2023-2024学年江西省赣州市崇义县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省赣州市崇义县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.《国语⋅楚语》记载：“夫美者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美”.这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐.中国建筑布局一般都是采用均衡对称的方式建造，更具脱俗的美感和生命力.下列建筑物的简图中，不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.地球是人与自然共同生存的家园，在这个家园中，还住着许多常常被人们忽略的微小生命.在冰岛海岸的黄铁矿粘液池中的古菌身上，科学家发现了基因片段，并提取出了最小的生命体，它的直径仅为0.000 000 2米.将数字0.000 000 2用科学记数法表示为( )
A. 2×10−7B. 2×10−8C. 2×10−9D. 20×10−8
3.解方程
，去分母后正确的是( )
A. 3(x+1)=1−x(x−1)
B. 3(x+1)=(x+1)(x−1)−x(x−1)
C. 3(x+1)=(x+1)(x−1)−x(x+1)
D. 3(x−1)=1−x(x+1)
4.长方形的面积是12a2−6ab.若一边长是3a，则另一边长是( )
A. 4a+2bB. 4a−2bC. 2a−4bD. 2a+4b
5.计算：(−2)2024⋅(12)2023的结果为( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
6.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，EF垂直平分BC，交AC于点D，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是( )
A. 12
B. 6
C. 7
D. 8
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.分式2x−1有意义的条件是______．
8.计算：(π+1)0= ______．
9.因式分解：a3−a= ．
10.如图，在△ABC中，∠A=30°，AB=BC，点D，E分别在边AB，AC上，若沿直线DE折叠，点A恰好与点B重合，且CE=6，则AC= ______．
11.如图所示，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足分别为E，S△ABC=60cm2，AB=22cm，BC=18cm，则DE的长是______cm．
12.如图，在△ABC中，AB=12，∠B=30°，∠C<∠B，P是边BC上的动点，连接AP.当△ABP是等腰三角形时，∠APC= ______度.
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)计算：(−a3)2⋅(−a4)3÷(a6)2；
(2)先化简，再求值：(2+a)(2−a)+(a−2)2，其中a=2− 3．
14.(本小题6分)
观察下列关于正整数的等式：
①42−32=1×7
②52−32=2×8
③62−32=3×9
……
根据上述规律，回答下列问题：
(1)请写出第④个等式______；
(2)直接写出你猜想的第m个等式(用含m的式子表示) ______．
15.(本小题6分)
在数学课上，老师给出了这样一道题：计算16m2−16+24−m.以下是小明同学的计算过程．
解：原式=16(m−4)(m+4)−2m−4①
=16(m−4)(m+4)−2(m+4)(m−4)(m+4)②
=16−2m+8(m−4)(m+4)③
(1)以上过程中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______；
(2)以上计算过程是否正确？若正确，请你继续完成本题后续解题过程；若不正确，请指出是哪一步出现了错误，并写出本题完整、正确的解答过程．
16.(本小题6分)
如图，等边△ABC和等边△ECD的边长相等，BC与CD在同一直线上，请根据如下要求，使用无刻度的直尺画图．
(1)在图①中画一个直角三角形；
(2)在图②中画出∠ACE的平分线．
17.(本小题6分)
2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
18.(本小题8分)
为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．
【探究发现】
(1)图中AC与BE的数量关系是，位置关系是．
【初步应用】
(2)若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C=70°．
(1)∠AOB的度数为______；
(2)若∠ABC=60°，求∠DAE的度数．
