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高中数学第13章 立体几何初步13.2 基本图形位置关系备课课件ppt
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这是一份高中数学第13章 立体几何初步13.2 基本图形位置关系备课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了平行四边形，正方形，两个相对顶点的字母，两个点，两条相交直线，两条平行直线，°或150°，相交或异面，°或110°，平面内等内容，欢迎下载使用。
13.2.1 平面的基本性质
一望无尽的草原、平静的湖面给我们以平面的形象，它们的共同特征主要有哪些？你能想象数学中“平面”的描述吗？生活中用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，为什么？木匠师傅将一把直尺置于桌面上，通过检查桌面是否平整，你能从数学的角度加以解释么？
1．平面的概念及表示(1)平面的概念平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有厚薄，是无限延展的．
(2)平面的表示方法①图形表示平面通常用____________来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的_______的直观图作为平面的直观图(如图所示)．
②字母表示平面通常用______________________表示，也可以用平行四边形的________________________表示，如平面α、平面AC等．
希腊字母α，β，γ，…
(3)点、线、面位置关系的符号表示
2．平面的基本性质(1)平面的基本性质①基本事实1：过不在一条直线上的三点，________一个平面．基本事实1也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．
③基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
(2)基本事实的推论①推论1：经过__________________________，有且只有一个平面．②推论2：经过____________，有且只有一个平面．③推论3：经过____________，有且只有一个平面．
一条直线和这条直线外的一点
1．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，那么下列说法正确的是( )A．l⊂α B．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N∵M∈a，N∈b，a⊂α，b⊂α，∴M∈α，N∈α.而M，N确定直线l，根据基本事实2可知l⊂α.故选A．
2．下列说法正确的是( )A．三点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面C．四边形是平面图形D．两条相交直线可以确定一个平面
D [A错误，不共线的三点可以确定一个平面．B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．C错误，四边形不一定是平面图形．D正确，两条相交直线可以确定一个平面．]
3．如图所示，用符号可表达为______________________．由题图可知平面α与平面β相交于直线m，且直线n在平面α内，且与直线m相交于点A，故用符号可表示为：α∩β＝m，n⊂α且m∩n＝A
【例1】 (1)如图所示，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
[解] (1)①α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P，l∥m.②α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∩b∩c＝O，a∩γ＝O.
(2)用符号语言表示语句：“平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC”，并画出图形．
(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC．图形表示如图．
1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
1．根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．图(1)可以用几何符号表示为
1．根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．图(2)可以用几何符号表示为
【例2】 已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证明：这四条直线共面．
[证明] 如图．法一：∵a∥b，∴a，b确定平面α.又∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴l上有两点A，B在α内，即直线l⊂α.
∴a，b，l共面．同理，a，c，l共面，即c也在a，l确定的平面内．故a，b，c，l共面．
法二：∵a∥b，∴过a，b确定平面α，又∵A∈a，B∈b，∴AB⊂α，即l⊂α.又∵b∥c，∴过b，c确定平面β，
而B∈b，C∈c，∴BC⊂β，即l⊂β.∴b，l⊂α，b，l⊂β，而b∩l＝B，∴α与β重合，故a，b，c，l共面．
在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．
确定一个平面的方法有：①直线和直线外一点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面；③两条相交直线确定一个平面．(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．
2．证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2∈β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
1．把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？
2．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．试问CE，D1F，DA三线是否交于一点？为什么？
证明：如图所示，连接EF，D1C，A1B．∵E为AB的中点，F为AA1的中点，
∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根据基本事实，可得P∈DA，即CE，D1F，DA相交于一点．
【例3】 如图所示，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD交于一点．
[思路点拨] 先证明GH和EF共面且交于一点O，然后说明O是平面ABD和平面BCD的公共点，而平面ABD和平面BCD相交于直线BD，根据基本事实3，两平面相交，有且只有一条交线．因此点O在交线上，即点O在直线BD上．从而证明了直线EF，GH，BD都过点O.
∴四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.∵O在平面ABD内，又在平面BCD内，∴O在这两平面的交线上．而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，∴点O在直线BD上．∴EF，GH，BD交于一点．
证明点共线、线共点的关键是构造相交平面后，证明点在相交平面的交线上，即由基本事实3完成证明，先说明两直线共面交于一点，然后说明该点在两个平面内，从而该点又在这两个平面的交线上．
3．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分别在棱AB，BB1，CC1上，且DP，RQ相交于点O.求证：O，B，C三点共线．
[证明] 如图，可知平面AC∩平面BC1＝BC．
又∵平面AC∩平面BC1＝BC，∴O∈BC，即O，B，C三点共线.
1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述不正确的个数( )①A∈a，a⊄α⇒A∉α；②A∈a，a∈α⇒A∈α；③A∉a，a⊂α⇒A∉α；④A∈a，a⊂α⇒A⊂α.A．1 B．2 C．3 D．4
D ①不正确，如a∩α＝A；②不正确，“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A∉a，a⊂α，但A∈α；④不正确，“A⊂α”表述错误．
2．(多选题)下列命题正确的是( )A．梯形一定是平面图形B．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行C．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面D．若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合
对于A，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，故A正确；对于B，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，故B错误；对于C，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，故C正确；对于D，若两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故D错误．故选AC．
3．空间三条直线a，b，c，若它们两两平行，则最多能确定平面的个数为________．3 [当三条直线不共面时确定平面个数最多，为3个．]
4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的交线，并说明理由．[解] 设AC∩BD＝M，C1D∩CD1＝N，连接MN，则平面ACD1∩平面BDC1＝MN，如图．
理由如下：∵点M∈平面ACD1，点N⊂平面ACD1，所以MN⊂平面ACD1.同理，MN⊂平面BDC1，∴平面ACD1∩平面BDC1＝MN，即MN是平面ACD1与平面BDC1的交线．
13.2.2 空间两条直线的位置关系
1．空间两条直线的位置关系
(2)等角定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别____并且____相同，那么这两个角____．
3．异面直线的判定及其所成的角(1)异面直线的判定定理
思考：不在同一平面内的两条直线是否是异面直线？
提示：(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a⊂α，b⊂β，即a、b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．
(2)异面直线所成的角①定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的________(或__________)叫作异面直线a，b所成的角或夹角．
②异面直线所成的角θ的取值范围：____________.③当θ＝时，a与b互相垂直，记作______.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)如果a⊥b，b⊥c，则a∥c. ( )(2)如果a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线．( )(3)如果a，b相交，b，c相交，则a，c也相交．( )(4)如果a，b共面，b，c共面，则a，c也共面．( )
2．已知棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．
3.已知 AB//PO，BC//OR，∠ABC=30°，则∠ POR 等于__________∠ABC 的两边与∠POR 的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，所以∠POR=30°或150°
4.已知 a，b是异面直线，直线c//直线 a，则c与b的位置关系是_______________.a，b 是异面直线，直线c//直线a，因而c不平行于b，若c//b，则a//b，与已知矛盾，因而c不平行于b，即c与6相交或异面.
