2023-2024学年四川省绵阳市高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省绵阳市高二（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线2x−3y+1=0的一个方向向量是( )
A. (2,−3)B. (2,3)C. (−3,2)D. (3,2)
2.抛物线x2=4y的准线方程为
( )
A. x=1B. x=−1C. y=1D. y=−1
3.已知点P是点A(1,2,−1)在坐标平面Oxy内的射影，则|OP|=( )
A. 3B. 5C. 2D. 6
4.已知A(−2,0)，B(4,a)两点到直线l：x−y+1=0的距离相等，则a=( )
A. 4B. 6C. 2D. 4或6
5.科技博览会需从5个女生(分别记为A，B，C，D，E)中选2人参加志愿者服务，已知这5个人被选中的机会相等，则A被选中的概率为( )
A. 0.25B. 0.4C. 0.5D. 0.75
6.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC1=3MC1，若AB=a，AD=b，AA1=c，则MD1=( )
A. 13b+13c−23a
B. 13a−b−c
C. 13a−23b−23c
D. a+13b−13c
7.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一定点，P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A. 椭圆
B. 圆
C. 双曲线
D. 直线
8.如图，已知菱形ABCD所在平面与矩形ACEF所在平面相互垂直，且BD=2AF，M为线段EF的中点.则直线DM与BE的所成的角为( )
A. π3
B. π2
C. 2π3
D. 3π4
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于空间向量的命题中，正确的有( )
A. 将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面
B. 若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a//b
C. 与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
D. 若OA，OB，OC为空间的一组基底，且OD=OA+OB+OC，则A，B，C，D四点共面
10.如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下面叙述正确的是( )
A. 这组数据是近似对称的B. 数据中可能有极端大的值
C. 数据中可能有异常值D. 数据中众数可能和中位数相同
11.某电商平台对去年春节期间消费的前1000名网购者，按性别等比例分层抽样100名，并对其性别(M(男)、F(女))及消费金额(A(消费金额>400)，B(200<消费金额≤400)，C(0<消费金额≤200))进行调查分析，得到如人数统计表，则下列选项正确的是( )
A. 这1000名网购者中女性有490人B. P(A)=0.35
C. P(FA)=0.17D. P(M∪C)=0.52
12.设椭圆C1：x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)与双曲线C2：x2a22−y2b22=1(a2>0,b2>0)有相同的左右焦点且分别为F1，F2，离心率分别为e1，e2.设C1与C2在第一象限内的交点为P，且满足|OP|=|PF2|，则下列说法正确的是( )
A. a1=a2B. |PF1|=a1+a2C. PF1⊥PF2D. e1⋅e2=2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线l1：2x+y−1=0与直线l2：x−my+2=0.若l1⊥l2，则m= ______．
14.利用简单随机抽样的方法，从n个个体(n>15)中抽取15个个体，若第二次抽取时，每个个体被抽到的概率为14.则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为______．
15.已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，且△PF1F2的面积为c22，则C的渐近线方程为______．
16.如图①是直角梯形ABCD，AB/​/CD，∠D=90°，ABCE是边长为2的菱形，且∠BCE=60°，以BE为折痕将△BCE折起，当点C到达C1的位置时，四棱锥C−ABED的体积最大，P是线段DC1上的动点，则△AEP面积的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
