2023-2024学年山东省烟台市福山区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省烟台市福山区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. ．D.
2.把x2y−y分解因式，正确的是( )
A. y(x2−1)B. y(x+1)C. y(x−1)D. y(x+1)(x−1)
3.若分式x+2x−2有意义时，则x的取值范围是( )
A. x≠2B. x≠0C. x≠−2D. x≠±2
4.在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图，则这40名同学购买课外书花费的众数和中位数分别为( )
A. 30元，30元B. 30元，50元C. 50元，50元D. 50元，80元
5.若正n边形的每个内角都是120°，则n的值是( )
A. 3B. 4C. 6D. 8
6.在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=100°，则∠D等于( )
A. 50°B. 80°C. 100°D. 130°
7.平面直角坐标系中，将点A(1,2)绕点P(−1,1)顺时针旋转90°到点A′处，则点的坐标为( )
A. (−2,3)B. (0,−1)C. (1,0)D. (−3,0)
8.若关于x的分式方程2x−3+mx−3=1有增根，则m的值为( )
A. −3B. −2C. 2D. 3
9.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,3)，△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，且点A的对应点在直线y=32x上一点，则点B与其对应点B′间的距离( )
A. 94B. 1C. 32D. 2
10.如图，点E，F分别是菱形ABCD边AD，CD的中点，EG⊥BC交CB的延长线于点G.若∠GEF=66°，则∠A的度数是( )
A. 24°
B. 33°
C. 48°
D. 66°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解：−a+2a2−a3= ______．
12.有一组数据如下：92，93，a，94，95，它们的平均数是93，则这组数据的方差是______．
13.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转100°得到△EDC.若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=35°，∠ADC的度数为______．
14.在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中点，AC=10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=1，若∠AFC=90°，则BC的长度为______．
15.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，P是BC上任意一点，△ABC的面积为S，那么△PDE面积为______．
16.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE⊥CF于点G，若BC=8，AF=2，则GF的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1)(−2ab2)3×(2ba)2÷(−2ba)2；
(2)1÷(3a2b÷9a4b⋅2b3a)．
18.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF.判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
19.(本小题7分)
先化简(1+3x−1)÷x2+4x+42x−2，再从−4，−2，1中选一个合适的数作为x的值代入求值．
20.(本小题7分)
下面是某同学对多项式(x2−4x)(x2−4x+8)+16进行因式分解的过程．
解：设x2−4x=m，
原式=m(m+8)+16=m2+8m+16=(m+4)2，
=(x2−4x+4)2=[(x−2)2]2=(x−2)4．
请根据上述材料将下列多项式进行因式分解：
(1)(x2−2x)(x2−2x+2)+1；
(2)(4a2−12a+6)(4a2−12a+12)+9．
21.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G，AD=6，EF=3.求AF的长度．
22.(本小题9分)
列方程解应用题
春节临近，某超市预购进甲、乙两种礼盒，用400元购进的甲种礼盒的数量是用240元购进的乙种礼盒的数量的2倍，每件乙种礼盒的进价比甲种礼盒的进价贵10元.求甲、乙两种礼盒每件的进价．
23.(本小题9分)
如图，M正方形ABCD的边BC上一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．

(1)如图1，写出线段AM，AD和MC之间的数量关系______；
(2)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断(1)中的关系式是否成立.若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
24.(本小题12分)
如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB和CD的中点，连接DE和BF，过点A作AG⊥BC交CB的延长线于点G．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)当点B是CG中点时，求证：四边形BEDF是菱形．
(3)在(2)的条件下，不增加辅助线，▱ABCD再增加一个什么条件，能使四边形BEDF是正方形？写出这个条件．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】D
【解析】解：原式=y(x2−1)=y(x+1)(x−1)．
故选：D．
先提取公因式y，然后利用平方差公式进行分解．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵分式x+2x−2有意义，
∴x−2≠0，
解得x≠2．
故选：A．