空间中直线的位置关系
【例1】 (1)下列命题中正确的有________．(填序号)①两条直线无公共点，则这两条直线平行；②两条不重合的直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的直线与平面内的任意一条直线均构成异面直线；④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．
(1)对于①，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此①不正确；对于②，因为空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，所以②正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的直线和过平面内这点的直线是相交直线，因此③不正确；
对于④，和两条异面直线都相交的两直线可能是相交直线，也可能是异面直线，因此④不正确．
(2)a，b，c是空间中三条直线，下列给出几个说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②a∥b是指直线a，b在同一平面内且没有公共点；③若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．其中正确的有________．(填序号)
(2)由基本事实4知①正确；由平行线的定义知②正确；若α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥l，b∥l，则a∥b，③错误．
空间两直线的位置关系为相交、平行、异面，若两直线有交点则为相交，若两直线共面且无交点则为平行，若以上情况均不满足则为异面．
1．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．
直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1，B，B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面，所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C显然相交于点D1，所以③应该填“相交”．
基本事实4与等角定理的应用
1．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，若E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点．那么四边形EFGH是什么四边形？为什么？
2．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么由等角定理能推出什么结论？这两条直线所成的锐角(或直角)与另两条直线所成的角相等或互补．
【例2】 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点．求证：∠EA1F＝∠E1CF1.
[证明] 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，取A1B1的中点M，连接BM，MF1，
∴四边形A1NDE为平行四边形，∴A1E∥DN.又E1N∥CD，且E1N＝CD，∴四边形E1NDC为平行四边形，∴DN∥CE1，∴A1E∥CE1.
∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行．即A1E∥CE1，A1F∥CF1，且∠EA1F与∠E1CF1均为锐角，∴∠EA1F＝∠E1CF1.
运用基本事实4的关键是寻找“中间量”即第三条直线．证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现．
2．如图，已知棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．(1)求证：四边形MNA1C1是梯形；(2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1.
(1)求证：四边形MNA1C1是梯形；
(2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1.(2)由(1)可知MN∥A1C1，又∵ND∥A1D1，而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.
【例3】 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
[解] 法一：如图(1)，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点．∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
法三：如图(3)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接DQ，B1Q，则B1Q∥EF.
于是∠DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
求两条异面直线所成角的步骤(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角．(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．
(4)给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角．
3．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，求异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为________．
1．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )A．平行 B．相交C．异面 D．以上皆有可能
3．空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝______________. ∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°
4．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.
(1)证明：E，F，G，H四点共面；[解]证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD．又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD，所以EH∥FG，所以E，F，G，H四点共面．
(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？
(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明：EG＝FH.证明：当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB，所以EF∥AC，又EH∥BD，所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为AC⊥BD，所以∠FEH＝90°，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH.
13.2.3 直线与平面的位置关系
1．观察你手中的笔所在直线和作业本所在的平面可能的位置关系，概括空间直线和平面的三种位置关系．
2．观察长方体ABCDA1B1C1D1，说出棱AB所在的直线与长方体六个面所在平面的位置关系，并说明理由．
2.直线与平面平行的判定定理(1)自然语言：如果平面外一条直线和此_________的一条直线平行，那么该直线和此平面平行．
(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言： .
3．直线与平面平行的性质定理(1)自然语言：一条直线与一个平面平行，如果________的平面与此平面相交，那么该直线与____平行．
(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α. ( )(2)若直线a在平面α外，则a∥α. ( )(3)若直线a∩b＝∅，b⊂α，则a∥α. ( )(4)若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的无数条直线．( )
[解析] (1)l也可能在平面α内．(2)直线a也可能和平面α相交．(3)a∥α或a⊂α或a与平面α相交．
2．如果直线a∥b，且a∥平面α，那么b与平面α的位置关系是____________．
3．能保证直线a与平面α平行的条件是________(填序号)．(1)b⊂α，a∥b；(2)b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c；(3)b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD；(4)a⊄α，b⊂α，a∥b.
4．如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是________．
直线与平面的位置关系
【例1】 (1)下列说法中，正确的有________．(填序号)①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线垂直；
③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．
(1)如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线垂直于这条直线，那么在这个平面内与所作直线平行的直线都与已知直线垂直，有无数条，所以②正确；③显然错误；而④也有可能相交，所以错误．
(2)下列命题中，a，b，l表示直线，α表示平面．①若a⊂α，b⊄α，且a，b不相交，则a∥b；②若a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊄α，且l和a，b均不相交，则l∥α；
③若点A∉a，则过点A可以作无数个平面与a平行；④若a与α内的无数条直线不相交，则a∥α.其中正确的命题有________．(把你认为正确的序号都填上)
空间中直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．
1．下列命题中正确的有________个．①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．
①中，l可与α相交，故①错．②中，α内的直线可能与l异面，故②错．③中，另一条直线可能在这个平面内，故③错．④中，由l与α平行的定义知④正确
直线与平面平行的判定定理的应用
【例2】 如图， M，N分别是底面为矩形的四棱锥PABCD的棱AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD．
[证明] 如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE.
利用判定定理证明直线与平面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作平面找其交线。
求证：MN∥平面SBC．
线面平行的性质定理的应用
1．若a∥α，b⊂α，那么a与b的位置关系是怎样的？a与b有没有可能平行？在什么条件下平行？[提示] a与b平行或异面，当a，b同在一平面内时，a∥b.
2．如图，若a∥b，a⊂α，b⊂α，α∩β＝c，且c∥a.那么a与β，b与β是什么关系？a∥β，b∥β.
3．一个长方体木块如图所示，要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开，应该怎样画线？
在平面A1C1内，过点P作EF∥B1C1，分别交A1B1，C1D1于E，F.连接BE，CF，则BE，CF和EF就是所要画的线，如图．
【例3】 如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：PA∥GH.
[思路点拨] 要证线线平行，先证线面平行，再证另一线为过已知直线的平面与已知平面的交线．
[证明] 如图，连接AC交BD于点O，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．
又M是PC的中点，∴AP∥OM.根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，∴PA∥GH.
证明与平行有关的问题时，线面平行的判定定理、性质定理、基本事实4常结合起来使用，并常利用下面的关系：运用线面平行的性质定理时，应寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线需作出辅助平面．
3．如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．
[证明] ∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可证NP∥MQ.故四边形MNPQ是平行四边形．
1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为________．①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.
2．长方体ABCDA1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，与EF平行的长方体的面有________个．如图，∵EF∥A1B1，∴EF∥平面A1B1C1D1.同理EF∥平面ABCD，EF∥平面DD1C1C．
3．直线a∥平面α，过α内一点A的所有直线中与直线a平行的直线条数为________．过直线a和点A的平面与平面α有一条交线l，只有l满足在平面α内过点A且与a平行．
4．如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各取一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.
[证明] 如图所示， 在平面ABEF内过P作PM∥AB交BE于点M，在平面ABCD内过点Q作QN∥AB交BC于点N，连接MN.
