北师大版高中数学必修第二册 第1章 §3 弧度制 PPT课件

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弧度制温故知新1.了解弧度制，掌握角度与弧度的换算.（重点）2.能够理解弧度的概念. （难点）学习目标弧度概念在几何的度量中，首先研究了线段长度的度量，其做法是:引入一个单位线段，以它为单位来度量其他线段或曲线(如圆周)的长度.在单位线段的基础上，又引进了以单位线段为边长的单位正方形作为面积的度量单位，以单位线段为棱长的单位立方体作为体积的度量单位，并用这些度量单位度量图形的面积和体积.对角的度量，选取一个周角，把它360等分而得到角的度量单位，用这个度量单位去度量其他角的大小.显然，此时角的度量单位的确定与单位线段无关. 由此可见，在几何图形的各种度量中.除了角度之外.其他的度量(长度、面积、体积等)都是以单位线段为基础的. 能否用线段的单位长度来建立角的度量单位，从而把几何度量都建立在一个共同的基础(长度的度量)上呢? 以角的顶点为圆心画单位圆(半径为单位长度1的圆)，用这个角在此圆上所对应的弧的长度来度量这个角.问题提出 在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用符号rad表示，读作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不写).在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数.这种以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制.抽象概括 角度制与弧度制的区别 如图①，在单位圆中，AB的长等于1，∠AOB就是1 rad的角；如图②，在单位圆中，CD的长等于2，∠COD就是-2 rad的角.角的正负由角的终边的旋转方向决定.·OBA11 radOCD22 rad一般地，弧度与实数一一对应.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数.零角的弧度数是0.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角）与它对应.正角零角负角正实数 0负实数 角可以分别用角度和弧度度量，角度和弧度之间有什么关系呢?弧度概念是由英国数学家科兹 (Roger Cotes，1682-1716)在1714年提出的.作为一种对角的度量方法，弧度制使三角函数的研究大为简化.弧度与角度的换算问题提出根据弧度的定义，可知根据需要，可以用(1.1)式和(1.2)式进行弧度与角度的换算. 分析理解 对于任意角，每一个角β都可以表示成 β =α+k·360°(0° ≤ α≤360°，k∈Z).而360°角对应2π弧度角，因此只需把角α用弧度角α′表示，就可以得到角β的弧度角β′ ，即 β′ =α+2kα (0 ≤ α′ ＜2π , k∈ Z).例1:(1)把45°化成弧度；(2)把-600°化成弧度.   下面是一些特殊角的度数与弧度数的对应表（如表）：           对于0°≤α＜360°之外的特殊角，不难得到它们的弧度数.例如，420°=360°+60°=( ) rad= rad.  考虑如图的模型. 单位圆M与数轴相切于原点O，把数轴看成一个“皮尺”.对于任意一个正数α，它对应正半轴上的点A，把线段OA按逆时针方向缠绕到圆M上，点A对应单位圆上点A′，这样就得到一个以点M为顶点，以MO为始边，经过逆时针旋转以MA′，为终边的圆心角α，该角的弧度数为正数α. 对于任意一个负数b，如何利用“皮尺”缠绕的方法，在上述的圆M中找到与弧度数为b相对应的圆心角β?思考交流 在半径为r的圆中，若圆心角A为n°，则它对应的弧长 .又此时角A的弧度数 . 因此l=|α|r，即 即圆心角的弧度数的绝对值等于该角所对的弧长与半径之比.    在半径为r的圆中，若圆心角A为n°，则它对应的弧长 .又此时角A的弧度数 . 因此l=|α|r，即    已知扇形的圆心角为120°，面积为 ，则该扇形所在圆的半径为______. 解：∵120°= ，  ∴S扇形=故r=2.2综合练习在直径长为20cm的圆中，圆心角为165°时所对的弧长为______cm.解：∵165°=     本课小结