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高中数学苏教版 (2019)必修 第二册14.4 用样本估计总体图文课件ppt
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册14.4 用样本估计总体图文课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了出现次数最多，横坐标，＋a4，从小到大等内容，欢迎下载使用。
14.4.1 用样本估计总体的集中趋势参数
我们知道．统计学的基本思想是运用样本数据估计总体的状况，初中我们学过利用平均数来估计总体的水平，还有哪些方法可以用样本估计总体的集中趋势？
1．众数、中位数和平均数的定义(1)众数：一组数据集合中____________________的数．(2)中位数：一组数据按照从小到大的顺序排列后，如果数据的个数为奇数，处于________位置的数．如果数据的个数是偶数，则取________两个数据的平均数．
(3)平均数：一组数据的______除以数据个数所得到的数．把总体中所有数据的算术平均数称为总体的__________．
2．众数、中位数和平均数的比较
3．众数、中位数、平均数与频率直方图的关系(1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的_________与小矩形的_______的乘积之和近似代替．
(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该______．(3)众数：众数是________小矩形底边的中点所对应的数据．
思考1：中位数一定是样本数据中的一个数吗？提示：不一定．一组数据按大小顺序排列后，如果有奇数个数据，处于中间位置的数是中位数；如果有偶数个数据，则取中间两个数据的平均数是中位数．
思考2：一组数据可以有几个众数？中位数是否也具有相同的结论？提示：一组数据中可能有一个众数，也可能有多个众数，中位数只有唯一一个．
1．一组样本数据为：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，则这组数据的众数和中位数分别为( )A．14,14 B．12,14 C．14,15.5 D．12,15.5
2．某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出60名，其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示，
由此估计此次考试成绩的中位数、众数分别是( )A．73.3,75 B．73.3,80 C．70,70 D．70,75
3．已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________．
平均数、中位数和众数的计算
【例1】 已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞a＞b D．c＞b＞a
(1)求样本数据的中位数和众数时，把数据按照从小到大的顺序排列后，按照其求法进行．(2)求样本数据的平均数的难点在于计算的准确性．
1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是( )A．85分、85分、85分 B．87分、85分、86分C．87分、85分、85分 D．87分、85分、90分
平均数、中位数和众数的实际应用
【例2】 下面是某快餐店所有工作人员一月的收入表(单位：元)：
(2)这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗？为什么？这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员．
利用样本数字特征进行决策时的两个关注点(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值．
2．某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：甲群 13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；乙群 54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
由频率分布直方图求平均数、中位数和众数
1．频率分布直方图中每个小矩形的面积代表什么？频率分布直方图中每个小矩形的面积是样本数据落在这一组的频率．
2．在频率分布直方图中，如何确定众数和中位数？在频率分布直方图中，众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据；中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．
【例3】 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数；
(2)求这次测试数学成绩的中位数．由题干图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.
1．若例3的条件不变，求数学成绩的平均数．
2．若例3条件不变，求80分以下的学生人数．[解] [40,80)分的频率为：(0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7所以80分以下的学生人数为80×0.7＝56
众数、中位数、平均数与频率分布直方图的联系(1)众数：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数：在样本中，有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值．
(3)平均数：用频率分布直方图估计平均数时，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以每个小矩形底边中点的横坐标之和．
1．一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须先排序．2．利用直方图求数字特征：(1)众数是最高的矩形的底边的中点．
(2)中位数左右两边直方图的面积应相等．(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1) 一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的．( )(2) 样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据．( )(3)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变． ( )
[解析] (1)错误．一个样本的平均数和中位数是唯一的．若数据中有两个或两个以上出现得最多，且出现次数一样多，则这些数据都是众数，若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数，可见一个样本的众数可能多个，也可能没有．
(2)错误．样本的平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和．(3)错误．若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数一定会改变，而中位数与众数可能不变．
3．下列数字特征一定会在原始数据中出现的是( )A．众数 B．中位数C．平均数 D．都不会众数是在一组数据中出现次数最多的数，所以一定会在原始数据中出现
4．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.
求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数；[解] 用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，设第二个小矩形底边的一部分长为x，则x×0.04＝0.2，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.