∴AE＝DB．∵AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴PM＝QN.又∵PM∥AB，QN∥AB，∴PM∥QN.∴四边形PQNM为平行四边形．∴PQ∥MN.又∵MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE.∴PQ∥平面BCE.
学校操场上的旗杆与地面是怎样的位置关系？教室的两墙面的交线与地面是怎样位置关系？如何判断一条直线和一个平面垂直？如何刻画一条平面的斜线与平面所成的空间角？
1．直线与平面垂直的定义如果直线a与平面α内的________直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直，符号表示：____.直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．
2．直线与平面垂直的判定定理
3.直线与平面垂直的性质定理
4.距离及直线与平面所成的角(1)距离①点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和____间的距离，叫作这个点到这个平面的距离．
②直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上________到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离．
(2)直线与平面所成的角一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫作斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段．
平面的______________与它在这个_______________所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角．特别地：如果直线和平面垂直，那么就说这条直线与平面所成的角是_______；如果直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是______角．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α．( )(2)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行． ( )(3)若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b. ( )(4)若l⊥平面ABCD，则l⊥BC． ( )
2．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是( )A．l与平面α内的两条直线垂直B．l与平面α内的无数条直线垂直C．l与平面α内的某一条直线垂直D．l与平面α内的任意一条直线垂直由直线与平面垂直的定义及判定定理知D正确．
3．(一题两空)在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB＝1，则点C到平面B1BDD1的距离为________，AB到平面A1B1CD的距离为________．
4．如图所示，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．
∵PA⊥平面ABC，∴∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角，在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PBA＝45°
线面垂直的定义及判定定理的应用
【例1】 如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC．
[思路点拨] 只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可，已知AE⊥PC，再证AE⊥BC，即转为证BC垂直于平面PAC即可．
[证明] ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC．而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC．
1．用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法．2．线线垂直与线面垂直的转化关系
1．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.
[证明] ∵E，F分别是棱AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC．∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO，EF⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，EF⊂平面ABCD，∴EF⊥BB1.又BO∩BB1＝B，∴EF⊥平面BB1O.
线面垂直性质定理的应用
【例2】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC．求证：EF∥BD1.
[证明] 如图所示，连接AB1，B1C，BD，B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC．又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1，又∵ BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C．∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C．∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
空间中证明两条直线平行的方法(1)利用线线平行定义证两线无公共点；(2)若a∥b，b∥c，则a∥c(基本事实4)；(3)利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行；(4)若a⊥α，b⊥α，则a∥b(线面垂直的性质定理)．
2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中， M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：MN∥AD1.∵在正方体ABCDA1B1C1D1中，四边形ADD1A1为正方形，∴A1D⊥AD1.
又∵CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，A1D⊂平面A1DC，CD⊂平面A1DC，∴AD1⊥平面A1DC．又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.
距离问题及直线与平面所成角的求法
1．如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1.点B与D1到平面A1C1CA的距离分别是多少 ？BC1到平面ADD1A1的距离是多少？
2．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，
(1)直线BD1与平面AC及平面A1C1所成的角相等吗？因为平面AC与平面A1C1平行，所以BD1与两平面所成的角相等．
(2)A1B与平面A1B1CD所成的角是多少度？A1B与平面A1C所成的角为30°.求法如下：连接BC1交B1C于点O，连接A1O.设正方体的棱长为a，
因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1.
又因为BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD．所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，即∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．
【例3】 如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．
(1)求证：MN⊥平面A1BC；证明：如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，AC∩CC1＝C，得BC⊥平面ACC1A1.
连接AC1，则BC⊥AC1.由已知可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1.又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC．
因为侧面ABB1A1是矩形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1.故MN⊥平面A1BC．
(2)求直线BC1与平面A1BC所成的角的大小．
求直线与平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结到某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
3．如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E，F分别为CC1，DD1的中点．(1)求证：A1F⊥平面BEF；(2)求直线A1B与平面BEF所成角的正弦值．
(1)求证：A1F⊥平面BEF证明：连接AF.∵E，F分别为CC1，DD1的中点，∴EF∥AB且EF＝AB，∴四边形ABEF为平行四边形．又∵在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，A1F⊂平面AA1D1D，
(2)求直线A1B与平面BEF所成角的正弦值．
1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能( )A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直
2. (多选题)一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题，其中正确的是( )A．AF⊥GCB．BD与GC成异面直线且夹角为60°C．BD∥MND．BG与平面ABCD所成的角为45°
[将平面展开图还原成正方体(如图所示)．对于A，由图形知AF与GC异面垂直，故A正确；
对于B，BD与GC显然成异面直线．如图，连接EB，ED，则BE∥GC，所以∠EBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角)．在等边△BDE中，∠EBD＝60°，
所以异面直线BD与GC所成的角为60°，故B正确；对于C，BD与MN为异面垂直，故C错误；对于D，由题意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故D错误．综上可得AB正确。
3．已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别是2和4，则A，B的中点P到平面α的距离是________．A，B在α同一侧时，P到α的距离为3；A，B在α异侧时，P到α的距离为1
4．如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求点C到平面C1DE的距离．过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．
1．平面与平面之间的位置关系
2.平面与平面平行的判定定理
3.平面与平面平行的性质定理
思考：两平行平面内的直线是否相互平行？提示：(1)已知两个平面平行，显然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．
思考：两平行平面内的直线是否相互平行？(2)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．
4．两个平行平面间的距离(1)公垂线与公垂线段与两个平行平面都________的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的________，叫作这两个平行平面的公垂线段．
(2)两个平行平面间的距离两个平行平面的公垂线段_______．公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行．( )(2)若平面α内的两条不平行的直线分别与平面β平行，则α与β平行．( )
(3)若平面α内有一条直线平行于平面β，平面β内也有一条直线平行于α，则α与β平行．( )(4)若平面α内的任何直线都与平面β平行，则α与β平行．( )
2．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列平面的位置关系是：(1)平面AB1与平面D1C________；(2)若E，F，G，H分别为DD1，CC1，AA1，B1B的中点，则平面ABFE与平面BC1________；平面D1C1HG与平面ABFE________.
3．平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则下列四种情况：①a⊥b；②a∥b；③a与b异面；④a与b相交．其中可能出现的情况有________种．只有a，b相交不可能．
4．如图，在四棱锥PABCD中，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，PA⊥平面AC，若PA＝2，则平面EFGH与平面ABCD的距离为________．
∵E，F，G，H为PA，PB，PC，PD的中点，∴平面EFGH∥平面ABCD，∵PA⊥平面AC，∴PA⊥平面EG，∴AE为平面AC与平面EG的公垂线段，AE＝PA＝1
面面平行判定定理的应用
【例1】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．
求证：(1)E，F，B，D四点共面；连接B1D1.∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E，F，B，D四点共面．
(2)平面MAN∥平面EFDB．已知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD．又∵MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，∴MN∥平面EFDB．连接MF.
∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD，MF＝AD．∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.