从出游方式看，春节期间是家庭旅游好机.某地区消费者协会调查了部分2023年春节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出(单位：百元)频率分布直方图如图所示.(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
(1)求a的值；
(2)估计家庭消费总支出的平均值及第80百分位数.(结果保留一位小数)
18.(本小题12分)
已知直线l：kx+y−2k+1=0(k∈R)，圆C：(x−1)2+(y−1)2=9．
(1)试判断直线l与圆C的位置关系，并加以证明；
(2)若直线l与圆C相交于A，B两点，求|AB|的最小值及此时直线l的方程．
19.(本小题12分)
已知空间四点A(1,1,2)，B(0,3,0)，C(−2,−1,z)，P(−3,y,−2)，满足PC//AB．
(1)求实数z的值；
(2)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
20.(本小题12分)
多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案(四个选项中至少有两个选项是正确的)，其评分标准为全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
(1)甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得5分的概率；
(2)现有2道多项选择题，根据训练经验，每道题乙同学得5分的概率为12，得2分的概率为14；丙同学得5分的概率为16，得2分的概率为12.乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙比丙总分刚好多得5分的概率．
21.(本小题12分)
在三棱台DEF−ABC中，CF⊥平面ABC，AB⊥BC，且BA=BC，AC=2DF，M为AC的中点，P是CF上一点，且CFDF=MCCP=λ(λ>1)．
(1)求证：CD⊥平面PBM；
(2)已知CP=1，且直线BC与平面PBM的所成角的正弦值为 66时，求平面EFM与平面PBM所成夹角的余弦值．
22.(本小题12分)
在直角坐标系xOy中，已知A(−4,0)，B(x,0)，C(0,y)，以AB为直径的圆经过点C，记点M(x,y)．
(1)求M点的轨迹方程D；
(2)给出如下定理：在一般情况下，若二次曲线的方程为：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(A,B,C不全为0)，则经过该曲线上一点P(x0,y0)的切线方程为：Ax0x+B(y0x+x0y2)+Cy0y+Dx+x02+Ey+y02+F=0.若过P(−3,y0)(y0≠0)作(1)问曲线D的两条切线，切点分别为A，B，切线PA，PB分别交x轴于E，F两点，求|EF|S△PAB的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查直线的方向向量，以及平面向量共线(平行)的坐标表示，是基础题．
首先求出直线的斜率为：k=23，再利用平面向量共线(平行)的坐标表示即可得出答案．
【解答】
解：由题意可得：直线2x−3y+1=0的斜率为k=23，
所以直线2x−3y+1=0的一个方向向量d=(1,23)，或(3,2)，
故选D．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查抛物线的标准方程，属于基础题．
先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴正半轴上以及2p=4，即可求出其准线方程．
【解答】
解：因为抛物线的标准方程为：x2=4y，
所以焦点在y轴正半轴上；
且2p=4，即p=2，
所以：p2=1，
∴准线方程y=−1，
故选：D．
3.【答案】B
【解析】解：点P是点A(1,2,−1)在坐标平面Oxy内的射影，
∴P(1,2,0)，
则|OP|= 12+22+02= 5．
故选：B．
利用射影定义、两点间距离公式能求出结果．
本题考查射影定义、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：已知点A(−2,0)，B(4,a)，直线l：x−y+1=0，
由于点A与点B到直线l的距离相等，
则有|−2−0+1| 12+12=|4−a+1| 12+12，解得：a=4或a=6．
故选：D．
直接根据点到直线距离公式进行求解即可．
本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：科技博览会需从5个女生(分别记为A，B，C，D，E)中选2人参加志愿者服务，
这5个人被选中的机会相等，基本事件总数n=C52=10，
A被选中包含的基本事件个数m=C41=4，
则A被选中的概率为P=mn=410=0.4．
故选：B．
这5个人被选中的机会相等，基本事件总数n=C52=10，A被选中包含的基本事件个数m=C41=4，由此能求出A被选中的概率．
本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：根据向量的线性运算，AC1=a+b+c，