(2)高一参赛学生的平均成绩．依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67所以平均成绩约为67分．
14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数
甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都是7环.
问题 若从二人中选一人去和兄弟部队参加射击大赛，只用平均数能否作出选择？提示 不能.平均数只能说明二人的平均水平相同，还要用方差来判断谁的射击水平更稳定.
知识点一 极差1.定义：一组数据的 与 的差.2.作用：极差较大，数据点较 ；极差较小，数据点较 .
知识点二 方差、标准差
一、方差、标准差的计算例1 (1)设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均数和方差分别为________.
所以y1，y2，…，y10的平均数为1＋a，方差不变仍为4.
(2)从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高：甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.试计算甲、乙两组数据的方差和标准差.
③计算②中差的平方，得到一组新的数据：
跟踪训练1 已知一个样本为1,3,2,5，x，它的平均数是3，则这个样本的标准差是多少？
由方差公式的变形公式得，
例2 设数据x1，x2，…，xn的方差为s2，求下列各组数据的方差.(1)x1＋b，x2＋b，…，xn＋b；
(2)ax1，ax2，…，axn；
(3)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b.
方差的性质(1)数据x1，x2，…，xn与数据x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差相等.(2)若x1，x2，…，xn的方差为s2，则ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.利用这些性质可比较方便地求一些数据的方差.
跟踪训练2 (1)已知一组数据x1，x2，…，x8的平均数是2，方差为6，则数据x1－1，x2－1，…，xn－1的平均数是____，方差是____.(2)已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数是－2，方差是4，则数据2x1＋3,2x2＋3，…，2xn＋3的平均数是_____，方差是____.
三、方差、标准差的应用
例3 甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别为：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别求出两组数据的方差和标准差；
故s甲≈1.7，s乙≈1.1.
(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况.若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？
因此，乙战士比甲战士射击情况稳定.从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛.
即(5.3,8.7)内的有6个，占60%.
即(5.9,8.1)内的有8个，占80%.
在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，越稳定.
跟踪训练3 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)：甲：102 101 99 98 103 98 99乙：110 115 90 85 75 115 110试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定.
1.下列说法正确的是A.在两组数据中，平均数较大的一组方差较大B.平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小C.方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和D.在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高
解析 A中平均数和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；C中求和后还需取平均数；D中方差越大，射击越不平稳，水平越低.
2.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是A.0.1 B.0.3 C.0.5 D.0.7
3.甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中所得的平均环数 及其方差s2如下表所示，则选择决赛的最佳人选应是
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
5.样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均数为1，则样本方差为____.
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：标准差、方差的计算及应用.2.方法归纳：数据分析统计.3.常见误区：混淆方差(标准差)的意义，导致出错.
第14章 统计 14.4.3 用频率直方图估计总体分布、百分位数
某省数学考试结果揭晓，根据规定，0.8%的同学需要补考.问题 那么如何确定需要补考的分数线呢？提示 利用百分位数计算.
1.第p百分位数的定义：一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有k%的数据小于或等于pk，且至少有(100－k)%的数据大于或等于pk.2.计算一组n个数据的大样本的k百分位数的一般步骤如下：第1步 将所有数值按从小到大的顺序排列；
3.四分位数25,50,75这三个百分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中25百分位数也称为下四分位数，75百分位数也称为上四分位数.
例1 为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
一、用频率直方图估计总体分布
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
解 频率直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校高一年级全体学生的达标率约是多少？
频率直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用了样本在某一范围内的频率，可近似地估计在这一范围内的可能性.
跟踪训练1 为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量，随机抽取20台，其无故障连续使用时限(单位：h)统计如下：
(1)作出频率直方图；
解 频率直方图如图所示.
(2)估计8万台电风扇中无故障连续使用时限不低于280 h的有多少台；
解 由题意得8×(0.30＋0.10＋0.05)＝3.6，所以估计8万台电风扇中无故障连续使用时限不低于280 h的有3.6万台.
(3)假设同一组中的数据用该组区间的中点值代替，估计这8万台电风扇的平均无故障连续使用时限.
