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高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.3 空间图形的表面积和体积评课ppt课件
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.3 空间图形的表面积和体积评课ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了正多边形，底面中心，侧棱长，正棱锥，规律方法，课堂小结，多面体的体积，旋转体的体积等内容，欢迎下载使用。
13.3.1 空间图形的表面积
1．在下图中，哪些图形是空间图形的展开图？
2．下图中分别是哪些空间图形的侧面展开图？
1．几种特殊的多面体(1)直棱柱：侧棱和底面__________的棱柱叫作直棱柱．(2)正棱柱：底面为______________的直棱柱叫作正棱柱．
(3)正棱锥：一个棱锥的底面是___________，并且顶点在底面的射影是___________，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的_______________都相等．(4)正棱台：______被平行于底面的平面所截，______和______之间的部分叫作正棱台．
2．几种简单空间图形的侧面展开图与侧面积
思考：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系？
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)棱长都相等的长方体是正方体． ( )(2)有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱． ( )(3)有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱． ( )(4)底面为菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱． ( )
如图，在正三棱锥S-ABC中，过点S作SO⊥平面ABC于O点，则O为△ABC的中心，连接AO并延长与BC相交于点M，连接SM，SM即为斜高h′，
3．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于________．以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r＝1，高h＝1，所以侧面积S＝2πrh＝2π.
4．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为________．S＝2π×1×2＋2π×12＝6π
棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积
【例1】 正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的表面积．[思路点拨] 由S侧与S底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系，进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．
求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应用．
1．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高．[解] 如图所示，在三棱台ABCA′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高。
圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积
1．圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中相关量是求解旋转体表面积的关键．2．解决柱体、锥体、台体、球体中的接、切问题，通常是作出轴截面，转化为平面问题来求解．
2．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°。
空间图形侧面积和全面积的实际应用
如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的空间图形，那么此空间图形的表面积与正方体的表面积之比为多少？
【例3】 用油漆涂100个圆台形水桶(桶内、外侧都要涂)，桶口直径为30 cm，桶底直径为25 cm，母线长是27.5 cm，已知每平方米需要油漆150 g，共需要多少油漆？(精确到0.1 kg)[思路点拨] 求水桶的表面积→计算总油漆量．
[解] 每个水桶需要涂油漆的面积为S＝(S桶底＋S侧)×2因此100个水桶需要油漆100×0.182 5π×0.15≈8.6(kg)．
3．一个正三棱台的两底面的边长分别为8 cm、18 cm，侧棱长是13 cm，求它的全面积．[解] 上底面周长为c′＝3×8＝24 cm下底面周长c＝3×18＝54 cm
1．圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于( )A．42π B．51π C．58π D．67π
2．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝( )A．2 600 cm2B．5 200 cm2C．2 600π cm2D．5 200π cm2
3．一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为________．
4．一座仓库的屋顶呈正四棱锥形，底面的边长为2.7 m，侧棱长为2.3 m，如果要在屋顶上铺一层油毡纸，则需多少油毡纸？(精确到0.1 m2)[解] 如图所示，设SE是侧面三角形ABS的高，则SE就是正四棱锥的斜高．
13.3.2 空间图形的体积
取一摞书或一摞纸张堆放在桌面上，将它按如图所示的方式改变一下形状，这时高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而这摞书或纸张的体积与变形前相等．
这就是中国古代的“祖暅原理”，是我们研究空间图形的体积公式的理论基础．
1．柱体、锥体、台体的体积
思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系．
2．球的体积和表面积若球的半径为R，则(1)球的体积V＝ .(2)球的表面积S＝ .
1．若正方体的体对角线长为a，则它的体积为________．
2．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方体，则此圆柱的体积为________．
3．如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.
【例1】 如图，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，点D是AB的中点，求三棱锥A1B1CD的体积．
法二：在△ABC中，过C作CF⊥AB，垂足为F由平面ABB1A1⊥平面ABC知CF⊥平面A1B1BA
空间图形的体积的求法(1)直接法：直接套用体积公式求解．(2)等体积转移法：在三棱锥中，每一个面都可作为底面．为了求解的方便，我们经常需要换底，此法在求点到平面的距离时也常用到．
(3)分割法：在求一些不规则的空间图形的体积时，我们可以将其分割成规则的、易于求解的空间图形．(4)补形法：对一些不规则(或难求解)的空间图形，我们可以通过补形，将其补为规则(或易于求解)的空间图形．
1．如图，在三棱锥PABC中，PA＝a，AB＝AC＝2a，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求三棱锥PABC的体积．
[解] ∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为正三角形，设D为BC的中点，连接AD，PD，作PO⊥平面ABC．∵∠PAB＝∠PAC且AB＝AC，∴O∈AD．作PE⊥AB于点E，连接OE，则OE⊥AB．
【例2】 圆台上底的面积为16π cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么圆台的侧面积和体积各是多少？[思路点拨] 解答本题作轴截面可以得到等腰梯形，为了得到高，可将梯形分割为直角三角形和矩形，利用它们方便地解决问题．
[解] 如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为4 cm，于是S圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)．
求台体的体积关键是求高，为此常将有关计算转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算．对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．
2．如图，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．
空间图形的外接圆内切球的问题
1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么两个球的表面积之比为多少？
2．一底面边长为4的正六棱柱，高为6，则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上)的表面积是多少？
【例3】 已知正四面体的棱长为a，四个顶点都在同一个球面上，试求这个球的表面积和体积．[思路点拨] 正四面体的顶点都在同一个球面上，球心和正四面体的中心是同一个点，球心与正四面体各顶点的距离即球的半径．
处理有关空间图形外接球的问题时，要注意球心的位置与空间图形的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总是在空间图形的特殊位置，比如中心、对角线中点等．该类问题的求解就是根据空间图形的相关数据求球的直径或半径．
13.3.1 空间图形的表面积
1．在下图中，哪些图形是空间图形的展开图？
2．下图中分别是哪些空间图形的侧面展开图？
1．几种特殊的多面体(1)直棱柱：侧棱和底面__________的棱柱叫作直棱柱．(2)正棱柱：底面为______________的直棱柱叫作正棱柱．
(3)正棱锥：一个棱锥的底面是___________，并且顶点在底面的射影是___________，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的_______________都相等．(4)正棱台：______被平行于底面的平面所截，______和______之间的部分叫作正棱台．
2．几种简单空间图形的侧面展开图与侧面积
思考：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系？
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)棱长都相等的长方体是正方体． ( )(2)有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱． ( )(3)有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱． ( )(4)底面为菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱． ( )
如图，在正三棱锥S-ABC中，过点S作SO⊥平面ABC于O点，则O为△ABC的中心，连接AO并延长与BC相交于点M，连接SM，SM即为斜高h′，
3．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于________．以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r＝1，高h＝1，所以侧面积S＝2πrh＝2π.