20.(本小题8分)
如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．

(1)将下面的表格补充完整：
(2)根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α=16°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
21.(本小题9分)
在学习整式乘法时，往往借助几何图形的直观性来解决数学问题．

【发现】(1)观察图1中阴影部分的面积填空：(a+m)(a+n)= ______，
(2)观察图2中阴影部分的面积，其表示的乘法公式是______；
【探究】如图3，用4个完全一样的长为a，宽为b的长方形摆成一个正方形，通过观察阴影部分的面积，写出(a−b)2与(a+b)2，ab之间的等量关系；
【运用】已知(x+y)2=101，(x−y)2=99，求xy及x2+y2的值．
22.(本小题9分)
在分式NM中，若M，N为整式，分母M的次数为a，分子N的次数为b(当N为常数时，b=0)，则称分式NM为(a−b)次分式．例如，x+1x4−x3为三次分式．
(1)请写出一个只含有字母x的二次分式______；
(2)已知A=mx+2x−3，B=nx+3x2−9(其中m，n为常数)．
①若m=0，n=−5，则A·B，A+B，A−B，A2中，化简后是二次分式的为______；
②若A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求2m+n的值．
23.(本小题12分)
如图，△ABC为等边三角形，在∠BAC内作射线AP(∠BAP<30°)，点B关于射线AP的对称点为点D，连接AD，作射线CD交AP于点E，连接BE．
(1)依题意补全图形；
(2)设∠BAP=α，求∠BCE的大小(用含α的代数式表示)；
(3)用等式表示EA，EB，EC之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
直接根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称解答即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】解：0.0000002=2×10−7．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：去分母得：3(x+1)=(x+1)(x−1)−x(x−1)．
故选：B．
分式方程左右两边同乘(x+1)(x−1)去分母得到结果，即可作出判断．
此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵长方形的面积是12a2−6ab，一边长是3a，
∴它的另一边长是：(12a2−6ab)÷3a=12a2÷3a−6ab÷3a=4a−2b．
故选：B．
直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：(−2)2024⋅(12)2023
=2×22023⋅(12)2023
=2×(2×12)2023
=2×1
=2，
故选：C．
将原式变形后运用积的乘方知识进行求解．
此题考查了积的乘方的应用能力，关键是能将原式进行准确变形．
6.【答案】C
【解析】解：∵EF垂直平分BC，
∴点B，C关于EF对称．
∴当点P和点D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长．
∵AB=3，AC=4，
∴△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7，
故选：C．
根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的值最小，即可得到△ABP周长最小．
本题主要考查了，轴对称−最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
7.【答案】x≠1
【解析】解：由2x−1有意义，得
x−1≠0，
解得x≠1
2x−1有意义的条件是x≠1，
故答案为：x≠1．
根据分母不为零分式有意义，可得答案．
本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零分式有意义是解题关键．
8.【答案】1
【解析】解：(π+1)0=1．
故答案为：1．
根据零指数幂的概念求解．
本题考查了零指数幂的知识，解答本题的关键是掌握零指数幂：a0=1(a≠0)．
9.【答案】a(a+1)(a−1)
【解析】【分析】
此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】
解：原式=a(a2−1)=a(a+1)(a−1)，
故答案为a(a+1)(a−1)．
10.【答案】9
【解析】解：根据题意得：AB=BC，
∴∠A=∠C=30°，
∴∠ABC=180°−∠A−∠C=120°，