解 由频率直方图得 ＝190×0.05＋210×0.05＋230×0.10＋250×0.15＋270×0.20＋290×0.30＋310×0.10＋330×0.05＝269(h).故估计这8万台电风扇的平均无故障连续使用时限为269 h.
例2 从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量(单位：kg)如下：7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0，分别求出这组数据的25百分位数，75百分位数，95百分位数.
解 将所有数据从小到大排列，得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，因为共有12个数据，
95百分位数是第12个数据为9.9.
计算一组n个数据的大样本的k百分位数的一般步骤第1步 将所有数值按从小到大的顺序排列；
第3步 如果结果为整数，那么k百分位数位于第k· 位和下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数；第4步 如果k· 不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值即为k百分位数.
跟踪训练2 某歌手电视大奖赛中，七位评委对某选手打出如下分数：7.9,8.1,8.4,8.5,8.5,8.7,9.9，则其50百分位数为_____.
∴其50百分位数是第4个数据为8.5.
三、百分位数的综合应用
例3 教育厅为了了解和掌握2020年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了100名考生的数学成绩(单位：分)，将数据分成了11组，制成了如图所示的频率分布表：
(1)求样本数据的60,80百分位数；
解 从频率分布表得，前六组的频率之和为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＋0.24＋0.15＝0.60，前七组的频率之和为0.60＋0.12＝0.72，前八组的频率之和为0.72＋0.09＝0.81，前九组的频率之和为0.81＋0.11＝0.92.由前六组的频率之和为0.60，得样本数据的60百分位数为110，样本数据的80百分位数一定在第八组[115,120)内，
估计样本数据的80百分位数约为119.4.
(2)估计2020年高考考生的数学成绩的90百分位数.
解 由前八组的频率之和为0.81，前九组的频率之和为0.92，知90百分位数一定在第九组[120,125)内，
估计2020年高考考生的数学成绩的90百分位数为124.1.
由频率直方图求百分位数的方法(1)要注意频率直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率.(2)一般采用方程的思想，设出k百分位数，根据其意义列出方程并求解即可.
跟踪训练3 为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率直方图如图所示，你能估计一下60株树木的50百分位数和75百分位数吗？
解 由题意知分别落在各区间上的频数在[80,90)上为60×0.15＝9，在[90,100)上为60×0.25＝15，在[100,110)上为60×0.3＝18，在[110,120)上为60×0.2＝12，在[120,130]上为60×0.1＝6.从以上数据可知50百分位数一定落在区间[100,110)上，
75百分位数一定落在区间[110,120)上，
综上可知，50百分位数和75百分位数分别估计为103.3 cm，112.5 cm.
1.(多选)已知100个数据的75百分位数是9.3，则下列说法不正确的是A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的 平均数D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的 平均数
所以第75个数据和76个数据的平均数为75百分位数，是9.3，则C正确，其他选项均不对，故选ABD.
2.数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的30百分位数为A.8.4 B.8.5 C.8.6 D.8.3
故30百分位数是第三个数据8.4.
3.党的十八大以来，脱贫攻坚取得显著成绩.2013年到2016年4年间，累计脱贫5 564万人.2017年各地根据实际进行创新，精准、高效地完成了脱贫任务.某地区对当地3 000户家庭的2017年所得年收入情况进行调查统计，年收入的频率直方图如图所示，数据(单位：千元)的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，则年收入不超过6万元的家庭大约有A.900户 B.600户C.300户 D.150户
解析 由频率直方图得，年收入不超过6万元的家庭的频率为(0.005＋0.010)×20＝0.3，所以年收入不超过6万元的家庭大约有0.3×3 000＝900(户).
4.下列一组数据的25百分位数是2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3, B.3.0 C.4.4 D.2.5
解析 把该组数据按照由小到大排列，可得：2.1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6，
则第3个数据3.2是25百分位数.
5.一组样本数据的频率直方图如图所示，试估计此样本数据的50百分位数为_____.
解析 样本数据低于10的比例为(0.08＋0.02)×4＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40＋0.09×4＝0.76，所以此样本数据的50百分位数在[10,14)内，
1.知识清单：(1)k百分位数.(2)四分位数.2.方法归纳：数据分析、数形结合.3.常见误区：求k百分位数时，忽略将数据从小到大排列.