故AM=23(a+b+c)，
所以MD1=AD1−AM=b+c−23(a+b+c)=13b+13c−23a．
故选：A．
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：∵A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点，
线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，
则QA=QP，则QA−QO=QP−QO=OP=R，
即动点Q到两定点O、A的距离差为定值，
根据双曲线的定义，可知点Q的轨迹是：以O，A为焦点，OP为实轴长的双曲线．
故选：C．
结合双曲线的定义及圆与直线的相关性质，熟练掌握双曲线的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键．
双曲线是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．
8.【答案】B
【解析】解：因为平面ABCD⊥平面ACEF，AF⊥AC，
所以AF⊥平面ABCD，
∵AD⊂平面ABCD，所以AF⊥AD，同理可证CE⊥CD．
又ABCD为菱形，AD=CD，AF=CE，
所以△ADF≌△CED，DE=DF．
又M为EF的中点，所以DM⊥EF．
设AC∩BD=O，连接OM，AF=OD=OB=OM，所以DM⊥BM．
又EF∩BM=M，所以DM⊥平面BEF．
又BE⊂平面BEF，所以DM⊥BE，
故DM与BE所成角为定值90°．
故选：B．
推导出AF⊥平面ABCD，从而AF⊥AD，同理可证CE⊥CD.推导出△ADF≌△CED，从而DM⊥EF.设AC∩BD=O，连接OM，AF=OD=OB=OM，则DM⊥BM.从而DM⊥平面BEF.进而DM⊥BE，由此推导出DM与BE所成角为定值90°．
本题考查异面直线所成角，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，故A正确；
对于B，若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a与b平行或垂直，故B错误；
对于C，由法向量的定义得：
与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量，故C正确；
对于D，若OA，OB，OC为空间的一组基底，且OD=OA+OB+OC，1+1+1=3，
则A，B，C，D四点不共面，故D错误．
故选：AC．
利用单位向量的定义判断A；利用向量垂直的定义判断B；利用法向量的定义判断C；利用空间向量基本定理判断D．
本题考查单位向量、向量垂直、法向量、空间向量基本定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了一组数据的众数、中位数和平均数的定义与应用问题，是基础题．
根据众数、中位数和平均数的定义，判断即可．
【解答】
解：因为中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，
中位数比平均数小很多，所以数据不是近似对称的，选项A错误．
一组数据的中位数比平均数小很多，可能是数据中有异常值，即数据中可能有极端大的值，所以B、C正确；
众数不止一个，中位数和众数是否相同，和平均数无关，所以D正确．
故选：BCD．
11.【答案】BC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由表格可知：抽取的100人中，男性购物者有18+20+14=52人，女性购物者有17+24+7=48人，
则1000名网购者中，有女性有480人，A错误；
对于B，抽取的100人中，A类有17+18=35人，则P(A)=18+17100=0.35，B正确；
对于C，由表格可知：P(FA)=17100=0.17，C正确；
对于D，P(M∪C)=18+20+14+7100=0.59，D错误．
故选：BC．
根据题意，由分层抽样的特点分析A，结合表格，由古典概型公式分析B、C、D，综合可得答案．
本题考查分层抽样的性质，涉及概率的计算，属于基础题．
12.【答案】BD
【解析】解：设椭圆与双曲线的焦距为|F1F2|=2c，
由题意得，c2=a12−b12=a22+b22，
由椭圆的定义得：|PF1|+|PF2|=2a1，
由双曲线的定义得：|PF1|−|PF2|=2a2，
所以|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1−a2≠0，即a1≠a2，故选项A错误，选项B正确；
在△OPF2中，|OP|=|PF2|=a1−a2，
所以cs∠OF2P=12|OF2||PF2|=c2(a1−a2)，
在△PF1F2中，由余弦定理得，cs∠F1F2P=|PF2|2+|F1F2|2−|PF1|22⋅|PF2|⋅|F1F2|=(a1−a2)2+(2c)2−(a1+a2)22×(a1−a2)×2c=4c2−4a1a24c×(a1−a2)，4c2−4a1a24c×(a1−a2)=c2(a1−a2)，可得c2=2a1a2，
