实数解的关系，实现三种问题的相互转化.
提示：不是，是使 f(x)＝0 的实数x，是方程 f(x)＝0 的根.
对于函数 f(x)＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点这个问题，可以通过解方程或观察函数图象的方法来解决，我们还可以进行下面的思考：
如图，因为 f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，而二次函数 f(x)＝x2－2x－1 在区间[2，3] 上的图象是不间断的，这表明此函数图象在区间(2，3)上一定穿过 x 轴，即函数在区间(2，3)上存在零点.
二、函数零点范围的判定
(1)条件：函数 y＝f(x) 在区间 [a，b] 上的图象是一条不 间断的曲线，且有_____________；(2) 结论：函数 y＝f(x) 在区间 (a，b) 上有零点.(3) 本质：利用函数的性质判断零点的存在性.(4) 应用：判断零点的存在性、求参数的范围等.
函数 y＝f(x) 在区间 (a，b) 上有零点，是不是一定有f(a)f(b)＜0？
提示：不一定，如f(x)＝x2 在区间(－1，1) 上有零点0，但是 f(－1)f(1) ＝1×1＝1＞0.
证明：函数 f(x)＝x3＋x2＋1 在区间(－2，－1)上存在零点.
解：因为f(－2)＝(－2)3＋(－2)2＋1＝－3＜0，f(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1＞0. 且函数 f(x)在区间[－2，－1]上的图象是不间断的，所以函数 f(x)在区间(－2，－1)上存在零点.
求证：函数 f(x)＝2x＋2x－3 有零点.
解： 因为f(0)＝20＋2×0－3＝－2＜0，f(1)＝21＋2×1－3＝1＞0， 且函数 f(x) 在区间[0，1] 上的图象是不间断的，所以函数 f(x)＝2x＋2x－3在区间(0，1)上有零点，从而函数 f(x) ＝2x＋2x－3 有零点.
如果 x0 是二次函数 y＝f(x) 的零点，且 m＜x0＜n，那么f(m)f(n)＜0一定成立吗?
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1)函数 y＝f(x) 在区间 [a，b] 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)＜0，则函数在区间(a，b)内有唯一的零点. ( ) (2) 若函数y＝f(x)在区间(a，b)上f(a)·f(b)＞0，则在区间(a，b)内一定没有零点.( ) (3) 函数 f(x) ＝x2－x＋1有零点. ( )
2. 已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的，且其中的四组对应值如表，那么在下列区间中，函数f(x)不一定存在零点的是( ) A.(1，2)B.[1，3]C.[2，5)D.(3，5)
解析：由题表可知，f(1)＝3，f(2)＝－1，f(3)＝2，f(5)＝0.由f(1)•f(2)＜0，可知函数f(x)在(1，2)上一定有零点；则函数 f(x) 在 [1，3] 上一定有零点；由f(2)•f(3) ＜0，可知函数f(x)在(2，3)上一定有零点，则函数f(x)在[2，5)上一定有零点；由f(3)＞0，f(5)＝0，可知f(x)在(3，5)上不一定有零点.所以函数f(x)不一定存在零点的区间是(3，5).
3. 函数 f(x)＝lnx－6 的零点是________.
解析：令 f(x) ＝ln x－6＝0，则 ln x＝6，解得 x＝e6.
1. 函数 f(x)＝lg2(2x＋1) 的零点是( ) A.1 B.0 C.(0，0) D.(1，1)
解析：令 lg2(2x＋1)＝ 0，解得 x＝0.
4. 函数 y＝x2－bx＋1有一个零点，则b＝________.
解析：因为函数有一个零点，所以 Δ＝b2－4＝0， 所以 b＝±2.
5. 已知函数 f(x)＝|x2－5|－2，则函数F(x)＝xf(x) －1的零 点的个数为________.
练 习
1. 画出函数y＝x2＋x－2的图象，并指出函数y＝x2＋x－2 的零点.
2. 求下列函数的零点：
(1) y＝2x＋3；
(2) y＝x2＋4x；
解 由 y＝0 得 x2＋4x＝0，解得 x＝0或 x＝－4， 所以函数的零点是0或－4.