4．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为________．S＝2π×1×2＋2π×12＝6π
棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积
【例1】 正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的表面积．[思路点拨] 由S侧与S底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系，进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．
求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应用．
1．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高．[解] 如图所示，在三棱台ABCA′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高。
圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积
1．圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中相关量是求解旋转体表面积的关键．2．解决柱体、锥体、台体、球体中的接、切问题，通常是作出轴截面，转化为平面问题来求解．
2．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°。
空间图形侧面积和全面积的实际应用
如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的空间图形，那么此空间图形的表面积与正方体的表面积之比为多少？
【例3】 用油漆涂100个圆台形水桶(桶内、外侧都要涂)，桶口直径为30 cm，桶底直径为25 cm，母线长是27.5 cm，已知每平方米需要油漆150 g，共需要多少油漆？(精确到0.1 kg)[思路点拨] 求水桶的表面积→计算总油漆量．
[解] 每个水桶需要涂油漆的面积为S＝(S桶底＋S侧)×2因此100个水桶需要油漆100×0.182 5π×0.15≈8.6(kg)．
3．一个正三棱台的两底面的边长分别为8 cm、18 cm，侧棱长是13 cm，求它的全面积．[解] 上底面周长为c′＝3×8＝24 cm下底面周长c＝3×18＝54 cm
1．圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于( )A．42π B．51π C．58π D．67π
2．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝( )A．2 600 cm2B．5 200 cm2C．2 600π cm2D．5 200π cm2
3．一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为________．
4．一座仓库的屋顶呈正四棱锥形，底面的边长为2.7 m，侧棱长为2.3 m，如果要在屋顶上铺一层油毡纸，则需多少油毡纸？(精确到0.1 m2)[解] 如图所示，设SE是侧面三角形ABS的高，则SE就是正四棱锥的斜高．
13.3.2 空间图形的体积
取一摞书或一摞纸张堆放在桌面上，将它按如图所示的方式改变一下形状，这时高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而这摞书或纸张的体积与变形前相等．
这就是中国古代的“祖暅原理”，是我们研究空间图形的体积公式的理论基础．
1．柱体、锥体、台体的体积
思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系．
2．球的体积和表面积若球的半径为R，则(1)球的体积V＝ .(2)球的表面积S＝ .
1．若正方体的体对角线长为a，则它的体积为________．
2．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方体，则此圆柱的体积为________．
3．如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.
【例1】 如图，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，点D是AB的中点，求三棱锥A1B1CD的体积．
法二：在△ABC中，过C作CF⊥AB，垂足为F由平面ABB1A1⊥平面ABC知CF⊥平面A1B1BA
空间图形的体积的求法(1)直接法：直接套用体积公式求解．(2)等体积转移法：在三棱锥中，每一个面都可作为底面．为了求解的方便，我们经常需要换底，此法在求点到平面的距离时也常用到．
(3)分割法：在求一些不规则的空间图形的体积时，我们可以将其分割成规则的、易于求解的空间图形．(4)补形法：对一些不规则(或难求解)的空间图形，我们可以通过补形，将其补为规则(或易于求解)的空间图形．
1．如图，在三棱锥PABC中，PA＝a，AB＝AC＝2a，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求三棱锥PABC的体积．
[解] ∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为正三角形，设D为BC的中点，连接AD，PD，作PO⊥平面ABC．∵∠PAB＝∠PAC且AB＝AC，∴O∈AD．作PE⊥AB于点E，连接OE，则OE⊥AB．
【例2】 圆台上底的面积为16π cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么圆台的侧面积和体积各是多少？[思路点拨] 解答本题作轴截面可以得到等腰梯形，为了得到高，可将梯形分割为直角三角形和矩形，利用它们方便地解决问题．
[解] 如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为4 cm，于是S圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)．
求台体的体积关键是求高，为此常将有关计算转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算．对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．
2．如图，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．
空间图形的外接圆内切球的问题
1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么两个球的表面积之比为多少？
2．一底面边长为4的正六棱柱，高为6，则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上)的表面积是多少？
【例3】 已知正四面体的棱长为a，四个顶点都在同一个球面上，试求这个球的表面积和体积．[思路点拨] 正四面体的顶点都在同一个球面上，球心和正四面体的中心是同一个点，球心与正四面体各顶点的距离即球的半径．
处理有关空间图形外接球的问题时，要注意球心的位置与空间图形的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总是在空间图形的特殊位置，比如中心、对角线中点等．该类问题的求解就是根据空间图形的相关数据求球的直径或半径．
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