根据分式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵购买课外书花费30元的有12人，人数最多，
∴众数是30元；
把这些数从小到大排列，最中间的数是20和21个数的平均数，
则中位数是50+502=50元；
故选：B．
众数就是出现次数最多的数，据此即可判断；中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义判断．
本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
5.【答案】C
【解析】解：∵正n边形的每个内角都是120°，
∴每一个外角都是180°−120°=60°，
∵多边形外角和为360°，
∴多边形的边数为360÷60=6，
故选：C．
根据内角度数先算出外角度数，然后再根据外角和计算出边数即可．
此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是掌握多边形的外角和等于360度．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB/​/CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A+∠C=100°，
∴∠A=50°，
∴∠D=180°−∠A=130°．
故选：D．
由在▱ABCD中，若∠A+∠C=100°，根据平行四边形的性质，可求得∠A的度数，又由平行线的性质，求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
7.【答案】B
【解析】解：建立平面直角坐标系如图所示，点A′的坐标为(0,−1)．
故选B．
建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点A′的坐标即可．
本题考查了坐标与图形变化−旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
8.【答案】B
【解析】解：去分母得：2+m=x−3，
由分式方程有增根，得到x−3=0，即x=3，
把x=3代入2+m=x−3得，2+m=3−3，
解得m=−2．
故选：B．
增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
此题考查了分式方程的增根，理解增根概念是关键．
9.【答案】D
【解析】解：因为△O′A′B′由△OAB沿x轴向右平移后得到，
所以点A和点A′的纵坐标相等，
则yA′=yA=3．
将yA′=3代入y=32x得，
xA′=2，
所以点A′的坐标为(2,3)．
因为2−0=2，
所以△O′A′B′由△OAB沿x轴向右平移2个单位后得到，
所以点B与其对应点B′间的距离为2．
故选：D．
根据平移的性质可得出点A′的纵坐标为3，再求出点A′的横坐标可得出平移的距离，据此即可解决问题．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征及平移的性质，通过计算求出点A′的坐标进而得出平移的距离是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，∠BAD=2∠DAC，
∵EG⊥BC，
∴EG⊥AD，
∴∠DEF+∠FEG=90°，
∵∠GEF=66°，
∴∠DEF=24°，
∵E，F分别是AD，CD的中点，
∴EF是△DAC的中位线，
∴EF/​/AC，
∴∠DAC=∠DEF=24°，
∴∠BAD=2×24°=48°，
故选：C．
连接AC，由菱形的性质推出AD//BC，∠BAD=2∠DAC，判定EG⊥AD，得到∠DEF+∠FEG=90°，求出∠DEF=24°，由三角形中位线定理推出EF/​/AC，得到∠DAC=∠DEF=24°，即可求出∠BAD=2×24°=48°．
本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，关键是由菱形的性质得到∠BAD=2∠DAC，由三角形中位线定理推出EF/​/AC，得到∠DAC=∠DEF．
11.【答案】−a(a−1)2
【解析】解：−a+2a2−a3
=−a(a2−2a+1)--(提取公因式)
=−a(a−1)2.--(完全平方公式)
故答案为：−a(a−1)2．
先提取公因式−a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
12.【答案】2
【解析】解：由题意知15×(92+93+a+94+95)=93，
解得a=91，
则这组数据的方差为15×[(91−93)2+(92−93)2+(93−93)2+(94−93)2+(95−93)2]=2，
故答案为：2．
先根据算术平均数的定义求出a的值，再根据方差的定义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握算术平均数和方差的定义．
13.【答案】75°
【解析】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转100°得到△EDC．
∴AC=AE，∠ACE=100°，∠ACB=∠ECD=35°，
∴∠CAE=∠E=40°，
∴∠ADC=∠E+∠ECD=40°+35°=75°，
故答案为：75°．
根据旋转的性质可得AC=AE，∠ACE=100°，∠ACB=∠ECD=35°，即可求出∠E，再根据外角的性质即可求出∠ADC．
本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
14.【答案】12
【解析】解：如图，∵∠AFC=90°，E是AC的中点，
∴EF=12AC=5，
∴DE=1+5=6，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴BC=2DE=12，
故答案为：12．
如图，首先证明EF=5，继而得到DE=6，再证明DE为△ABC的中位线，即可解决问题．
本题主要考查了三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点是解题的基础和关键．
15.【答案】14S
【解析】解：如图，作AH⊥BC于H，交DE于G，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE/​/BC，DE=12BC，
∴AG=GH=12AH，
∴S△PDES△ABC=12DE⋅GH12BC⋅AH=14，
∵△ABC的面积为S，
∴△PDE面积为14S，
故答案为：14S.
