2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡集团“觉园杯”七年级（下）创新选拔培数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡集团“觉园杯”七年级（下）创新选拔培数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80=2021，八进制数3747换算成二进制数是______．
2.设2023=1a+1b+1c+1d，其中a、b、c、d都是正整数，则a+b+c+d= ______．
3.已知x1，x2，…，xn中xi(i=1,2,…,n)的数值只能取−2，0，1中的一个，且满足x1+x2+…+xn=−17，x12+x22+…+xn2=43，则(x13+x23+…+xn3)2的值为______．
4.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，扇形ABE半径AE=6，扇形CBF的半径CB=4，则阴影部分的面积为______．
5.[29×143]+[29×243]+…+[29×4143]+[29×4243]的值为______.{其中[x]表示不超过x的最大整数}
6.已知非负实数a，b，c满足a−12=b−34=5−c6，设S=a+2b+3c的最大值为m，最小值为n，则nm的值为______．
7.已知凸四边形ABCD中，AC，BD中点分别为E，F，EF交AB于点H，交CD于点G.若△DAG，△ABG，△BCG的面积分别为2，5，4，则△CDH的面积为______．
8.方程：x+21013+x1012+x−21011+x−41010+…+x−20202=2024的解为______．
9.32023除以26的余数是______．
10.把2023表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示方法有______种.
11.图中的三角形都是等边三角形，甲三角形的边长是24.7，乙三角形的边长是26.则丙三角形的边长是______．
12.如图，AB=AC=5，BC=6，BD=AE，AF⊥DE，则AFDE= ______．
13.已知正整数n，使得对任意正整数x、y，z，都有n|(x2−y2)(y2−z2)(z2−x2)，则n的最大值为______.(a|b表示a整除b)
14.若270n是100×99×98×…×3×2×1的因数，则n最大可以取______．
15.已知y=x3+ax2+bx+c，当x=5时，y=10；x=6时，y=12；x=7时，y=14.则当x=4时，y的值为______．
二、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题16分)
解方程：a2=1−abb2=3−ab．
17.(本小题16分)
18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种多面体模型，解答下列问题

(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是______．
(2)如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形的个数．
18.(本小题16分)
一个各个数位上的数字均不为零的四位正整数，若其千位数字与十位数字之和等于8，百位数字与个位数字之和也等于8，则称这个四位正整数为“乐群数”．
例如：1276.∵1+7=8，2+6=8，∴1+7=2+6=8，∴1276是“乐群数”．
又如：3254，∵3+5=8，2+4=6≠8，∴3254不是“乐群数”．
(1)请判断：1473 ______“乐群数”，6523 ______“乐群数”(填“是”或“不是”)；
(2)已知一个“乐群数”的千位比百位数字小3，把它的千位和百位数字分别与十位和个位数字对调，对调后得到的新数比原数大3762，求这个“乐群数”；
(3)是否存在千位数字比百位数字小，且被7除余3的“乐群数”？若存在，请求出满足条件的“乐群数”；若不存在，请说明理由．
19.(本小题16分)
如图，凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于点F和G，已知BF：FD=5：4，AG：GD=1：1，CF：FG：GE=2：2：3，S△CFD和S△ABE分别为△CFD和△ABE的面积，求S△CFD：S△ABE的值．
20.(本小题16分)
设a，b，c满足a+b+c=1，ab+bc+ca=−5，abc=1，求(a2−4ab+b2)(b2−4bc+c2)(c2−4ca+a2)的值．
答案和解析
1.【答案】2023
【解析】解：∵(3747)8−(3745)8=2，
∴2021+2=2023．
故答案为：2023．
数字无论在何进制下，它们的差是不变的，根据八进制数3745与3747的差即可求解．
本题主要考查了数的进制，根据数字无论在和进制下的差不变来求解是本题解题的关键．
2.【答案】10
【解析】解：∵a，b，c，d均为正整数，
∴1d，1c+1d，1b+1c+1d都是真分数，
∴a+1b+1c+1d=2320=1+320，
∴a=1，b+1c+1d=203=6+23，
∴b=6，c+1d=32=1+12，
∴c=1，d=2，
∴a+b+c+d=1+6+1+2=10．
故答案为：10．
因为a，b，c，d都是正整数，所以1d，1c+1d，1b+1c+1d都是真分数，所以a是2320的整数部分，依次类推可以求出b，c，d，然后求和即可．
本题主要考查了整数问题以及繁分数，根据a，b，c，d是正整数判断出1d，1c+1d，1b+1c+1d都是真分数，是本题解题的关键．
3.【答案】5929
【解析】解：∵当xi=1或0时，xi=xi2=xi3，
∴xi=−2的个数为：(43+17)÷(4+2)=10，
∴x13+x23+…+xn3=−17+10×{−8−(−2)}=−77，
∴(x13+x23+…+xn3)2=5929．
故答案为：5929．
当xi=1或0时，xi=xi2=xi3，所以x1+x2+…+xn、x12+x22+…+xn2、x13+x23+…+xn3值的变化只与xi=−2的个数有关，根据前两个式子的差可以求出xi=−2的个数，然后求出第三个式子的值，平方即可．
本题主要考查了数字问题，根据0和1的平方和立方数值不变，推出−2的个数是本题解题的关键．
4.【答案】13π−24
【解析】解：14×6×6×π−(4×6−14×4×4×π)
=9π−(24−4π)
=13π−24．
答：阴影部分的面积为13π−24．
故答案为：13π−24．
图形ABFD的面积为矩形ABCD的面积减去扇形CBF的面积，阴影部分的面积等于扇形ABE的面积减去图形ABFD的面积，据此解答．
本题主要考查了组合图形的面积，将不规则的图形面积转化为可求的规则图形面积是本题解题的关键．
5.【答案】588
【解析】解：由题意可知：29×143−1