14.4.4 百分位数
班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？数学老师说 “这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？
1．一组数据的k百分位数的含义一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得有_______的数据小于或等于pk.
2．计算有n个数据的大样本的k百分位数的步骤第1步，将所有数值按__________的顺序排列．第2步，计算k·；
第3步，如果结果为整数，那么k百分位数位于第k·位和下一位数之间，通常取两个位置上数值的平均数为k百分位数；第4步，如果k·不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值为k百分位数．
思考：数据1,2,2,3,4的50百分位数是2吗？数据1,2,2,3,4,6的50百分位数是3吗？为什么？这两组数据的中位数又分别是什么？与相应的50百分位数有什么关系？
3．四分位数我们把__________________________________称为四分位数．
中位数、25百分位数和75百分位数
1．下列关于一组数据的50百分位数的说法正确的是( )A．50百分位数就是中位数B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%C．它一定是这组数据中的一个数据D．它适用于总体是离散型的数据A [由百分位数的意义可知选项B，C，D错误．]
2．数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的30百分位数是________．8.4 [因为8×30%＝2.4，故30%分位数是第三项数据8.4.]
3．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的50百分位数为________．
百分位数的计算 【例1】 从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.(1)分别求出这组数据的 25,75,95百分位数．
[解] (1)将所有数据从小到大排列，得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9因为共有12个数据所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4
(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量．因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则15百分位数是第2个数据为7.9.即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8 g,7.9 g.
(3)若用25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．
(3)由(1)可知样本数据的25百分位数是8.15 g, 50百分位数为8.5 g, 95百分位数是9.9 g，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品．
计算一组n个数据的k百分位数的一般步骤(1)排列：按照从小到大排列原始数据；(2)计算i：计算i＝n×k%；(3)定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第k百分位数为第j项数据；若i是整数，则第k百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
1．第p百分位数有什么特点？总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.
2．某组数据的第p百分位数在此组数据中一定存在吗？为什么？[提示] 不一定．因为按照计算第p百分位数的步骤，第2步计算所得的i＝n×p%如果是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数，若第i项与第(i＋1)项数据不相等，则第p百分位数在此组数据中就不存在．
【例2】 某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．
(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式．[解] (1)当0≤x≤200时，y＝0.5x当200400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140
所以y与x之间的函数解析式为
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值．
(2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%，结合频率分布直方图可知解得a＝0.001 5，b＝0.002 0.
(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数．
(3)设75%分位数为m，因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，用电量不超过400千瓦时的占80%，
所以75%分位数为m在[300,400)内所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，解得m＝375千瓦时，即用电量的75%分位数为375千瓦时．
根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算其次估计百分位数在哪一组再应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得
2．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图．
如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70%分位数约为________秒．
求一组数据的百分位数时，掌握其步骤：①按照从小到大排列原始数据；②计算i＝n×p%；③若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为i项与第(i＋1)项数据的平均数．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一组样本数据各不相等，则其 75%分位数大于第25%分位数．( )(2) 若一组样本数据的 10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23．( )(3)若一组样本数据的第24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24．( )
[解析] (1)正确．(2)错误．若一组样本数据的 10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据小于或等于23.(3)正确．
2．下列一组数据的 25百分位数是( )2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6A．3.2 B．3.0 C．4.4 D．2.5[把这组数据按照由小到大排列，可得：2.1,3.0,3.2,3.4,3.8, 4.0,4.2,4.4,5.3,5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2，是第25百分位数．]
3．已知100个数据的 75百分位数是9.3，则下列说法正确的是( )A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
C [因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，选C．]
4．从某校高一新生中随机抽取一个容量为20的身高样本，数据排序如下(单位：cm)，152,155,158, 164, 164, 165, 165, 165, 166, 167, 168, 168, 169, 170, 170, 170, 171，x, 174, 175.