作AH⊥BC于H，交DE于G，根据三角形中位线定理得出DE/​/BC，DE=12BC，进而证得AG=GH=12AH，然后利用三角形面积公式即可求得结论．
本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积，解题的关键是利用中位线定理，证得DE是BC的一半，GH是AH的一半．
16.【答案】5.2
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，BC=8，
∴∠CDF=∠BCE=90°，AD=DC=BC=8，
又∵DE=AF=2，
∴CE=DF=6，
∴在△CDF和△BCE中，
CD=BC∠CDF=∠BCEDF=CE，
∴△CDF≌△BCE(SAS)，
∴∠DCF=∠CBE，
∵∠DCF+∠BCF=90°，
∴∠CBE+∠BCF=90°，
∴∠BGC=90°，
∵在Rt△BCE中，BC=8，CE=6，
∴BE=10，
∴BE⋅CG=BC⋅CE，
∴CG=BC⋅CEBE=8×610=245，
∵△CDF≌△BCE(SAS)，
∴CF=BE=10，
∴GF=CF−CG=10−245=5.2．
故答案为：5.2．
先由正方形的性质及BC=8，得出∠CDF=∠BCE=90°，AD=DC=BC，再结合DE=AF=2，得出CE=DF=6，从而可判定△CDF≌△BCE(SAS)，然后证得∠BGC=90°，由面积法及勾股定理求得BE、CG的长，最后用CF的长的长减去CG的长即可得出答案．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=8a3b6⋅4b2a2÷4b2a2
=8a3b6⋅4b2a2⋅a24b2
=8a3b6；
(2)原式=1÷(3a2b⋅4b9a⋅2b3a)
=1÷4b9a
=9a4b．
【解析】(1)先进行乘方运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可；
(2)先把括号内的除法运算化为乘法运算，再约分得到原式=1÷4b9a，然后进行除法运算．
本题考查了分式的乘除法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；分式的乘方是把分子、分母分别乘方．
18.【答案】四边形ACDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≌△CDE(ASA)，
∴CD=FA，
又∵CD/​/AF，
∴四边形ACDF是平行四边形．
【解析】利用平行四边形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD/​/AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
19.【答案】解：(1+3x−1)÷x2+4x+42x−2
=x+2x−1÷x2+4x+42x−2
=x+2x−1⋅2x−2x2+4x+4
=x+2x−1⋅2(x−1)(x+2)2
=2x+2，
∵x−1≠0，x2+4x+4≠0，
∴x≠1，x≠−2，
∴x=−4，
当x=−4时，原式=2−4+2=−1．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，然后从−4，−2，1中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设x2−2x=m，
则(x2−2x)(x2−2x+2)+1
=m(m+2)+1
=m2+2m+1
=(m+1)2
=(x2−2x+1)2
=[(x−1)2]2
=(x−1)4；
(2)设4a2−12a=m，
则(4a2−12a+6)(4a2−12a+12)+9
=(m+6)(m+12)+9
=m2+18m+72+9
=m2+18m+81
=(m+9)2
=(4a2−12a+9)2
=[(2a−3)2]2
=(2a−3)4．
【解析】(1)仿照题中给出的方法解答即可；
(2)仿照题中给出的方法解答即可．
本题考查了因式分解，理解题意，按照题中给出的方法分解因式是解题的关键．
21.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理可得：DF=CD，
∴AE=DF，
即AF+EF=DE+EF，
∴AF=DE，
∵AD=6，EF=3，
∴AF+DE=AD−EF=3，
∴AF=32．
【解析】根据平行四边形的性质可得：AB=CD，AD//BC，根据平行线性质和角平分线性质求出∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，同理求出DF=CD，即可证明AE=DF，再根据线段的和差求解即可．