解 由 y＝0 得 3x－9＝0，解得 x＝2， 所以函数的零点是 2.
(3) y＝3x－9；
3. 已知数 f(x)＝3x－x2，那么方程 f(x)＝0 在区间[－1，0] 上有实数解吗?为什么?
4. 证明：(1)函数 f(x) ＝x2＋6x＋4 有两个不同的零点；
证明：方程 x2＋6x＋4＝0的判别式∆＝62－4×4 ＝20＞0， ∴方程 f(x)＝0 有两个不同的实数解， ∴ 函数 f(x)＝x2＋6x＋4 有两个不同的零点.
(2) 函数 f(x)＝x3＋3x－1 在区间(0，1)上有零点.
证明：∵ f(0)＝03＋3×0－1＝－1＜0， f(1)＝13＋3×1－1＝3＞0， 且函数f(x)在区间[0，1] 上的图象是不间断的， ∴ f(x) 在区间 (0，1) 上有零点.
5. 函数 f(x)＝4x3＋x－15 在区间 [1，2] 上是否存在零点? 为什么?
解 函数 f(x)＝4x3＋x－15在区间[1，2]上存在零点， ∵ f(1)＝－10＜0，f(2)＝19＞0. ∴ f(1)f(2)＜0 又∵函数 f(x)＝4x3＋x－15的图象在区间[1，2]上是一条连续不断的曲线 ∴函数 f(x)＝4x3＋x－15在区间[1，2] 上存在零点.
6. 求证：函数 f(x)＝2x＋x 在 R 上有零点.
8.1.2用二分法求方程的近似解
对于方程 lg x＝3－x，要求出这个方程的解是较为困难的.我们能否求出这个方程的近似解呢?
让我们先从熟悉的一元二次方程开始研究.
例如，求方程 x2－2x－1＝0 的实数解就是求函数 f(x) ＝x2－2x－1 的零点. 根据图8-1-2，我们发现 f(2)＜0，f(3)＞0.
这表明此函数图象在区间 (2，3) 上有零点，即方程 f(x)＝0 在区间(2，3)上有实数解. 又因为在区间(2，3)上函数 f(x) 单调递增，所以方程 x2－2x－1＝0 在区间(2，3)上有唯一实数解 x1.
你能把此方程的一个根 x1 限制在更小的区间内吗?
下面我们利用计算工具来求方程 x2－2x－1＝0 的一个近似解(精确到 0.1). 设 f(x)＝x2－2x－1，先画出函数的图象.
▲ 图中负号“－”表示此点所对应的函数值为负，正号“＋”表示此点所对应的函数值为正，下同.
因为 f(2) ＝－1＜0，f(3)＝2＞0，所以在区间(2，3)上，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x1. 取2与3的平均数2.5.因为f(2.5)＝0.25＞0，所以2＜x＜2.5. 再取2与2.5的平均数2.25.因为 f(2.25) ＝－0.43750，所以2.25＜ x1＜2.5.
f(2)＜0，f(3)＞0 ⇒ x1∈(2，3)，f(2)＜0，f(2.5)＞0 ⇒ x1∈(2，2.5)，f(2.25)＜0，f(2.5)＞0 ⇒ x1∈(2.25，2.5)，f(2.375)＜0，f(2.5)＞0 ⇒ x1∈(2.375，2.5)，f(2.375)＜0，f(2.437 5)＞0 ⇒ x1∈(2.375，2.437 5).
因为 2.375 与 2.437 5 精确到 0.1的近似值都为 2.4，所以此方程的近似解为x1≈2.4.
利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.
像上面这种求方程近似解的方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法.
运用二分法的前提是要先判断某解所在的区间.
利用计算器，求方程 lg x＝3－x 的近似解(精确到 0.1).
分析 求方程 lg x＝3－x 的解可以转化为求函数 f(x)＝lg x＋x－3 的零点，故可以利用二分法求出题中方程的近似解.
解 分别画出函数 y＝lg x 和 y＝3－x 的图象，如图所示.