cs∠F1PF2=|F1F2|2−|PF2|2−|PF1|22⋅|PF2|⋅|F1P|=4c2−2a12−2a222(a12−a22)=4a1a2−a12−a22a12−a22<2a1a2a12−a22，所以PF1⊥PF2不成立，所以C错误．
e1⋅e2=c2a1a2=2a1a2a1a2=2，所以D正确．
故选：BD．
设椭圆与双曲线的焦距为|F1F2|=2c，结合圆锥曲线定义可得：|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1−a2，根据题意逐项分析即可．
本题考查了双曲线和椭圆的简单性质以及离心率的问题，考查圆锥曲线定义的应用，是中档题．
13.【答案】2
【解析】解：根据题意，可得直线l1的斜率k1=−2，
当m=0时，直线l2：x+2=0与l1不垂直；
当m≠0时，直线l2的斜率k2=1m，若l1⊥l2，则k1k2=−2×1m=−1，解得m=2．
故答案为：2．
根据题意利用两条直线垂直与方程的关系，建立关于m的等式，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查直线的方程及其应用、两条直线垂直与方程的关系等知识，属于基础题．
14.【答案】519
【解析】解：第二次抽取时，每个个体被抽到的概率为14，
则15−1n−1=14，解得n=57，
在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为：1557=519．
故答案为：519．
根据已知条件，先求出n，再结合古典概型的概率公式，即可求解．
本题主要考查简单随机抽样的应用，属于基础题．
15.【答案】y=±x
【解析】解：∵F2(c,0)，根据对称性不妨设一条渐近线为y=bax，
∴过F2且垂直该渐近线的垂线为y=−ab(x−c)，
联立y=baxy=−ab(x−c)，解得P(a2c,abc)，
∴△PF1F2的面积为12⋅2c⋅abc=ab=c22，
∴2ab=a2+b2，
∴a=b，
∴双曲线C的渐近线方程为y=±x．
故答案为：y=±x．
根据题意先求出P点坐标，再计算△PF1F2的面积，从而建立方程，即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属中档题．
16.【答案】 64
【解析】解：如图，折起前，连接菱形ABCE的对角线AC，交BE于点O，
所以AC⊥BE，所以折起后有OB⊥OA，OB⊥OC1，
因为菱形ABCE的边长为2，
所以AB=EC=AE=2，
又因为AB//CD,∠BCE=60°，且∠D=90°，
所以在Rt△DAE中，有∠AED=∠BCE=60°,∠DAE=30°，
所以DE=12AE=1,AD= 32AE= 3，
所以折起前后四边形ABED的面积固定，
则此时点C到平面ABED的距离最大，
则此时有面BC1E⊥面ABED，
又面BC1E∩面ABED=BE，EB⊥OC1，OC1⊂面BC1E，
所以OC1⊥面ABED，又OA⊂面ABED，
所以OC1⊥OA，又OB⊥OA，OB⊥OC1，
所以OA，OB，OC1两两互相垂直，
所以以O为原点，OA，OB，OC1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
若要△AEP面积最小，则只需点P到直线AE的距离最小即可，
由题意O(0,0,0),E(0,−1,0),A( 3,0,0),C1(0,0, 3)，
过点D作DF⊥AO于点F，则∠DAF=30°+30°=60°，又因为AD= 3，
所以AF= 32,FO=AO−AF= 3− 32= 32,DF=32，即D( 32,−32,0)，
所以ED=( 32,−12,0),EC1=(0,1, 3),EA=( 3,1,0)，
因为P，D，C1三点共线，
所以不妨设EP=λED+(1−λ)EC1=λ( 32,−12,0)+(1−λ)(0,1, 3)
=( 3λ2,1−3λ2, 3− 3λ),λ∈[0,1]，
所以点P到直线AE的距离为h= |EP|2−(|EP⋅EA||EA|)2= [3λ24+(1−3λ2)2+( 3− 3λ)2]−(3λ2+1−3λ2 3+1)2
= 6λ2−9λ+154= 6(λ−34)2+38，
所以当λ=34时，hmin= 38= 64，又|EA|= 3+1=2，
所以△AEP面积的最小值为S=12EA⋅hmin=12×2× 64．
故答案为： 64．
由题意得面BC1E⊥面ABED，结合菱形性质，得OA，OB，OC1两两互相垂直，建立适当的空间直角坐标系，只需点P到直线AE的距离最小即可，由空间向量法求点到直线的距离即可得解，
本题考查了线面垂直证明线线垂直，面面垂直证线面垂直，点到平面距离的向量求法，属于难题．
17.【答案】解：(1)由频率分布直方图，得(a+0.015+0.035+0.03+a)×10=1，
∴a=0.01．
(2)估计家庭消费总支出的平均值为：
x−=55×0.1+65×0.15+75×0.35+85×0.3+95×0.1=76.5．