由折叠可知，
∠EBA=∠A=30°，AE=BE，
∴∠EBC=∠ABC−∠ABE=120°−30°=90°，
∴CE=2BE，
∴BE=12CE=3，
∴AE=3，
∴AC=AE+CE=3+6=9．
故答案为：9．
根据题意，得到∠ABC=180°−∠A−∠C=120°，由折叠的性质，得到∠EBA=∠A=30°，AE=BE，利用直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，得到BE=12CE=3，由此得到答案．
本题考查了翻折问题，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
11.【答案】3
【解析】解：过D作DF⊥BC，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF=DE，
∵S△ABC=60cm2，AB=22cm，BC=18cm，
∴12×22×DE+12×18×DF=60，
∴DE=3，
故答案为：3．
过D作DF⊥BC，根据角平分线得到DF=DE，结合三角形面积即可得到答案．
本题考查角平分线的性质，关键是角平分线性质定理的应用．
12.【答案】60或105或150
【解析】解：当BP=PA时，∠PAB=∠B=30°
则∠APC=∠PAB+∠B=30°+30°=60°；
当BP=BA时，∠APB=180°−∠B2=180°−30°2=75°，
则∠APC=180°−∠APB=180°−75°=105°；
当AP=AB时，∠APB=∠B=30°，
则∠APC=180−APB=180°−30°=150°；
故答案为：60或105或150．
分BP=PA，BP=BA和AP=AB三种情况讨论，根据等腰三角形的性质进行运算解题即可．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和以及三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
13.【答案】解：(1)原式=a6⋅(−a12)÷a12
=−a6；
(2)原式=4−a2+a2−4a+4
=8−4a；
当a=2− 3时，原式=8−4(2− 3)=8−8+4 3=4 3．
【解析】(1)根据幂的混合运算法则，进行计算即可；
(2)先进行平方差公式和完全平方的计算，再合并同类项进行化简，然后代值计算即可．
本题考查整数的混合运算．实数的运算，掌握相关运算法则，正确地计算是解题的关键．
14.【答案】72−32=4×10 (n+3)2−32=n(n+6)
【解析】解：(1)根据题意知，第④个等式为：72−32=4×10，
故答案为：72−32=4×10；
(2)依题意，
∵①42−32=1×7，
②52−32=2×8，
③62−32=3×9，
第④个等式为：72−32=4×10，
……
猜想的第n个等式为(n+3)2−32=n(n+6)，
左边=n2+6n+9−9=n2+6n=n(n+6)=右边，
∴(n+3)2−32=n(n+6)，
故答案为：(n+3)2−32=n(n+6)．
(1)由已知等式知，等式左边为序数与3和的平方与3的平方的差，等式右边即为序数与序数加6的乘积，据此可得；
(2)根据(1)中所得规律可得第n个等式，利用整式的乘法运算即可验证．
本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出等式左边为序数与3和的平方与3的平方的差，等式右边即为序数与序数加6的乘积．
15.【答案】② 分式的基本性质
【解析】解：(1)根据计算步骤可知，第②步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：②，分式的基本性质；
(2)不正确，第③步出现错误，
正确的解题步骤如下：
原式=16(m−4)(m+4)−2m−4
=16(m−4)(m+4)−2(m+4)(m−4)(m+4)
=16−2m−8(m−4)(m+4)
=−2(m−4)(m+4)(m−4)
=−2m+4．
(1)由分式加减法的计算方法进行计算即可，即先通分，再按照同分母分式加减法的计算方法进行计算即可；
(2)先通分，再按照同分母分式加减法的计算方法进行计算即可．
本题考查分式的加减法，掌握分式加减法的计算方法进行计算即可．
16.【答案】解：(1)如图①所示：连接AE，
∵△ABC与△ECD全等且为等边三角形，
∴四边形ACDE为菱形，连接AD，则AD平分∠EDC，
∴∠ADC=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAD=90°，
则△ABD为直角三角形，同理可知，△BED也为直角三角形；
(2)如图②所示：连接AE、BE、AD，则四边形ABCE和四边形ACDE为菱形，
则AC⊥BE，AD⊥CE，设BE，AD相交于F，AC交BE于点G，CE交AD于点H，
则FG⊥AC，FH⊥BC，
由(1)得：∠BEC=∠DAC，∠AEF=∠EAF，
则AF=EF，
在△AFG和△EFH中
∠AGF=∠FHE∠GFA=∠HFEAF=EF，