(1) 若x为这组数据的一个众数，求x的取值集合；其余十九个数据152,155,158, 164, 164, 165, 165, 165, 166, 167, 168, 168, 169, 170, 170, 170, 171,174, 175中，数据出现的频数为3的数有165,170，出现频数为2的数据有164,168因为x为这组数据的一个众数，所以x的取值集合{164,165,168,170}．
14.4.1 用样本估计总体的集中趋势参数
我们知道．统计学的基本思想是运用样本数据估计总体的状况，初中我们学过利用平均数来估计总体的水平，还有哪些方法可以用样本估计总体的集中趋势？
1．众数、中位数和平均数的定义(1)众数：一组数据集合中____________________的数．(2)中位数：一组数据按照从小到大的顺序排列后，如果数据的个数为奇数，处于________位置的数．如果数据的个数是偶数，则取________两个数据的平均数．
(3)平均数：一组数据的______除以数据个数所得到的数．把总体中所有数据的算术平均数称为总体的__________．
2．众数、中位数和平均数的比较
3．众数、中位数、平均数与频率直方图的关系(1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的_________与小矩形的_______的乘积之和近似代替．
(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该______．(3)众数：众数是________小矩形底边的中点所对应的数据．
思考1：中位数一定是样本数据中的一个数吗？提示：不一定．一组数据按大小顺序排列后，如果有奇数个数据，处于中间位置的数是中位数；如果有偶数个数据，则取中间两个数据的平均数是中位数．
思考2：一组数据可以有几个众数？中位数是否也具有相同的结论？提示：一组数据中可能有一个众数，也可能有多个众数，中位数只有唯一一个．
1．一组样本数据为：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，则这组数据的众数和中位数分别为( )A．14,14 B．12,14 C．14,15.5 D．12,15.5
2．某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出60名，其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示，
由此估计此次考试成绩的中位数、众数分别是( )A．73.3,75 B．73.3,80 C．70,70 D．70,75
3．已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________．
平均数、中位数和众数的计算
【例1】 已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞a＞b D．c＞b＞a
(1)求样本数据的中位数和众数时，把数据按照从小到大的顺序排列后，按照其求法进行．(2)求样本数据的平均数的难点在于计算的准确性．
1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是( )A．85分、85分、85分 B．87分、85分、86分C．87分、85分、85分 D．87分、85分、90分
平均数、中位数和众数的实际应用
【例2】 下面是某快餐店所有工作人员一月的收入表(单位：元)：
(2)这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗？为什么？这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员．
利用样本数字特征进行决策时的两个关注点(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值．
2．某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：甲群 13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；乙群 54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
由频率分布直方图求平均数、中位数和众数
1．频率分布直方图中每个小矩形的面积代表什么？频率分布直方图中每个小矩形的面积是样本数据落在这一组的频率．
2．在频率分布直方图中，如何确定众数和中位数？在频率分布直方图中，众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据；中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．
【例3】 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数；
(2)求这次测试数学成绩的中位数．由题干图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.
1．若例3的条件不变，求数学成绩的平均数．
2．若例3条件不变，求80分以下的学生人数．[解] [40,80)分的频率为：(0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7所以80分以下的学生人数为80×0.7＝56
众数、中位数、平均数与频率分布直方图的联系(1)众数：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数：在样本中，有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值．
(3)平均数：用频率分布直方图估计平均数时，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以每个小矩形底边中点的横坐标之和．
1．一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须先排序．2．利用直方图求数字特征：(1)众数是最高的矩形的底边的中点．
(2)中位数左右两边直方图的面积应相等．(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1) 一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的．( )(2) 样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据．( )(3)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变． ( )
[解析] (1)错误．一个样本的平均数和中位数是唯一的．若数据中有两个或两个以上出现得最多，且出现次数一样多，则这些数据都是众数，若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数，可见一个样本的众数可能多个，也可能没有．
(2)错误．样本的平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和．(3)错误．若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数一定会改变，而中位数与众数可能不变．
3．下列数字特征一定会在原始数据中出现的是( )A．众数 B．中位数C．平均数 D．都不会众数是在一组数据中出现次数最多的数，所以一定会在原始数据中出现
4．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.
求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数；[解] 用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，设第二个小矩形底边的一部分长为x，则x×0.04＝0.2，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.
(2)高一参赛学生的平均成绩．依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67所以平均成绩约为67分．
14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数
甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都是7环.