设第80百分位数为m，[50,80)内的频率为0.1+0.15+0.35=0.6，
[50,90)内的频率为0.1+0.15+0.35+0.3=0.9，
则0.1+0.15+0.35+m−8090−80×0.3=0.8，
解得m=80+203≈86.7．
【解析】(1)利用频率分布直方图的性质求解；
(2)利用频率分布直方图能估计家庭消费总支出的平均值及第80百分位数．
本题考查频率分布直方图、平均值、百分位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)直线l：kx+y−2k+1=0(k∈R)，整理得k(x−2)+y+1=0，
所以直线l经过x−2=0与y+1=0的交点，由x−2=0y+1=0解得x=2y=−1，可得直线l恒过定点P(2,−1)．
因为(2−1)2+(−1−1)2=5<9，
所以点P(2,−1)在圆(x−1)2+(y−1)2=9内部，可知直线l与圆相交；
(2)圆C：(x−1)2+(y−1)2=9，圆心为C(1,1)，半径r=3，
由圆的性质，可知当l与直线CP垂直时，弦长|AB|最小，此时kCP=−1−12−1=−2，
所以当|AB|取最小值时，直线l的斜率k=−1kCP=12，可得直线l的方程为y+1=12(x−2)，即x−2y−4=0．
由圆心C(1,1)到直线l的距离为d=|CP|= 5，可知|AB|=2 9−d2=4，
所以弦长|AB|的最小值为4，相应直线l的方程为x−2y−4=0．
【解析】(1)先判断出直线l恒过定点P(2,−1)，然后根据点P在圆C内部，判断出直线l与圆C的位置关系；
(2)由圆的性质，可知当l与直线CP垂直时，弦长|AB|最小，由此求出直线l的斜率，进而得到|AB|的最小值及此时直线l的方程．
本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题意得AB=(−1,2,−2)，AC=(−3,−2,z−2)，
PC=(1,−1−y,z+2)，
∵PC//AB，则PC=−AB，
∴−1−y=−2z+2=2，解得y=1z=0，
即实数z=0；
(2)由(1)知，AC=(−3,−2,−2)，
∴AB⋅AC=3，|AB|=3，|AC|= 17，
∴cs〈AB,AC〉=33× 17= 1717，
则sin〈AB,AC〉=4 1717，
∴S△ABC=12|AB|⋅|AC|sin〈AB,AC〉=12×3× 17×4 1717=6，
∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为12．
【解析】(1)由PC//AB，结合向量坐标运算即可求得；
(2)先求得三角形ABC的面积，再求得平行四边形的面积即可．
本题考查空间向量的坐标运算，考查利用向量求解距离、夹角问题，属中档题．
20.【答案】解：(1)甲同学所有可能的选择答案有11种：
AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，其中正确的选项只有一个．
样本空间Ω={AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD}，共11个基本事件．
∴猜对本题得5分的概率为P=111．
(2)这2道多项选择题乙比丙总分刚好多得5分的情况有3种：
①乙两道题都得5分，丙两道题分别得2分和5分，概率为：P1=(12)2×C21×16×12=124，
②乙两道题分别得5分和2分，丙两道题分别得2分和0分，概率为：P2=C21×12×14×C21×12×(1−16−12)=112，
③乙两道题分别得5分和0分，丙两道题都得0分，概率为：P3=C21×12×(1−12−14)×(1−16−12)2=112，
∴这2道多项选择题乙比丙总分刚好多得5分的概率为P=P1+P2+P3=124+112+112=524．
【解析】(1)利用古典概型、列举法能求出结果；
(2)利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出结果．
本题考查古典概型、列举法、相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21.【答案】解：(1)证明：∵BA=BC，且M是AC的中点，则BM⊥AC．
∵CF⊥平面ABC，∴CF⊥BM．
又CF∩AC=C，∴BM⊥平面ACFD，
∴DC⊥BM.①
∵CFDF=MCCP，∴△CFD∽△MCP，则∠PMC=∠FCD．
∵∠ACD+∠FCD=π2，∴∠PMC+∠ACD=π2，
∴在平面ACFD中DC⊥PM.②
∵BM∩PM=M，∴由①②知DC⊥平面PBM．
(2)由题意得DM//CF，CF⊥平面ABC，
∴DM⊥平面ABC．
由(1)可知BM⊥AC，故M为坐标原点．
如图，以MB，MC，MD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．

∵CFDF=DFCP=λ，CP=1
∴CM=DF=λ，DM=CF=λ2．
∴M(0,0,0)，B(λ,0,0)，C(0,λ,0)，D(0,0,λ2).