在两个函数图象的交点处，函数值相等. 因此，这个点的横坐标就是方程 lgx＝3－x 的解由函数 y＝lgx 与 y＝3－x 的图象可以发现，方程 lg x＝3－x 有唯一解，记为x1，并这个解在区间 (2，3) 内.
设 f(x)＝lgx＋x－3，用计算器计算，得
f(2)＜0，f(3)＞0 ⇒ x1∈(2，3)，f(2.5)＜0，f(3)＞0 ⇒ x1∈(2.5，3)，f(2.5)＜0，f(2.75)＞0 ⇒ x1∈(2.5，2.75)，f(2.5)<0，f(2.625)＞0 ⇒ x1∈(2.5，2.625),f(2.562 5)＜0，f(2.625)＞0 ⇒ x1∈(2.562 5，2.625).
因为 2.5625与2.625 精确到0.1的近似值都为 2.6，以原方程的近似解为x1≈2.6.
利用计算器，求方程 sin x＝1－x 的近似解 (精确到 0.1)
解：因为方程 sin x＝1－x 可化为 x＋sinx－1＝0，所以原方程的解即函数 f(x)＝x＋sinx－1的零点. 先画出函数 y＝sinx与函数 y＝1－x 的图象，如图 8-1-4 所示.
观察图象，因为f(0)＝－1＜0，f(1)＝sin1＞0，所以函数 f(x)的零点在区间 (0，1) 内，记为 x0.
取0和1的平均数 0.5，因为f(0.5)＝sin0.5－0.5＝－0.020 57＜0，所以动 x0∈ (0.5，1). 取 0.5和1的平均数 0.75，因为f(0.75)－sin0.75－0.25＝0.43164＞0，所以 x0∈(0.5，0.75).
取0.5和0.75的平均数 0.625，因为f(0.625)＝sin0.625－0.375＝0.210 10＞0，所以 x0∈(0.5，0.625). 取0.5和0.625的平均数 0.562 5，因为f(0.562 5)＝sin0.562 5－0.437 5＝0.095 80＞0，所以 x0∈ (0.5，0.562 5).
取0.5和0.5625的平均数0.53125，因为f(0.531 25) ＝sin0.531 25－0.68 75＝0.037 86＞0，所以 x0∈(0.5，0.531 25).
因为0.5和0.531 25 精确到 0.1的近似数都是0.5，所以区间(0.5，0.531 25)内的所有数精确到 0.1的近似数都是 0.5，从而 x0≈0.5. 因此，方程 sinx＝1－x 的近似解(精确到 0.1)为0.5.
用二分法求方程的一个近似解的操作流程是：
在以上操作过程中，如果存在 c，使得 f(x)＝0，那么 c 就是方程 f(x)＝0 的一个精确解.
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) 任何函数的零点都可以用二分法求得.( ) (2)用二分法求出的函数零点就是精确值.( )
2. 下列图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
解析：只有A中图象与x轴交点两侧的函数值不变号，都是正值，因此不能用二分法.
3. 若函数 f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
则方程 x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为________.
解析 因为f(1)f(1.5)＜0，所以x0∈(1，1.5)； 因为 f(1.437 5)≈0.162＞0， 又 f(1.375)≈－0.260＜0， 所以 x0∈(1.375，1.437 5)， 因为1.375与1.437 5精确到0.1的近似值都是1.4， 所以原方程的近似解为x≈1.4.
2. 用二分法求函数 f(x)＝3x－x－4 的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得方程 3x－x－4＝0 的一个近似解 (精确到0.01)为________.
解析 f(1.562 5)≈0.003＞0，f(1.556 2)≈－0.029＜0， 方程3x－x－4＝0 的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上， 所以精确到0.01的近似解为 x≈1.56.
3. 用二分法求方程 x3－2x－5＝0 在区间[2，3]内的实根， 取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间为_______.
解析：因为 f(2)＜0，f(2.5)＞0，f(3)＞0， 所以 f(2)f(2.5)＜0，f(2.5)f(3) ＞0. 所以下一个有根区间应为 (2，2.5).