本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线性质，等腰三角形的判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．
22.【答案】解：设甲种礼盒的进价是x元/盒，则乙种礼盒的进价是(x+10)元/盒，
根据题意得：400x=240x+10×2，
解得：x=50，
经检验，x=50是所列方程的解，且符合题意，
∴x+10=50+10=60(元/盒)．
答：甲种礼盒的进价是50元/盒，乙种礼盒的进价是60元/盒．
【解析】设甲种礼盒的进价是x元/盒，则乙种礼盒的进价是(x+10)元/盒，利用数量=总价÷单价，结合用400元购进的甲种礼盒的数量是用240元购进的乙种礼盒的数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲种礼盒的进价，再将其代入(x+10)中，即可求出乙种礼盒的进价．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】AM=AD+MC
【解析】(1)解：AM=AD+MC．
延长AE、BC交于点N，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠ENC，
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE，
∵∠ENC=∠MAE，
∴MA=MN，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△NCE中，
∠DAE=∠ENC∠AED=∠NECDE=CE，
∴△ADE≌△NCE(AAS)，
∴AD=NC，
∴MA=MN=NC+MC=AD+MC，
故答案为：AM=AD+MC．
(2)结论：AM=AD+MC仍然成立，
证明：延长AE、BC交于点P，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠EPC，
∵AE平分∠DAM，
∴∠EPC=∠MAE，
∴MA=MP，
在△ADE和△PCE中，
∠DAE=∠CPE∠AED=∠PECDE=CE，
∴△ADE≌△PCE(AAS)，
∴AD=PC，
∴MA=MP=PC+MC=AD+MC．
(1)从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，证明△ADE≌△NCE，从而有AD=CN，只需证明AM=NM即可；
(2)延长AE、BC交于点P，证MA=MP，再证AD=PC即可．
本题是考查正方形及矩形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定等知识，添加辅助线，构造全等三角形是解决这道题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB/​/CD且AB=CD，
∵E，F分别是AB和CD的中点
∴BE=12AB，DF=12CD，
∴BE=DF，
又∵AB/​/CD，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)证明：连接BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC且AD=BC，
∴BG=BC，
∴AD=BG，
又AD//BC，
∴四边形ADBG是平行四边形，
∵AG⊥BC，
∴∠G=90°，
∴∠ADB=∠G=90°
又∵E是AB中点
∴DE=BE=12AB，
由(1)得：四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形；
(3)解：需要添加的条件是∠C=45°，
理由：由(2)知，四边形ADBG是平行四边形，
∵∠G=90°，
∴四边形ADBG是矩形，
∴∠ABG=90°，
∴∠DBC=90°，
∵∠C=45°，
∴△DBC是等腰直角三角形，
∵F是CD的中点，
∴BF⊥CD，
∴∠BFD=90°，
∴四边形BEDF是正方形．
【解析】(1)由已知条件易证BE=DF，进而可证明四边形BEDF是平行四边形；
(2)连接BD，可证四边形ADBG是平行四边形，可得DE=BE=12AB，由(1)得：四边形BEDF是平行四边形，由此可证四边形BEDF是菱形；
(3)根据正方形的判定与性质即可求解．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．