∵AC=2DF，
∴由棱台的性质得BC=2EF,BC=(−λ,λ,0)，
∴ME=(λ2,λ2,λ2)．
由(1)可知平面PBM的一个法向量为CD，且CD=(0,−λ,λ2)．
∵直线BC与平面PBM的所成角的正弦值为 66，
∴|cs〈BC,CD〉|=|BC⋅CD||BC//CD|= 66(λ>0)，
即|−λ2|λ 2⋅λ λ2+1= 66，解得λ= 2．
∴平面PBM的一个法向量为CD，且CD=(0,− 2,2)．
平面EFM的法向量为n=(x,y,z)．
∵ME=( 22, 22,2)，MF=(0, 2,2)，n⋅ME= 22x+ 22y+2z=0n⋅MF= 2y+2z=0，
令z=−1，则可得x= 2，y= 2．
∴平面MEF的一个法向量为n=( 2, 2,−1)，
∴| cs〈n,CD〉|=|n⋅CD||n||CD|=2+2 6× 5=2 3015．
∴平面EFM与平面PBM所成夹角的余弦值2 3015．
【解析】(1)证明BM⊥平面ACFD，可得DC⊥BM，进而证明DC⊥PM，可证结论成立；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得λ，进而求得平面EFM的一个法向，平面PBM的一个法向量，可求平面EFM与平面PBM所成夹角的余弦值．
本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，属中档题．
22.【答案】解：(1)因为A(−4,0)，B(x,0)，C(0,y)，AB为直径的圆经过点C，
可得AC⋅BC=0，即(4,y)⋅(−x,y)=0，
整理可得y2=4x，
∴M点的轨迹方程为y2=4x；
(2)由(1)得曲线M的方程为y2=4x，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
切线AP方程为y1y=2(x+x1)，
∴当y=0时，x=−x1，∴E(−x1,0)，
将点P(−3,y0)(y0≠0)代入y1y=2(x+x1)，得y1y0=2(−3+x1)，①
同理可得切线PB方程为y2y=2(x+x2)，
∴同理可得F(−x2,0)，y2y0=2(−3+x2)，②
∴由①②可知A(x1,y1)，B(x2,y2)点坐标均满足方程yy0=2(−3+x)，
∴AB直线方程为yy0=2(−3+x)，即2x=yy0+6，
由2x=yy0+6y2=4x，整理得y2−2y0y−12=0，
∴Δ=4(y02+12)>0，
∴y1+y2=2y0，y1y2=−12，
∴|AB|= 1+(y02)2|y1−y2|=2 1+(y02)2 y02+12，
∵点P到AB直线的距离为d=|y022+6| 1+y024，
∴S△PAB=12|AB|⋅d=12⋅2 1+y024⋅ y02+12⋅|y022+6| 1+y024=(y022+6) y02+12，
∵E(−x1,0)，F(−x2,0)，
∴|EF|=|x1−x2|=|y02(y1−y2)|=|y02⋅2 y02+12|=|y0⋅ y02+12|，
∴|EF|S△PAB=2|y0|y02+12=2|y0|+12|y0|，
∵|y0|+12|y0|≥4 3，当且仅当|y0|=2 3时等号成立，
∴当|y0|=2 3时，|EF|S△PAB的最大值为 36．
【解析】(1)由题意可得AC⋅BC=0，即(4,y)⋅(−x,y)=0，整理可得M点的轨迹方程；
(2)设P点的坐标，由题意可得直线AP，BP的方程，由题意可得E，F的坐标，整理可得直线AB的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出弦长|AB|及点P到直线AB的距离d，代入三角形的面积公式，可得△PAB的面积的表达式，求出|EF|的表达式，进而求出求|EF|S△PAB的表达式，由基本不等式的可得求|EF|S△PAB的最大值．
本题考查点的轨迹方程的求法及过曲线上的点的切线方程的求法，基本不等式的性质的应用，属于中档题．A
B
C
M
18
20
14
F
17
24
7