又AM⊄平面EFDB，DF⊂平面EFDB，∴AM∥平面EFDB．又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB．
证明两平面平行的主要方法是用判定定理，即将“面面平行”转化为“线面平行”再转化为“线线平行”，具体操作就是在其中一个面内寻找出两条相交直线，均平行于另一个平面，而寻找这两条相交直线时，应结合条件，常用到中位线定理、平行四边形的性质、比例线段等平面几何知识．
1．如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．
[证明] ∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP.∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC．又底面ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC，
∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC．又MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC．
面面平行性质定理的应用
【例2】 如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在α，β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，OA∶OA′＝3∶2.求△A′B′C′的面积．
[解] 相交直线AA′，BB′所在平面和两平行平面α，β分别相交于AB，A′B′.由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′.同理相交直线BB′，CC′确定的平面和平行平面α，β分别相交于BC，B′C′，从而BC∥B′C′.
同理易证AC∥A′C′.∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′.同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′.
∴△ABC与△A′B′C′的三内角分别相等，∴△ABC∽△A′B′C′，∵AB∥A′B′，AA′∩BB′＝O，∴在平面ABA′B′中，△AOB∽△A′OB′.
通过面面平行的性质定理将面面平行转化得到线线平行，这是直接利用面面平行的性质定理．利用面面平行的关键是要找到过已知的直线与已知的直线平行的平面．
2．如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1，D是BC的中点，D1是B1C1的中点，设平面A1D1B∩平面ABC＝l1，平面ADC1∩平面A1B1C1＝l2.求证：l1∥l2.
面面平行关系的综合应用
1．过平面外一条直线可以作几个与已知平面平行的平面？[提示] 当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出唯一的一个符合题意的平面．
2．平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分别在平面α和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形有怎样的关系？
又α∥β，∴EG∥β.同理可得GF∥BD，而BD⊂β，GF⊄β，∴GF∥β.又EG∩GF＝G，∴平面EGF∥β.又EF⊂平面EGF，∴EF∥平面β.
线面平行与面面平行性质定理着重体现了平行间的转化思想．转化是综合应用的关键．
3．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E是AC的中点，求证：AB1∥平面BEC1.[证明] 如图，取A1C1的中点F，连接AF，B1F.
∵E为AC的中点，∴AF∥C1E.∵AF⊄平面BEC1，C1E⊂平面BEC1，∴AF∥平面BEC1.连接EF，E，F分别是AC，A1C1的中点，
1．设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的是( )A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥βB．l⊂α，m⊂β，且l∥mC．l⊥α，m⊥β，且l∥mD．l∥α，m∥β，且l∥m
A不正确，α与β有可能相交，也有可能平行；B不正确，α与β有可能相交，也有可能平行；C正确，∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又m⊥β，∴α∥β；D不正确，α与β有可能相交，也有可能平行．
2．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面的位置关系是______________．有无数条直线平行于另一个平面并不能保证平面内没有一条直线与另一个平面相交．
3．若不共线的三点到平面α的距离相等，则这三点确定的平面β与α之间的关系是______________．若三点在平面α的同侧，则α∥β；若三点在平面α的异侧，则α与β相交．
4．如图所示，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.
∴GN∥AF.又AF∥BE，∴GN∥BE.∵GN⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，∴GN∥平面BCE.∵MG∥BC，MG⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，∴MG∥平面BCE.∵MG∩GN＝G，∴平面MNG∥平面BCE.∵MN⊂平面MNG，∴MN∥平面BCE.
1．与二面角有关的概念(1)平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．
一般地，一条直线和由这条直线出发的______________________________叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面．棱为AB，面为α，β的二面角，记作___________________.
(2)一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作______于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的________．
(3)二面角的大小可以用它的平面角来度量，______________是多少度，就说这个二面角是多少度．我们约定，二面角α的大小范围是 .平面角是直角的二面角叫作直二面角．
一般地，如果两个平面所成的二面角是________，那么就说这两个平面互相垂直．
2．平面与平面垂直的判定定理
3．平面与平面垂直的性质定理
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直．( )(2)一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直． ( )
(3)一条直线与两个平面中的一个平行，与另一个垂直，则这两个平面垂直．( )(4)一个平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直．( )
2．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是________．3．已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则a与α的位置关系是_________________．
4．若三个不同的平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α与β之间的位置关系是________________．如图所示，满足α⊥γ，β⊥γ的α与β之间的位置关系可能为平行，也可能为相交．
面面垂直的判定定理的应用
【例1】 已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N分别是AB，PC的中点．求证：平面MND⊥平面PCD．
[证明] 如图，取PD的中点E，连接AE，NE.
∴MN∥AE.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．又CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE.
在等腰直角三角形PAD中，AE是斜边PD上的中线，∴AE⊥PD．又∵ CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD．
又∵ MN∥AE，∴MN⊥平面PCD．∵MN⊂平面MND，∴平面MND⊥平面PCD．
面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直．
1．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AA1＝2AC，D是棱AA1的中点．求证：平面BDC1⊥平面BDC．
[证明] 由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1.又∵DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC．
又∵DC∩BC＝C，∴DC1⊥平面BDC，∵DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC．
【例2】 如图，在三棱锥SABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB．过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．
求证：(1)平面EFG∥平面ABC；因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB．
因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．同理EG∥平面ABC．又因为EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC．
(2)BC⊥SA．因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB．又因为AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC．
因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC．又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB．因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA．
1．证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．2．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．
2．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．
(1)PA⊥底面ABCD；∵平面PAD⊥底面ABCD且PA垂直于这两个平面的交线AD所以PA⊥底面ABCD．
(2)平面BEF⊥平面PCD．因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD．由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．
又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD．因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF，又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.因为CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD．
若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的大小关系如何？
[解] ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC．又∵AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
∴BC⊥平面PAC．又∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC．又∵BC⊥AC．∴∠PCA为二面角PBCA的平面角．
3．如图(1)所示，在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝a，∠B＝90°，∠BCD＝135°.沿对角线AC将四边形折成直二面角，如图(2)所示．
(1)求证：平面ABD⊥平面BCD； 证明：如图，∵∠ACD＝135°－45°＝90°，∴CD⊥AC．
由已知二面角BACD是直二面角，过B作BO⊥AC，垂足为O，由AB＝BC知O为AC中点，作OE⊥AC交AD于E，
则∠BOE＝90°，∴BO⊥OE.而OE∩AC＝O，∴BO⊥平面ACD．又∵CD⊂平面ACD，∴BO⊥CD．又∵ AC∩BO＝O，∴CD⊥平面ABC．
∵AB⊂平面ABC，∴AB⊥CD，由已知∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．而BC∩CD＝C，∴AB⊥平面BCD．又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD．
(2)求二面角BADC的大小．(2)由(1)知BO⊥平面ACD，∴BO⊥AD．作OF⊥AD，连接BF，则OF⊥AD．又∵BO∩OF＝O，∴AD⊥平面BOF，∴AD⊥BF，∴∠BFO为二面角BADC的平面角．
1．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理得α⊥β
2．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面有________个．由面面垂直的判定定理知， 凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．
4．如图，平面角为锐角的二面角αEFβ，A∈EF，AG⊂α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，求二面角αEFβ的平面角．
[解] 作GH⊥β于点H，作HB⊥EF于点B，连接AH，GB，则GB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角．
13.2.1 平面的基本性质
一望无尽的草原、平静的湖面给我们以平面的形象，它们的共同特征主要有哪些？你能想象数学中“平面”的描述吗？生活中用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，为什么？木匠师傅将一把直尺置于桌面上，通过检查桌面是否平整，你能从数学的角度加以解释么？
1．平面的概念及表示(1)平面的概念平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有厚薄，是无限延展的．
(2)平面的表示方法①图形表示平面通常用____________来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的_______的直观图作为平面的直观图(如图所示)．
②字母表示平面通常用______________________表示，也可以用平行四边形的________________________表示，如平面α、平面AC等．
希腊字母α，β，γ，…
(3)点、线、面位置关系的符号表示
2．平面的基本性质(1)平面的基本性质①基本事实1：过不在一条直线上的三点，________一个平面．基本事实1也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．
③基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
(2)基本事实的推论①推论1：经过__________________________，有且只有一个平面．②推论2：经过____________，有且只有一个平面．③推论3：经过____________，有且只有一个平面．
一条直线和这条直线外的一点
1．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，那么下列说法正确的是( )A．l⊂α B．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N∵M∈a，N∈b，a⊂α，b⊂α，∴M∈α，N∈α.而M，N确定直线l，根据基本事实2可知l⊂α.故选A．
2．下列说法正确的是( )A．三点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面C．四边形是平面图形D．两条相交直线可以确定一个平面
D [A错误，不共线的三点可以确定一个平面．B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．C错误，四边形不一定是平面图形．D正确，两条相交直线可以确定一个平面．]
3．如图所示，用符号可表达为______________________．由题图可知平面α与平面β相交于直线m，且直线n在平面α内，且与直线m相交于点A，故用符号可表示为：α∩β＝m，n⊂α且m∩n＝A
【例1】 (1)如图所示，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
[解] (1)①α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P，l∥m.②α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∩b∩c＝O，a∩γ＝O.