∴△AFG≌△EFH(AAS)，
∴FG=FH，
由到角两边距离相等的点在角平分线上，可知，连接CF，CF为所作的角平分线．
【解析】(1)直接利用等边三角形的性质结合菱形的性质得出△ABD为直角三角形，同理可知，△BED也为直角三角形；
(2)利用菱形的判定与性质得出△AFG≌△EFH，得出FG=FH，进而结合角平分线的判定得出答案．
此题主要考查了应用设计与作图，正确应用菱形的判定与性质是解题关键．
17.【答案】 解： 设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，
则燃油车平均每公里的加油费为(x+0.6)元，
根据题意，得200x=200x+0.6×4，
解得x=0.2，
经检验，x=0.2是原方程的解，且符合题意．
答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元

【解析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的加油费为(x+0.6)元，根据“电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍列分式方程，解方程即可求解。
18.【答案】解：(1)∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
又∵DE=AD，∠ADC=∠EDB，
在△ADC和△EDB中，
BD=CD∠ADC=∠EDBDE=AD，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴AC=BE，∠EBD=∠ACD，
∴AC/​/BE，
故答案为：AC=BE，AC/​/BE；
(2)由(1)可知△ADC≌△EDB(SAS)，
∴AC=BE，AD=ED，
在△ABE中，AB−BE∴5−3即2<2AD<8，
∴1∴AD的取值范围为1【解析】(1)根据题意可证△ADC≌△EDB(SAS)，得AC=BE，∠EBD=∠ACD，再由平行线的判定即可得出；
(2)由(1)可知，△ADC≌△EDB(SAS)，得AC=BE，AD=ED，再由三角形的三边关系即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、平行线的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定与性质．
19.【答案】解：(1)125°；
(2)∵在△ABC中，AD是高，∠C=70°，∠ABC=60°，
∴∠DAC=90°−∠C=90°−70°=20°，∠BAC=180°−∠ABC−∠C=50°
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠CAE=12∠CAB=25°，
∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=25°−20°=5°，
∴∠DAE=5°．
【解析】【分析】
(1)根据角平分线的定义得出∠OAB+∠OBA=12(∠BAC+∠ABC)，根据三角形内角和定理得出∠BAC+∠ABC=180°−∠C=110°，进而可求解；
(2)根据三角形内角和定理求得∠DAC，∠BAC，根据AE是∠BAC的角平分线，得出∠CAE=12∠CAB=25°，根据∠DAE=∠CAE−∠CAD，即可求解．
本题考查了三角形高线，角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
【解答】
解：(1)解：∵AE、BF是∠BAC、∠ABC的角平分线，
∴∠OAB+∠OBA=12(∠BAC+∠ABC)，
在△ABC中，∠C=70°，
∴∠BAC+∠ABC=180°−∠C=110°，
∴∠AOB=180°−∠OAB−∠OBA=180°−12(∠BAC+∠ABC)=125°．
故答案为：125°；
(2)见答案．
20.【答案】45° 36° 30° (180n)°
【解析】解：(1)由所给图形可知，
当正多边形的边数是4时，
∠α=180°−90°2=45°．
当正多边形的边数是5时，
∠α=180°−108°2=36°．
当正多边形的边数是6时，
∠α=180°−120°2=30°．
…，
当正多边形的边数是n时，
∠α=180°−(180°−360°n)2=(180n)°．
故答案为：45°，36°，30°，(180n)°．
(2)不存在一个正n边形，使其中的∠α=16°．
令(180n)°=16°得，
解得n=11.25，
又因为n为大于等于3的正整数，
所以不存在这样的正n边形，使其中的∠α=16°．
(1)由所给图形依次求出∠α的度数，根据发现规律即可解决问题．
(2)由(1)发现的规律即可解决问题．
本题考查图形变化的规律，能根据所给图形得出正n边形中∠α的度数为(180n)°是解题的关键．
21.【答案】a2+an+am+mn (a+b)2=a2+2ab+b2
【解析】解：(1)(a+m)(a+n)=a2+an+am+mn，