问题 若从二人中选一人去和兄弟部队参加射击大赛，只用平均数能否作出选择？提示 不能.平均数只能说明二人的平均水平相同，还要用方差来判断谁的射击水平更稳定.
知识点一 极差1.定义：一组数据的 与 的差.2.作用：极差较大，数据点较 ；极差较小，数据点较 .
知识点二 方差、标准差
一、方差、标准差的计算例1 (1)设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均数和方差分别为________.
所以y1，y2，…，y10的平均数为1＋a，方差不变仍为4.
(2)从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高：甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.试计算甲、乙两组数据的方差和标准差.
③计算②中差的平方，得到一组新的数据：
跟踪训练1 已知一个样本为1,3,2,5，x，它的平均数是3，则这个样本的标准差是多少？
由方差公式的变形公式得，
例2 设数据x1，x2，…，xn的方差为s2，求下列各组数据的方差.(1)x1＋b，x2＋b，…，xn＋b；
(2)ax1，ax2，…，axn；
(3)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b.
方差的性质(1)数据x1，x2，…，xn与数据x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差相等.(2)若x1，x2，…，xn的方差为s2，则ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.利用这些性质可比较方便地求一些数据的方差.
跟踪训练2 (1)已知一组数据x1，x2，…，x8的平均数是2，方差为6，则数据x1－1，x2－1，…，xn－1的平均数是____，方差是____.(2)已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数是－2，方差是4，则数据2x1＋3,2x2＋3，…，2xn＋3的平均数是_____，方差是____.
三、方差、标准差的应用
例3 甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别为：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别求出两组数据的方差和标准差；
故s甲≈1.7，s乙≈1.1.
(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况.若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？
因此，乙战士比甲战士射击情况稳定.从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛.
即(5.3,8.7)内的有6个，占60%.
即(5.9,8.1)内的有8个，占80%.
在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，越稳定.
跟踪训练3 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)：甲：102 101 99 98 103 98 99乙：110 115 90 85 75 115 110试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定.
1.下列说法正确的是A.在两组数据中，平均数较大的一组方差较大B.平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小C.方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和D.在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高
解析 A中平均数和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；C中求和后还需取平均数；D中方差越大，射击越不平稳，水平越低.
2.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是A.0.1 B.0.3 C.0.5 D.0.7
3.甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中所得的平均环数 及其方差s2如下表所示，则选择决赛的最佳人选应是
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
5.样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均数为1，则样本方差为____.
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：标准差、方差的计算及应用.2.方法归纳：数据分析统计.3.常见误区：混淆方差(标准差)的意义，导致出错.
第14章 统计 14.4.3 用频率直方图估计总体分布、百分位数
某省数学考试结果揭晓，根据规定，0.8%的同学需要补考.问题 那么如何确定需要补考的分数线呢？提示 利用百分位数计算.
1.第p百分位数的定义：一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有k%的数据小于或等于pk，且至少有(100－k)%的数据大于或等于pk.2.计算一组n个数据的大样本的k百分位数的一般步骤如下：第1步 将所有数值按从小到大的顺序排列；
3.四分位数25,50,75这三个百分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中25百分位数也称为下四分位数，75百分位数也称为上四分位数.
例1 为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
一、用频率直方图估计总体分布
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
解 频率直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校高一年级全体学生的达标率约是多少？
频率直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用了样本在某一范围内的频率，可近似地估计在这一范围内的可能性.
跟踪训练1 为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量，随机抽取20台，其无故障连续使用时限(单位：h)统计如下：
(1)作出频率直方图；
解 频率直方图如图所示.
(2)估计8万台电风扇中无故障连续使用时限不低于280 h的有多少台；
解 由题意得8×(0.30＋0.10＋0.05)＝3.6，所以估计8万台电风扇中无故障连续使用时限不低于280 h的有3.6万台.
(3)假设同一组中的数据用该组区间的中点值代替，估计这8万台电风扇的平均无故障连续使用时限.
解 由频率直方图得 ＝190×0.05＋210×0.05＋230×0.10＋250×0.15＋270×0.20＋290×0.30＋310×0.10＋330×0.05＝269(h).故估计这8万台电风扇的平均无故障连续使用时限为269 h.