(2)用符号语言表示语句：“平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC”，并画出图形．
(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC．图形表示如图．
1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
1．根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．图(1)可以用几何符号表示为
1．根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．图(2)可以用几何符号表示为
【例2】 已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证明：这四条直线共面．
[证明] 如图．法一：∵a∥b，∴a，b确定平面α.又∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴l上有两点A，B在α内，即直线l⊂α.
∴a，b，l共面．同理，a，c，l共面，即c也在a，l确定的平面内．故a，b，c，l共面．
法二：∵a∥b，∴过a，b确定平面α，又∵A∈a，B∈b，∴AB⊂α，即l⊂α.又∵b∥c，∴过b，c确定平面β，
而B∈b，C∈c，∴BC⊂β，即l⊂β.∴b，l⊂α，b，l⊂β，而b∩l＝B，∴α与β重合，故a，b，c，l共面．
在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．
确定一个平面的方法有：①直线和直线外一点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面；③两条相交直线确定一个平面．(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．
2．证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2∈β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
1．把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？
2．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．试问CE，D1F，DA三线是否交于一点？为什么？
证明：如图所示，连接EF，D1C，A1B．∵E为AB的中点，F为AA1的中点，
∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根据基本事实，可得P∈DA，即CE，D1F，DA相交于一点．
【例3】 如图所示，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD交于一点．
[思路点拨] 先证明GH和EF共面且交于一点O，然后说明O是平面ABD和平面BCD的公共点，而平面ABD和平面BCD相交于直线BD，根据基本事实3，两平面相交，有且只有一条交线．因此点O在交线上，即点O在直线BD上．从而证明了直线EF，GH，BD都过点O.
∴四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.∵O在平面ABD内，又在平面BCD内，∴O在这两平面的交线上．而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，∴点O在直线BD上．∴EF，GH，BD交于一点．
证明点共线、线共点的关键是构造相交平面后，证明点在相交平面的交线上，即由基本事实3完成证明，先说明两直线共面交于一点，然后说明该点在两个平面内，从而该点又在这两个平面的交线上．
3．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分别在棱AB，BB1，CC1上，且DP，RQ相交于点O.求证：O，B，C三点共线．
[证明] 如图，可知平面AC∩平面BC1＝BC．
又∵平面AC∩平面BC1＝BC，∴O∈BC，即O，B，C三点共线.
1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述不正确的个数( )①A∈a，a⊄α⇒A∉α；②A∈a，a∈α⇒A∈α；③A∉a，a⊂α⇒A∉α；④A∈a，a⊂α⇒A⊂α.A．1 B．2 C．3 D．4
D ①不正确，如a∩α＝A；②不正确，“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A∉a，a⊂α，但A∈α；④不正确，“A⊂α”表述错误．
2．(多选题)下列命题正确的是( )A．梯形一定是平面图形B．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行C．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面D．若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合
对于A，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，故A正确；对于B，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，故B错误；对于C，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，故C正确；对于D，若两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故D错误．故选AC．
3．空间三条直线a，b，c，若它们两两平行，则最多能确定平面的个数为________．3 [当三条直线不共面时确定平面个数最多，为3个．]
4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的交线，并说明理由．[解] 设AC∩BD＝M，C1D∩CD1＝N，连接MN，则平面ACD1∩平面BDC1＝MN，如图．
理由如下：∵点M∈平面ACD1，点N⊂平面ACD1，所以MN⊂平面ACD1.同理，MN⊂平面BDC1，∴平面ACD1∩平面BDC1＝MN，即MN是平面ACD1与平面BDC1的交线．
13.2.2 空间两条直线的位置关系
1．空间两条直线的位置关系
(2)等角定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别____并且____相同，那么这两个角____．
3．异面直线的判定及其所成的角(1)异面直线的判定定理
思考：不在同一平面内的两条直线是否是异面直线？
提示：(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a⊂α，b⊂β，即a、b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．
(2)异面直线所成的角①定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的________(或__________)叫作异面直线a，b所成的角或夹角．
②异面直线所成的角θ的取值范围：____________.③当θ＝时，a与b互相垂直，记作______.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)如果a⊥b，b⊥c，则a∥c. ( )(2)如果a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线．( )(3)如果a，b相交，b，c相交，则a，c也相交．( )(4)如果a，b共面，b，c共面，则a，c也共面．( )
2．已知棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．
3.已知 AB//PO，BC//OR，∠ABC=30°，则∠ POR 等于__________∠ABC 的两边与∠POR 的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，所以∠POR=30°或150°
4.已知 a，b是异面直线，直线c//直线 a，则c与b的位置关系是_______________.a，b 是异面直线，直线c//直线a，因而c不平行于b，若c//b，则a//b，与已知矛盾，因而c不平行于b，即c与6相交或异面.
