高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义备课课件ppt

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1. 能根据单位圆中正、余弦函数的定义结合单位圆说出它们的基本性质. （重点）2. 能利用正、余弦函数的基本性质解决相关问题.（难点）
在初中，我们借助直角三角形学习了锐角α的正弦函数、余弦函数.下面我们在平面直角坐标系中，利用单位圆(以后常设单位圆的圆心在原点)进一步研究锐角α的正弦函数和余弦函数.
锐角的正弦函数和余弦函数
如图，对于锐角α，角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，故u是由锐角α唯一确定的，v也是由锐角α唯一确定的.过点P向x轴作垂线，垂足为M.在Rt△OMP中，OP=1，OM=u，MP=v，有
由此可知，对于锐角α来说，点P的纵坐标v是该角的正弦值，点P的横坐标u是该角的余弦值.
如图，给定任意角α ，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v) ，点P的纵坐标v 、横坐标u都是唯一确定的.仿照上述锐角三角函数的定义，把点P的纵坐标v叫作角α的正弦值，把点P的横坐标u叫作角α的余弦值.
任意角的正弦函数和余弦函数
于是，在弧度意义下，对于a ∈R, 称 v = sinα 为任意角α的正弦函数，u = csα 为任意角a 的余弦函数.
如果角α的大小用弧度表示，那么，正弦v=sinα 、余弦u=csα分别是以角α的大小为自变量，以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的函数，其定义域为全体实数，其值域为实数的子集合.这样定义的正弦函数和余弦函数就与高中引入的函数概念一致了.
例1：已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x， y).求角α的正弦函数值和余弦函数数值.
解：先考虑角α的终边不在坐标轴上的情形.如图.设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的坐标为(csα ，sinα)，且OP=1.
因为点P和点Q在同一象限，所以sinα和y的符号相同，于是得到sinα= 同理，csα=
当角α的终边在坐标轴上时，容易验证上述等式仍然成立.
设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则
例2：在单位圆中，(1)画出角α；(2)求角α的正弦函数值和余弦函数值.
解：(2)设点P(u，v)，则
在单位圆中，画出下列各特珠角，求各角终边与单位圆的交点坐标(u，v)，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入表中:
观察此表格中的数据，你能发现函数v=sinα和u=csα的变化有什么特点吗？
若角α的终边经过点P（5α，-12α）（α＜0），则sinα=_____.
解：∵角α的终边经过点P（5α，-12α）（α＜0），则