2023-2024学年上海市长宁区高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市长宁区高一（上）期末数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若lna与lnb互为相反数，则有( )
A. a+b=1B. a−b=1C. ab=1D. ab=1
2.设函数f(x)=2x+x−2的零点为x0，则x0∈( )
A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)
3.了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防该细菌、病毒引起的疾病传播有重要的意义.科研团队在培养基中放入一定量某种菌落进行研究，设经过时间x(单位：min)，菌落的覆盖面积为y(单位：mm2).团队提出如下假设：①当x≥0时，y≥0；②y随x的增加而增加，且增加的速度越来越快.则下列选项中，符合团队假设的模型是( )
A. y=kax(k>0,a>1)B. y=lgbx+c(b>1,c>0)
C. y=kx+b(k>0,b>0)D. y=p x+q(p>0,q>0)
4.已知函数y=f(x)的定义域为R．
q：y=f(x)是R上的严格增函数；
p1：任意x1，x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>0时，恒有f(x)>0；
p2：当f(x1)1”的否定形式是______．
10.若幂函数f(x)=xa的图像经过点(3, 3)，则函数y=f(x)的定义域为______．
11.若x0时，f(x)=x2−3x，则不等式f(x)≤0的解集为______．
16.已知f(x)=x2,x>mx+2,x≤m，若对于任意实数b，均存在x0，使得f(x0)=b，则实数m的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知a，b∈R．
(1)求证：a2+b2≥2a−2b−2，并指出等号成立的条件；
(2)若ab=1，求a2+4b2的最小值．
18.(本小题10分)
设集合A={x|x−a|2}．
(1)若a=1，试用区间表示集合A、B；
(2)若A∪B−=R，求实数a的取值范围．
19.(本小题10分)
为了鼓励消费，某地发放了以“爱购**”为主题的消费券，一张消费券价值50元，使用方式为：消费满100元后，结账时该券抵50元．
(1)A商家在中秋节期间举行促销活动，每件商品按原价6折销售.若买一件原价为300元的商品，则在结账时使用了一张消费券后，还应付多少元？
(2)小明在B商家选购时看中了一件88元的商品和一件打5折的特价商品，但特价商品的折扣不能与消费券同时使用，若该特价商品原价的范围在(100,150)元，试判断小明是否会使用消费券？并说明理由．
20.(本小题10分)
已知函数y=f(x)，其中f(x)=x+ax．
(1)判断函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数在区间[1,+∞)上是严格增函数，求实数a的取值范围．
21.(本小题14分)
设函数y=f(x)在区间D上有定义，若对任意x1∈D，都存在x2∈D使得：x1+f(x2)2=m，则称函数y=f(x)在区间D上具有性质p(m)．
(1)判断函数f(x)=2x在R上是否具有性质p(0)，并说明理由；
(2)若函数f(x)=3x−1在区间[0,a](a>0)上具有性质p(1)，求实数a的取值范围；
(3)设t∈[0,2]，若存在唯一的实数m，使得函数f(x)=−x2+2tx+3在[0,2]上具有性质p(m)，求t的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵lna=−lnb，
∴lna+lnb=0，
∴ln(ab)=0，
∴ab=1．
故选：D．
由已知条件列出方程，利用对数的积的法则求出ab=1．
本题考查对数的四则运算法则、考查当真数互为倒数时，对数互为相反数，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵函数f(x)=2x+x−2的零点为x0，f(0)=1+0−2=−10，
∴f(0)⋅f(1)0，
必有f(x1)−f(x2)>0，
故函数y=f(x)是R上的严格增函数，
则P1是q的充分条件；
对于P2，由于该命题不能表示任意性，不符合单调性的定义，故P2不是q的充分条件；
故选：B．
根据题意，对于P1：先分析函数的奇偶性，结合奇偶性、单调性的定义分析可得P1是的充分条件；对于P2，利用单调性的定义可得P2不是的充分条件；综合可得答案．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
5.【答案】{2,4}
【解析】解：∵A={1,2,3,4}，B={2,4,6}，
∴A∩B={2,4}，
故答案为：{2,4}．
由集合交集的定义直接写出答案即可．
本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．
6.【答案】8
【解析】【解答】
解：∵lg2x=3，则x=23=8．
故答案为：8．
【分析】
本题考查了对数式化为指数式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
把对数式化为指数式即可得出．
7.【答案】{x|−1