空间中直线的位置关系
【例1】 (1)下列命题中正确的有________．(填序号)①两条直线无公共点，则这两条直线平行；②两条不重合的直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的直线与平面内的任意一条直线均构成异面直线；④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．
(1)对于①，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此①不正确；对于②，因为空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，所以②正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的直线和过平面内这点的直线是相交直线，因此③不正确；
对于④，和两条异面直线都相交的两直线可能是相交直线，也可能是异面直线，因此④不正确．
(2)a，b，c是空间中三条直线，下列给出几个说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②a∥b是指直线a，b在同一平面内且没有公共点；③若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．其中正确的有________．(填序号)
(2)由基本事实4知①正确；由平行线的定义知②正确；若α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥l，b∥l，则a∥b，③错误．
空间两直线的位置关系为相交、平行、异面，若两直线有交点则为相交，若两直线共面且无交点则为平行，若以上情况均不满足则为异面．
1．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．
直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1，B，B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面，所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C显然相交于点D1，所以③应该填“相交”．
基本事实4与等角定理的应用
1．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，若E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点．那么四边形EFGH是什么四边形？为什么？
2．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么由等角定理能推出什么结论？这两条直线所成的锐角(或直角)与另两条直线所成的角相等或互补．
【例2】 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点．求证：∠EA1F＝∠E1CF1.
[证明] 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，取A1B1的中点M，连接BM，MF1，
∴四边形A1NDE为平行四边形，∴A1E∥DN.又E1N∥CD，且E1N＝CD，∴四边形E1NDC为平行四边形，∴DN∥CE1，∴A1E∥CE1.
∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行．即A1E∥CE1，A1F∥CF1，且∠EA1F与∠E1CF1均为锐角，∴∠EA1F＝∠E1CF1.
运用基本事实4的关键是寻找“中间量”即第三条直线．证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现．
2．如图，已知棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．(1)求证：四边形MNA1C1是梯形；(2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1.
(1)求证：四边形MNA1C1是梯形；
(2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1.(2)由(1)可知MN∥A1C1，又∵ND∥A1D1，而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.
【例3】 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
[解] 法一：如图(1)，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点．∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
法三：如图(3)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接DQ，B1Q，则B1Q∥EF.
于是∠DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
求两条异面直线所成角的步骤(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角．(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．
(4)给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角．
3．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，求异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为________．
1．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )A．平行 B．相交C．异面 D．以上皆有可能
3．空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝______________. ∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°
4．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.
(1)证明：E，F，G，H四点共面；[解]证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD．又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD，所以EH∥FG，所以E，F，G，H四点共面．
(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？
(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明：EG＝FH.证明：当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB，所以EF∥AC，又EH∥BD，所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为AC⊥BD，所以∠FEH＝90°，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH.
13.2.3 直线与平面的位置关系
1．观察你手中的笔所在直线和作业本所在的平面可能的位置关系，概括空间直线和平面的三种位置关系．
2．观察长方体ABCDA1B1C1D1，说出棱AB所在的直线与长方体六个面所在平面的位置关系，并说明理由．
2.直线与平面平行的判定定理(1)自然语言：如果平面外一条直线和此_________的一条直线平行，那么该直线和此平面平行．
(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言： .
3．直线与平面平行的性质定理(1)自然语言：一条直线与一个平面平行，如果________的平面与此平面相交，那么该直线与____平行．
(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α. ( )(2)若直线a在平面α外，则a∥α. ( )(3)若直线a∩b＝∅，b⊂α，则a∥α. ( )(4)若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的无数条直线．( )
[解析] (1)l也可能在平面α内．(2)直线a也可能和平面α相交．(3)a∥α或a⊂α或a与平面α相交．
2．如果直线a∥b，且a∥平面α，那么b与平面α的位置关系是____________．
3．能保证直线a与平面α平行的条件是________(填序号)．(1)b⊂α，a∥b；(2)b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c；(3)b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD；(4)a⊄α，b⊂α，a∥b.
4．如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是________．
直线与平面的位置关系
【例1】 (1)下列说法中，正确的有________．(填序号)①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线垂直；
③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．
(1)如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线垂直于这条直线，那么在这个平面内与所作直线平行的直线都与已知直线垂直，有无数条，所以②正确；③显然错误；而④也有可能相交，所以错误．
(2)下列命题中，a，b，l表示直线，α表示平面．①若a⊂α，b⊄α，且a，b不相交，则a∥b；②若a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊄α，且l和a，b均不相交，则l∥α；
③若点A∉a，则过点A可以作无数个平面与a平行；④若a与α内的无数条直线不相交，则a∥α.其中正确的命题有________．(把你认为正确的序号都填上)
空间中直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．
1．下列命题中正确的有________个．①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．
①中，l可与α相交，故①错．②中，α内的直线可能与l异面，故②错．③中，另一条直线可能在这个平面内，故③错．④中，由l与α平行的定义知④正确
直线与平面平行的判定定理的应用
【例2】 如图， M，N分别是底面为矩形的四棱锥PABCD的棱AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD．
[证明] 如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE.
利用判定定理证明直线与平面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作平面找其交线。
求证：MN∥平面SBC．
线面平行的性质定理的应用
1．若a∥α，b⊂α，那么a与b的位置关系是怎样的？a与b有没有可能平行？在什么条件下平行？[提示] a与b平行或异面，当a，b同在一平面内时，a∥b.
2．如图，若a∥b，a⊂α，b⊂α，α∩β＝c，且c∥a.那么a与β，b与β是什么关系？a∥β，b∥β.
3．一个长方体木块如图所示，要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开，应该怎样画线？
在平面A1C1内，过点P作EF∥B1C1，分别交A1B1，C1D1于E，F.连接BE，CF，则BE，CF和EF就是所要画的线，如图．
【例3】 如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：PA∥GH.
[思路点拨] 要证线线平行，先证线面平行，再证另一线为过已知直线的平面与已知平面的交线．
[证明] 如图，连接AC交BD于点O，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．
又M是PC的中点，∴AP∥OM.根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，∴PA∥GH.
证明与平行有关的问题时，线面平行的判定定理、性质定理、基本事实4常结合起来使用，并常利用下面的关系：运用线面平行的性质定理时，应寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线需作出辅助平面．
3．如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．
[证明] ∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可证NP∥MQ.故四边形MNPQ是平行四边形．
1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为________．①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.
2．长方体ABCDA1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，与EF平行的长方体的面有________个．如图，∵EF∥A1B1，∴EF∥平面A1B1C1D1.同理EF∥平面ABCD，EF∥平面DD1C1C．
3．直线a∥平面α，过α内一点A的所有直线中与直线a平行的直线条数为________．过直线a和点A的平面与平面α有一条交线l，只有l满足在平面α内过点A且与a平行．
4．如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各取一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.
[证明] 如图所示， 在平面ABEF内过P作PM∥AB交BE于点M，在平面ABCD内过点Q作QN∥AB交BC于点N，连接MN.
∴AE＝DB．∵AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴PM＝QN.又∵PM∥AB，QN∥AB，∴PM∥QN.∴四边形PQNM为平行四边形．∴PQ∥MN.又∵MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE.∴PQ∥平面BCE.