1. 利用计算器，求方程 x3＋3x －1＝0 在区间(0，1)上的 近似解 (精确到0.1).
因为 f(0.31)＝0.313＋3×－1＞－0.04＜0，所以 f(0.31)·f(0.375)＜0，因为 ∣0.31－0.375∣＝0.065＜0.1，又因为函数 f(x) 在区间 (0.31，0.375) 上连续，所以方程x3＋3x－1＝0在区间 (0，1) 上的近似解为0.3.
2. 利用计算器，求方程lgx＝1－2x的近似解 (精确到0.1).
3. 用自己的语言叙述用二分法求方程近似解的基本步骤.
4. 用两种方法解方程 2x2＝3x－1.
5. 利用计算器，求方程 x3＝2x＋1 的近似解(精确到0.1).
因为－0.625≈－0.6，－0.5625≈－0.6，所以取x2＝－0.6
因为1.5625 ≈ 1.6，所以取x3 ≈ 1.6.综上，方程x3＝2x＋1的近似解是 x1＝1.0，x2≈－0.6，x3≈1.6.
6. 利用计算器，求方程 x－csx＝0 的近似解(精确到0.1).
解：设 f(x)＝x－csx，方程的解为x0，用计算器计算得 f(0)＜0，f(1)＞0 ⇒ x0 ∈(0，1)， f(0.5)＜0，f(1)＞0 ⇒ x0 ∈(0.5，1)， f(0.5)＜0，f(0.75)＞0 ⇒ x0∈( 0.5，0.75 )， f(0.625)＜0，f(0.75)＞0 ⇒ x0∈(0.625，0.75)， f(0.6875)＜0，f(0.75)＞0 ⇒ x0∈(0.6875，0.75)，
f(0.71875)＜0，f(0.75)＞0 ⇒ x0∈(0.71875 ，0.75)，f(0.734 375)＜0，f(0.75)＞0 ⇒ x0∈(0.734 375，0.75 )，f(0.734 375)＜0，f(0.742 187 5)＞0 ⇒ x0∈(0.734 375，0.742 187 5)∵ 0.734375和0.742 1875 精确到0.1 的近似值都是 0.7，∴x≈0.7.
1. 说明下列函数在给定的区间上存在零点：
(1) f(x)＝ lgx＋2x－5，(1，3)；
(2) f(x)＝ 2x＋x2－7，(1，2)；
(3) f(x)＝ x3＋x－1，(0，1)；
(4) f(x)＝ 2x＋sinx－l，(0，π).
2. 求证：方程 x2＋x＋1＝0 没有实数根.
3. 设m为实数若函数 y＝mx2－6x＋2 的图象与x轴只有1个 公共点，求m的值.
4. 设 k 为实数，若方程 4(x2－3x) ＋k－3＝0没有实数根， 求的取值范围.
5. 求证：方程 5x2＋7x－1＝0 的根一个在区间(－2，－1) 内，另一个在区间(0，1)内.
证明：设 f(x)＝5x2＋7x－1，则二次函数f(x)是定义域R上的连续函数， 计算 f(－2)· f(－1)＝(20－14－1) ×(5－7－1)＜0， 所以 f(x) 的一个零点在区间(－2，1)内，
计算 f(0)·f(1)＝(0＋0－1) ×(5＋7－1) ＜0， 所以f(x)的一个零点在区间 (0，1)内； 所以方程 5x2＋7x－1＝0的根一个在区间(－2，－1)内，另一个在区间(0，1)内.
6. 利用计算器，求方程 x2－2x－2＝0 的近似解 (精确到0.1).