例2 从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量(单位：kg)如下：7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0，分别求出这组数据的25百分位数，75百分位数，95百分位数.
解 将所有数据从小到大排列，得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，因为共有12个数据，
95百分位数是第12个数据为9.9.
计算一组n个数据的大样本的k百分位数的一般步骤第1步 将所有数值按从小到大的顺序排列；
第3步 如果结果为整数，那么k百分位数位于第k· 位和下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数；第4步 如果k· 不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值即为k百分位数.
跟踪训练2 某歌手电视大奖赛中，七位评委对某选手打出如下分数：7.9,8.1,8.4,8.5,8.5,8.7,9.9，则其50百分位数为_____.
∴其50百分位数是第4个数据为8.5.
三、百分位数的综合应用
例3 教育厅为了了解和掌握2020年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了100名考生的数学成绩(单位：分)，将数据分成了11组，制成了如图所示的频率分布表：
(1)求样本数据的60,80百分位数；
解 从频率分布表得，前六组的频率之和为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＋0.24＋0.15＝0.60，前七组的频率之和为0.60＋0.12＝0.72，前八组的频率之和为0.72＋0.09＝0.81，前九组的频率之和为0.81＋0.11＝0.92.由前六组的频率之和为0.60，得样本数据的60百分位数为110，样本数据的80百分位数一定在第八组[115,120)内，
估计样本数据的80百分位数约为119.4.
(2)估计2020年高考考生的数学成绩的90百分位数.
解 由前八组的频率之和为0.81，前九组的频率之和为0.92，知90百分位数一定在第九组[120,125)内，
估计2020年高考考生的数学成绩的90百分位数为124.1.
由频率直方图求百分位数的方法(1)要注意频率直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率.(2)一般采用方程的思想，设出k百分位数，根据其意义列出方程并求解即可.
跟踪训练3 为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率直方图如图所示，你能估计一下60株树木的50百分位数和75百分位数吗？
解 由题意知分别落在各区间上的频数在[80,90)上为60×0.15＝9，在[90,100)上为60×0.25＝15，在[100,110)上为60×0.3＝18，在[110,120)上为60×0.2＝12，在[120,130]上为60×0.1＝6.从以上数据可知50百分位数一定落在区间[100,110)上，
75百分位数一定落在区间[110,120)上，
综上可知，50百分位数和75百分位数分别估计为103.3 cm，112.5 cm.
1.(多选)已知100个数据的75百分位数是9.3，则下列说法不正确的是A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的 平均数D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的 平均数
所以第75个数据和76个数据的平均数为75百分位数，是9.3，则C正确，其他选项均不对，故选ABD.
2.数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的30百分位数为A.8.4 B.8.5 C.8.6 D.8.3
故30百分位数是第三个数据8.4.
3.党的十八大以来，脱贫攻坚取得显著成绩.2013年到2016年4年间，累计脱贫5 564万人.2017年各地根据实际进行创新，精准、高效地完成了脱贫任务.某地区对当地3 000户家庭的2017年所得年收入情况进行调查统计，年收入的频率直方图如图所示，数据(单位：千元)的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，则年收入不超过6万元的家庭大约有A.900户 B.600户C.300户 D.150户
解析 由频率直方图得，年收入不超过6万元的家庭的频率为(0.005＋0.010)×20＝0.3，所以年收入不超过6万元的家庭大约有0.3×3 000＝900(户).
4.下列一组数据的25百分位数是2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3, B.3.0 C.4.4 D.2.5
解析 把该组数据按照由小到大排列，可得：2.1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6，
则第3个数据3.2是25百分位数.
5.一组样本数据的频率直方图如图所示，试估计此样本数据的50百分位数为_____.
解析 样本数据低于10的比例为(0.08＋0.02)×4＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40＋0.09×4＝0.76，所以此样本数据的50百分位数在[10,14)内，
1.知识清单：(1)k百分位数.(2)四分位数.2.方法归纳：数据分析、数形结合.3.常见误区：求k百分位数时，忽略将数据从小到大排列.