学校操场上的旗杆与地面是怎样的位置关系？教室的两墙面的交线与地面是怎样位置关系？如何判断一条直线和一个平面垂直？如何刻画一条平面的斜线与平面所成的空间角？
1．直线与平面垂直的定义如果直线a与平面α内的________直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直，符号表示：____.直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．
2．直线与平面垂直的判定定理
3.直线与平面垂直的性质定理
4.距离及直线与平面所成的角(1)距离①点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和____间的距离，叫作这个点到这个平面的距离．
②直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上________到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离．
(2)直线与平面所成的角一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫作斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段．
平面的______________与它在这个_______________所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角．特别地：如果直线和平面垂直，那么就说这条直线与平面所成的角是_______；如果直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是______角．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α．( )(2)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行． ( )(3)若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b. ( )(4)若l⊥平面ABCD，则l⊥BC． ( )
2．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是( )A．l与平面α内的两条直线垂直B．l与平面α内的无数条直线垂直C．l与平面α内的某一条直线垂直D．l与平面α内的任意一条直线垂直由直线与平面垂直的定义及判定定理知D正确．
3．(一题两空)在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB＝1，则点C到平面B1BDD1的距离为________，AB到平面A1B1CD的距离为________．
4．如图所示，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．
∵PA⊥平面ABC，∴∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角，在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PBA＝45°
线面垂直的定义及判定定理的应用
【例1】 如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC．
[思路点拨] 只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可，已知AE⊥PC，再证AE⊥BC，即转为证BC垂直于平面PAC即可．
[证明] ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC．而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC．
1．用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法．2．线线垂直与线面垂直的转化关系
1．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.
[证明] ∵E，F分别是棱AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC．∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO，EF⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，EF⊂平面ABCD，∴EF⊥BB1.又BO∩BB1＝B，∴EF⊥平面BB1O.
线面垂直性质定理的应用
【例2】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC．求证：EF∥BD1.
[证明] 如图所示，连接AB1，B1C，BD，B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC．又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1，又∵ BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C．∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C．∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
空间中证明两条直线平行的方法(1)利用线线平行定义证两线无公共点；(2)若a∥b，b∥c，则a∥c(基本事实4)；(3)利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行；(4)若a⊥α，b⊥α，则a∥b(线面垂直的性质定理)．
2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中， M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：MN∥AD1.∵在正方体ABCDA1B1C1D1中，四边形ADD1A1为正方形，∴A1D⊥AD1.
又∵CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，A1D⊂平面A1DC，CD⊂平面A1DC，∴AD1⊥平面A1DC．又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.
距离问题及直线与平面所成角的求法
1．如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1.点B与D1到平面A1C1CA的距离分别是多少 ？BC1到平面ADD1A1的距离是多少？
2．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，
(1)直线BD1与平面AC及平面A1C1所成的角相等吗？因为平面AC与平面A1C1平行，所以BD1与两平面所成的角相等．
(2)A1B与平面A1B1CD所成的角是多少度？A1B与平面A1C所成的角为30°.求法如下：连接BC1交B1C于点O，连接A1O.设正方体的棱长为a，
因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1.
又因为BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD．所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，即∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．
【例3】 如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．
(1)求证：MN⊥平面A1BC；证明：如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，AC∩CC1＝C，得BC⊥平面ACC1A1.
连接AC1，则BC⊥AC1.由已知可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1.又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC．
因为侧面ABB1A1是矩形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1.故MN⊥平面A1BC．
(2)求直线BC1与平面A1BC所成的角的大小．
求直线与平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结到某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
3．如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E，F分别为CC1，DD1的中点．(1)求证：A1F⊥平面BEF；(2)求直线A1B与平面BEF所成角的正弦值．
(1)求证：A1F⊥平面BEF证明：连接AF.∵E，F分别为CC1，DD1的中点，∴EF∥AB且EF＝AB，∴四边形ABEF为平行四边形．又∵在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，A1F⊂平面AA1D1D，
(2)求直线A1B与平面BEF所成角的正弦值．
1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能( )A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直
2. (多选题)一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题，其中正确的是( )A．AF⊥GCB．BD与GC成异面直线且夹角为60°C．BD∥MND．BG与平面ABCD所成的角为45°
[将平面展开图还原成正方体(如图所示)．对于A，由图形知AF与GC异面垂直，故A正确；
对于B，BD与GC显然成异面直线．如图，连接EB，ED，则BE∥GC，所以∠EBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角)．在等边△BDE中，∠EBD＝60°，
所以异面直线BD与GC所成的角为60°，故B正确；对于C，BD与MN为异面垂直，故C错误；对于D，由题意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故D错误．综上可得AB正确。
3．已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别是2和4，则A，B的中点P到平面α的距离是________．A，B在α同一侧时，P到α的距离为3；A，B在α异侧时，P到α的距离为1
4．如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求点C到平面C1DE的距离．过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．
1．平面与平面之间的位置关系
2.平面与平面平行的判定定理
3.平面与平面平行的性质定理
思考：两平行平面内的直线是否相互平行？提示：(1)已知两个平面平行，显然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．
思考：两平行平面内的直线是否相互平行？(2)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．
4．两个平行平面间的距离(1)公垂线与公垂线段与两个平行平面都________的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的________，叫作这两个平行平面的公垂线段．
(2)两个平行平面间的距离两个平行平面的公垂线段_______．公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行．( )(2)若平面α内的两条不平行的直线分别与平面β平行，则α与β平行．( )
(3)若平面α内有一条直线平行于平面β，平面β内也有一条直线平行于α，则α与β平行．( )(4)若平面α内的任何直线都与平面β平行，则α与β平行．( )
2．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列平面的位置关系是：(1)平面AB1与平面D1C________；(2)若E，F，G，H分别为DD1，CC1，AA1，B1B的中点，则平面ABFE与平面BC1________；平面D1C1HG与平面ABFE________.
3．平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则下列四种情况：①a⊥b；②a∥b；③a与b异面；④a与b相交．其中可能出现的情况有________种．只有a，b相交不可能．
4．如图，在四棱锥PABCD中，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，PA⊥平面AC，若PA＝2，则平面EFGH与平面ABCD的距离为________．
∵E，F，G，H为PA，PB，PC，PD的中点，∴平面EFGH∥平面ABCD，∵PA⊥平面AC，∴PA⊥平面EG，∴AE为平面AC与平面EG的公垂线段，AE＝PA＝1
面面平行判定定理的应用
【例1】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．
求证：(1)E，F，B，D四点共面；连接B1D1.∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E，F，B，D四点共面．
(2)平面MAN∥平面EFDB．已知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD．又∵MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，∴MN∥平面EFDB．连接MF.
∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD，MF＝AD．∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.