解 由条件x2－2x－2＝0 两个根设为 x1，x2， 则x1＋x2＝2， 设函数为f(x)＝x2－2x－2，设函数的零点为x0， 因为 f(0)＝－2＜0，f(－1)＝1＞0， 则 x0∈(－1，0) ，
取(－1，0)的中间值－0.5，所以f(－0.5) ＝－0.75＜0，则f(－0.5)f(－1)＜0，则 x0∈(－1，－0.5)，取 (－1，－0.5)中间值－0.75，计算得 f(－0.75)＝0.0625＞0，所以 f(－0.75)f(－0.5)＜0，则 x0∈(－0.75， －0.5)，取(－0.75， －0.5)中间值－0.625，计算得 f(－0.625)＝－0.3594＜0，所以 f(－0.75)f(－0.625)＜0，则x0∈(－0.75，－0.625)，
取(－0.75，－0.625)中间值－0.6875，计算得 f(－0.6875) ＝－0.1523＜0，所以 f(－0.75)f(－0.6875)＜0，则x0∈(－0.75，－0.6875)，因为∣－0.75－(－0.6875)∣＝0.0625＜0.1，则方程 x2－2x－2＝0的近似解为x1≈－0.7，同理可得方程另一个近似解为x2≈2.7，则方程两个近似解为－0.7和2.7.
7. 用多种方法解方程 x2＝3x＋10.
解法1：方程 x2＝3x＋10可化为 x2－3x－10＝0， 即 (x＋2)(x－5) ＝0， ∴x1＝－2，x2＝5.
解法2：方程 x2＝3x＋10 可化为 x2－3x－10＝0， ∴∆＝b2－4ac＝ (－3)2－4×1× (－10) ＝9＋40＝49，
8. 设 m 为实数，若方程 7x2－(m＋13)x－m－2＝0 的一 个根在区间 (0，1) 内，另一个根在区间 (1，2) 内， 求 m 的取值范围.
解 设 f(x)＝7x2－(m＋13)x－m－2， ∵方程 7x2－(m＋13)x－ m－2＝0的一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，
解得－4＜m＜－2，∴ m的取值范围是(－4，－2).
9. 设 k 为实数，若函数 f(x)＝x2－2x＋k 在区间[－1，0] 上有零点，求 k 的取值范围.
解 f(x)＝0等价于k＝2x－x2 ， 构造函数 g(x)＝2x－x2 ，x∈[－1，0]， 故只需要k的范围是函数g(x)的值域， 即原函数 f(x) 在区间 [－1，0] 上有零点， g′(x) ＝ 2xln2－2x，g′′(x) ＝ 2x(ln2)2－2，
10. 设 a 为实数，函数 f(x)＝x2－ax－1，且函数 f(x) 在区 间 [－1，2] 上有唯的零点，求 a 的取值范围.
解 ∵ ∆＝(－a)2－4×(－1) ＝a2＋4＞0， ∴ 方程f(a)＝0有两个不等实根.
①当 f(－1)＝0时，1＋a－1＝a＝0. 此时f(a)＝x2－1. 令 f(x)＝0，解得 x＝－1或 x＝1， 此时 f(x) 在区间[－1，2] 上有两个零点，不合题意，舍掉.
11. 利用计算器，求下列方程的近似解 (精确到 0.1)：
(1) lg(2x) ＝－x＋1；
(2) 3x ＝x＋4；
(3) 2x－csx －1＝0.
解 设函数 f(x)＝lg(2x)＋x－1， 则 f(0.7)＝lg1.4＋0.7－1≈－0.15＜0， f(0.75)＝lg1.5＋0.75－1≈－0.07＜0， f(0.8)＝lg1.6＋0.8－1≈0.004＞0， 所以f(x)＝lg(2x)＋x－1＝0， 即方程 lg(2x)＝－x＋1的解约为0.8.
解 设函数 f(x)＝3x－x－4， 则f(－4.0)＝3－4.0 ＋4.0－4≈0.012＞0， f(－3.95)＝3－3.95＋3.95－4≈－0.037＜0， f(1.55)＝31.55－1.55－4≈－0.060＜0， f(1.60)＝31.60 －1.60－4≈0.20＞0， 所以 f(x)＝3x－x－4＝0，即方程 3x＝x＋4的两个解约为－4.0和1.6.
解 设函数 f(x) ＝2x－cs x －1， 则f(0.8) ＝1.6－cs0.8－1≈－0.10＜0， f(0.85) ＝1.7－cs0.85－1≈0.04＞0， 所以方程 2x－csx－1＝0 的解约为0.8.
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