14.4.4 百分位数
班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？数学老师说 “这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？
1．一组数据的k百分位数的含义一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得有_______的数据小于或等于pk.
2．计算有n个数据的大样本的k百分位数的步骤第1步，将所有数值按__________的顺序排列．第2步，计算k·；
第3步，如果结果为整数，那么k百分位数位于第k·位和下一位数之间，通常取两个位置上数值的平均数为k百分位数；第4步，如果k·不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值为k百分位数．
思考：数据1,2,2,3,4的50百分位数是2吗？数据1,2,2,3,4,6的50百分位数是3吗？为什么？这两组数据的中位数又分别是什么？与相应的50百分位数有什么关系？
3．四分位数我们把__________________________________称为四分位数．
中位数、25百分位数和75百分位数
1．下列关于一组数据的50百分位数的说法正确的是( )A．50百分位数就是中位数B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%C．它一定是这组数据中的一个数据D．它适用于总体是离散型的数据A [由百分位数的意义可知选项B，C，D错误．]
2．数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的30百分位数是________．8.4 [因为8×30%＝2.4，故30%分位数是第三项数据8.4.]
3．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的50百分位数为________．
百分位数的计算 【例1】 从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.(1)分别求出这组数据的 25,75,95百分位数．
[解] (1)将所有数据从小到大排列，得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9因为共有12个数据所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4
(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量．因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则15百分位数是第2个数据为7.9.即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8 g,7.9 g.
(3)若用25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．
(3)由(1)可知样本数据的25百分位数是8.15 g, 50百分位数为8.5 g, 95百分位数是9.9 g，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品．
计算一组n个数据的k百分位数的一般步骤(1)排列：按照从小到大排列原始数据；(2)计算i：计算i＝n×k%；(3)定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第k百分位数为第j项数据；若i是整数，则第k百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
1．第p百分位数有什么特点？总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.
2．某组数据的第p百分位数在此组数据中一定存在吗？为什么？[提示] 不一定．因为按照计算第p百分位数的步骤，第2步计算所得的i＝n×p%如果是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数，若第i项与第(i＋1)项数据不相等，则第p百分位数在此组数据中就不存在．
【例2】 某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．
(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式．[解] (1)当0≤x≤200时，y＝0.5x当200
所以y与x之间的函数解析式为
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值．
(2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%，结合频率分布直方图可知解得a＝0.001 5，b＝0.002 0.
(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数．
(3)设75%分位数为m，因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，用电量不超过400千瓦时的占80%，
所以75%分位数为m在[300,400)内所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，解得m＝375千瓦时，即用电量的75%分位数为375千瓦时．
根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算其次估计百分位数在哪一组再应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得
2．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图．
如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70%分位数约为________秒．
求一组数据的百分位数时，掌握其步骤：①按照从小到大排列原始数据；②计算i＝n×p%；③若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为i项与第(i＋1)项数据的平均数．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一组样本数据各不相等，则其 75%分位数大于第25%分位数．( )(2) 若一组样本数据的 10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23．( )(3)若一组样本数据的第24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24．( )
[解析] (1)正确．(2)错误．若一组样本数据的 10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据小于或等于23.(3)正确．
2．下列一组数据的 25百分位数是( )2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6A．3.2 B．3.0 C．4.4 D．2.5[把这组数据按照由小到大排列，可得：2.1,3.0,3.2,3.4,3.8, 4.0,4.2,4.4,5.3,5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2，是第25百分位数．]
3．已知100个数据的 75百分位数是9.3，则下列说法正确的是( )A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
C [因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，选C．]
4．从某校高一新生中随机抽取一个容量为20的身高样本，数据排序如下(单位：cm)，152,155,158, 164, 164, 165, 165, 165, 166, 167, 168, 168, 169, 170, 170, 170, 171，x, 174, 175.
(1) 若x为这组数据的一个众数，求x的取值集合；其余十九个数据152,155,158, 164, 164, 165, 165, 165, 166, 167, 168, 168, 169, 170, 170, 170, 171,174, 175中，数据出现的频数为3的数有165,170，出现频数为2的数据有164,168因为x为这组数据的一个众数，所以x的取值集合{164,165,168,170}．
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