又AM⊄平面EFDB，DF⊂平面EFDB，∴AM∥平面EFDB．又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB．
证明两平面平行的主要方法是用判定定理，即将“面面平行”转化为“线面平行”再转化为“线线平行”，具体操作就是在其中一个面内寻找出两条相交直线，均平行于另一个平面，而寻找这两条相交直线时，应结合条件，常用到中位线定理、平行四边形的性质、比例线段等平面几何知识．
1．如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．
[证明] ∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP.∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC．又底面ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC，
∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC．又MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC．
面面平行性质定理的应用
【例2】 如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在α，β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，OA∶OA′＝3∶2.求△A′B′C′的面积．
[解] 相交直线AA′，BB′所在平面和两平行平面α，β分别相交于AB，A′B′.由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′.同理相交直线BB′，CC′确定的平面和平行平面α，β分别相交于BC，B′C′，从而BC∥B′C′.
同理易证AC∥A′C′.∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′.同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′.
∴△ABC与△A′B′C′的三内角分别相等，∴△ABC∽△A′B′C′，∵AB∥A′B′，AA′∩BB′＝O，∴在平面ABA′B′中，△AOB∽△A′OB′.
通过面面平行的性质定理将面面平行转化得到线线平行，这是直接利用面面平行的性质定理．利用面面平行的关键是要找到过已知的直线与已知的直线平行的平面．
2．如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1，D是BC的中点，D1是B1C1的中点，设平面A1D1B∩平面ABC＝l1，平面ADC1∩平面A1B1C1＝l2.求证：l1∥l2.
面面平行关系的综合应用
1．过平面外一条直线可以作几个与已知平面平行的平面？[提示] 当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出唯一的一个符合题意的平面．
2．平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分别在平面α和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形有怎样的关系？
又α∥β，∴EG∥β.同理可得GF∥BD，而BD⊂β，GF⊄β，∴GF∥β.又EG∩GF＝G，∴平面EGF∥β.又EF⊂平面EGF，∴EF∥平面β.
线面平行与面面平行性质定理着重体现了平行间的转化思想．转化是综合应用的关键．
3．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E是AC的中点，求证：AB1∥平面BEC1.[证明] 如图，取A1C1的中点F，连接AF，B1F.
∵E为AC的中点，∴AF∥C1E.∵AF⊄平面BEC1，C1E⊂平面BEC1，∴AF∥平面BEC1.连接EF，E，F分别是AC，A1C1的中点，
1．设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的是( )A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥βB．l⊂α，m⊂β，且l∥mC．l⊥α，m⊥β，且l∥mD．l∥α，m∥β，且l∥m
A不正确，α与β有可能相交，也有可能平行；B不正确，α与β有可能相交，也有可能平行；C正确，∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又m⊥β，∴α∥β；D不正确，α与β有可能相交，也有可能平行．
2．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面的位置关系是______________．有无数条直线平行于另一个平面并不能保证平面内没有一条直线与另一个平面相交．
3．若不共线的三点到平面α的距离相等，则这三点确定的平面β与α之间的关系是______________．若三点在平面α的同侧，则α∥β；若三点在平面α的异侧，则α与β相交．
4．如图所示，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.
∴GN∥AF.又AF∥BE，∴GN∥BE.∵GN⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，∴GN∥平面BCE.∵MG∥BC，MG⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，∴MG∥平面BCE.∵MG∩GN＝G，∴平面MNG∥平面BCE.∵MN⊂平面MNG，∴MN∥平面BCE.
1．与二面角有关的概念(1)平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．
一般地，一条直线和由这条直线出发的______________________________叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面．棱为AB，面为α，β的二面角，记作___________________.
(2)一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作______于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的________．
(3)二面角的大小可以用它的平面角来度量，______________是多少度，就说这个二面角是多少度．我们约定，二面角α的大小范围是 .平面角是直角的二面角叫作直二面角．
一般地，如果两个平面所成的二面角是________，那么就说这两个平面互相垂直．
2．平面与平面垂直的判定定理
3．平面与平面垂直的性质定理
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直．( )(2)一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直． ( )
(3)一条直线与两个平面中的一个平行，与另一个垂直，则这两个平面垂直．( )(4)一个平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直．( )
2．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是________．3．已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则a与α的位置关系是_________________．
4．若三个不同的平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α与β之间的位置关系是________________．如图所示，满足α⊥γ，β⊥γ的α与β之间的位置关系可能为平行，也可能为相交．
面面垂直的判定定理的应用
【例1】 已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N分别是AB，PC的中点．求证：平面MND⊥平面PCD．
[证明] 如图，取PD的中点E，连接AE，NE.
∴MN∥AE.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．又CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE.
在等腰直角三角形PAD中，AE是斜边PD上的中线，∴AE⊥PD．又∵ CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD．
又∵ MN∥AE，∴MN⊥平面PCD．∵MN⊂平面MND，∴平面MND⊥平面PCD．
面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直．
1．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AA1＝2AC，D是棱AA1的中点．求证：平面BDC1⊥平面BDC．
[证明] 由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1.又∵DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC．
又∵DC∩BC＝C，∴DC1⊥平面BDC，∵DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC．
【例2】 如图，在三棱锥SABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB．过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．
求证：(1)平面EFG∥平面ABC；因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB．
因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．同理EG∥平面ABC．又因为EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC．
(2)BC⊥SA．因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB．又因为AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC．
因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC．又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB．因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA．
1．证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．2．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．
2．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．
(1)PA⊥底面ABCD；∵平面PAD⊥底面ABCD且PA垂直于这两个平面的交线AD所以PA⊥底面ABCD．
(2)平面BEF⊥平面PCD．因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD．由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．
又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD．因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF，又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.因为CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD．
若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的大小关系如何？
[解] ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC．又∵AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
∴BC⊥平面PAC．又∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC．又∵BC⊥AC．∴∠PCA为二面角PBCA的平面角．
3．如图(1)所示，在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝a，∠B＝90°，∠BCD＝135°.沿对角线AC将四边形折成直二面角，如图(2)所示．
(1)求证：平面ABD⊥平面BCD； 证明：如图，∵∠ACD＝135°－45°＝90°，∴CD⊥AC．
由已知二面角BACD是直二面角，过B作BO⊥AC，垂足为O，由AB＝BC知O为AC中点，作OE⊥AC交AD于E，
则∠BOE＝90°，∴BO⊥OE.而OE∩AC＝O，∴BO⊥平面ACD．又∵CD⊂平面ACD，∴BO⊥CD．又∵ AC∩BO＝O，∴CD⊥平面ABC．
∵AB⊂平面ABC，∴AB⊥CD，由已知∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．而BC∩CD＝C，∴AB⊥平面BCD．又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD．
(2)求二面角BADC的大小．(2)由(1)知BO⊥平面ACD，∴BO⊥AD．作OF⊥AD，连接BF，则OF⊥AD．又∵BO∩OF＝O，∴AD⊥平面BOF，∴AD⊥BF，∴∠BFO为二面角BADC的平面角．
1．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理得α⊥β
2．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面有________个．由面面垂直的判定定理知， 凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．
4．如图，平面角为锐角的二面角αEFβ，A∈EF，AG⊂α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，求二面角αEFβ的平面角．
[解] 作GH⊥β于点H，作HB⊥EF于点B，连接AH，GB，则GB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角．
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