故答案为：a2+an+am+mn；
(2)表示的乘法公式是(a+b)2=a2+2ab+b2；
故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2；
【探究】通过观察阴影部分的面积，等量关系为(a−b)2=(a+b)2−4ab；
【运用】xy=(x+y)2−(x−y)24=101−994=12，
x2+y2=(x+y)2+(x−y)22=101+992=100．
【发现】(1)根据题目中长方形的边长，由面积计算公式可得出乘法；(2)根据正方形的边长和分割成的四块的面积和可得公式；【探究】根据拼图法阴影部分的面积等于大正方形面积减去4个长方形的面积，可得出结论；【运用】根据探究中结论可直接计算得出答案．
本题主要考查乘法公式的应用，掌握乘法公式是解题的关键．
22.【答案】解：(1)xx3−1(答案不唯一)；
(2)①A⋅B，A2；
②解：A+B=mx+2x−3+nx+3x2−9，
∵A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，
∴n=1，结果为mx+2x−3+1x−3=mx+3x−3，
∴m=0，
∴2m+n=0+1=1；
由①知：m=0，n=−5时，也符合条件，此时2m+n=−5；
综上，2m+n的值为1或−5．
【解析】解：(1)根据新定义可得只含有字母x的二次分式xx3−1(答案不唯一)；
(2)①当m=0，n=−5时，A=mx+2x−3=2x−3，B=nx+3x2−9=−5x+3x2−9
∴A·B=2x−3·−5x+3x2−9=−10x+6(x−3)(x2−9)=−10x+6x3−3x2−9x+27，
分母是3次，分子是1次，所以A·B是二次分式；
A+B=2x−3+−5x+3x2−9=2(x+3)−5x+3(x+3)(x−3)=−3x+9(x−3)(x+3)=−3(x−3)(x−3)(x+3)=−3x+3，
分母是1次，分子是常数，所以A+B是一次分式，不是二次分式；
A−B=2x−3−−5x+3(x+3)(x−3)=2(x+3)−(−5x+3)(x−3)(x+3)=2x+6+5x−3(x−3)(x+3)=7x+3x2−9，
分母是2次，分子是一次，所以A+B是一次分式，不是二次分式；
A2=(2x−3)2=4x2−6x+9，是二次分式；
故答案为：A⋅B，A2；
②见答案．
(1)根据材料中的新定义求解；
(2)①把m=0，n=−5代入可计算A和B的值，分别代入A⋅B，A+B，A−B，A2中计算，并根据新定义判断是否是二次分式；
②计算A+B并根据一次分式的定义可得m和n的值，代入2m+n中计算求值即可．
本题考查了新定义和分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．
23.【答案】解：(1)补全图形如图1所示，

(2)∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC，
∵点B关于射线AP的对称点为点D，
∴∠BAP=∠DAP=α，AB=AD，
∴∠CAD=∠BAC−∠BAP−∠DAP=60°−2α，AD=AC，
∴∠ACD=(180°−∠CAD)=[180°−(60°−2α)]=60°+α，
∴∠BCE=∠ACD−∠ACB=α；
(3)EA=EB+EC，
证明：如图2，在EA上取一点F，使EF=EB，

由(2)知，∠ACD=60°+∠BAP，
∵∠CAE=60°−∠BAP，
∴∠ACD+∠CAE=120°，
∴∠AEC=60°，
由折叠知，∠AEB=∠AEC=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BF=BE，∠EBF=60°，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABC=∠EBF=60°，
∴∠ABF=∠CBE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CB，
由(2)知，∠BAP=∠BCE，
∴△ABF≌△CBE(ASA)，
∴AF=CE，
∴EA=EF+AF=EB+CE．
【解析】(1)依题意补全图形；
(2)先得出∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC，再得出∠BAP=∠DAP=α，AB=AD，进而得出∠CAD=60°−2α，AD=AC，得出∠ACD=60°+α，即可得出结论；
(3)如图2，在EA上取一点F，使EF=EB，先判断出△BEF是等边三角形，得出BF=BE，∠EBF=60°，再判断出△ABF≌△CBE(ASA)，得出AF=CE，即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了对称性，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解(3)的关键．正多边形的边数
3
4
5
6
…
n
∠α的度数
60°
______
______
______
…
______