高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第一课时教学设计及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第一课时教学设计及反思，共7页。
课题：数列的概念和通项公式
课型：
课时教学目标
（1）能通过对具体实例的共同特征的归纳，抽象出数列的一般概念；知道数列的一般表示，并能说出an表示的具体含义；能用函数的观点解释数列，知道是从正整数集（或它的有限子集1,2,⋯,n}）到实数集的函数；通过数列概念的抽象，发展数学抽象素养.
（2）能类比函数的表示，用通项公式、图象或表格表示一个数列，能说出三种表示方法各自的优势；能通过对数列与函数在表示方法上的异同，点的比较，进一步体会函数与数列的联系，加深对数列本质的认识.
（3）能说明数列通项公式中各个量的含义；能认识到通项公式是数列最基本最重要的表示方法，其本质就是数列的函数解析式；能根据数列的通项公式，写出数列的任意项，或根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，体会特殊与一般的数学思想.
教学重点和难点
（1）教学重点：数列的概念，数列的通项公式.
（2）教学难点：“按确定的顺序排列的一列数”的符号化表示
教学过程
教学环节
师生活动
设计意图
教师个人二次备课
环节一
章前引言，了解全貌
引导语 请大家阅读教材章前引言部分，章头图中沙滩上的图形，显示了古希腊毕达哥拉斯学派研究三角形数、正方形数、五边形数时小石子的个数.
问题1 你能将每种形数中各个图形的点数按先后顺序写出来吗？
师生活动 学生独立思考，并写出这些数，即：
3，6，10, …；
4，9，16, …；
5，12，22, ….
在此基础上，教师强调这些数都是按先后顺序排列的一列数.
问题2 你能举出生活中类似的按顺序排成的一列数的事例吗？
师生活动 学生举例，教师通过学生的答案，判断他们对数列已有的认知情况.
通过介绍古希腊毕达哥拉斯学派引入本章内容，一方面激发学生的学习热情，另一方面展现数学知识生成的文化背景，让学生体会到数学的源远流长，感受其中的趣味性、文化性和思想性
环节二
创设情境，提出问题
先阅读教科书上的第一个例子：
（1）王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高.将这些身高数据（单位：cm）依次排成一列数：
75，87，96，103，110，116，120，128，138，
145，153，158，160，162，163，165，168.
问题3 此例中的第1个数和第6个数分别是什么？它们的实际意义是什么？153和165分别是第几个数？它们的实际意义是什么？
师生活动 学生独立思考，得出答案，教师指出数的位置和数之间是一一对应的.
追问1 这些数能交换位置吗？
师生活动 由学生独立思考后全班交流，得出不能交换位置的结论，教师进而强调这是具有确定顺序的一列数.
追问2 如何表示这些数才能准确反映它们各自的位置和大小？
师生活动 小组讨论后全班交流，教师引导学生得出：可以用带有下标的字母来表示数，如记王芳第i岁时的身高为ℎi,则ℎ1=75，ℎ2=87，…, ℎ17=168，这样就把数与它的位置的对应关系体现出来了.
阅读教科书上的另外两个例子：
（2）在两河流域发掘的一块泥版（编号K90，约产生于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：
5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240.
（3）−12的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：
−12，14，−18，116，….
问题4 你能仿照上面对①的分析过程，说明②③也是具有确定顺序的一列数吗？
师生活动 小组交流后学生较易得出用带有下标的符号（如si，ti，i=1，2，3，⋯）表示数.教师引导学生归纳出这些都是具有确定顺序的数.

从具体实例出发，通过由浅入深的问题串，一步步引导学生归纳其本质特征.引导学生将第一个例子分析透彻，后面两个例子的分析也就水到渠成了.
再分析两个实例，意在为归纳三列数的共性，进而为抽象出数列的概念作准备.有了对第一个例子的分析，对后面两个例子的分析不用铺垫很多，学生便能直接通过类比引入符号加以分析.
环节三
抽象概念，内涵辨析
问题5 上述三个例子的共同特征是什么？
师生活动 小组讨论并回答.教师在此基础上引导学生归纳出共同特点，进而抽象出数列的概念：
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列的一般形式是a1，a2，⋯，an，⋯，简记为an.数列中的每一个数都叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，也叫做首项；第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，依次类推.
追问1 若将上面−12的n次幂所构成的数列记作an,则a2，a4的值各为多少？
师生活动 学生回答：a2=14，a4=116
追问2 我们可以发现数列的序号n与它的每一项an有一一对应关系，如1对应a1，2对应a2，……，n对应an，这和以前学过的哪个概念的本质类似？
师生活动 学生独立思考、小组讨论，再进行全班交流，得出：与函数的概念类似，这里的每一个序号相当于函数自变量的每一个取值，每一个序号所对应的项就相当于每一个自变量的取值所对应的函数值，即对于每一个序号，都有唯一确定的项和它对应.
追问3 你能从函数的角度解释以上三个数列的特点吗？例如，它们是不是函数？如果是，那么它们的定义域分别是什么？
师生活动 学生独立思考、小组讨论，再进行全班交流，得出三个数列都是函数，并得出它们各自的定义域。
追问4 数列的定义域有怎样的特点？
师生活动 学生独立思考后再进行交流，学生一般会直观地说出1，2，3，…，教师加以引导后得出定义域是正整数集或其有限子集{1，2，⋯，n}（教师可在此说出：数列按项数分为有穷数列和无穷数列）.
追问5 数列的定义域和函数的定义域有何区别？
师生活动 学生独立思考后交流，通过师生讨论交流，得出：函数的自变量通常是连续变化的，而数列的自变量是离散的，因而数列是一类特殊的函数，其特殊性表现在其自变量只能为正整数.
问题6 既然数列本质上是函数，你能类比函数的研究内容及其研究路径，谈谈在数列的学习中我们可以研究哪些内容吗？
师生活动 学生独立思考、小组讨论后全班交流，不断补充完善得出以下研究内容：数列的表示法、数列的基本性质、几类特殊的数列以及数列的应用等.
问题7 类比函数的研究过程，有了数列的定义，接着要研究数列的表示.你能类比函数的三种表示法，举出用表格、图象和解析式表示的数列实例吗？请你以前面的几个例子为基础，举出例子，并通过阅读教科书第3～4页进行对照.
师生活动 学生先独立动手操作，然后部分学生展示其所画的表格与图象，最后教师再用excel表格和几何画板展示数列①的两种表示法——列表法和图象法.并类比函数，根据数列的图象，直观地给出递增数列、递减数列和常数列的定义.
如果数列an的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，如上面−12的n次幂的通项公式为an=−12n.显然，通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项，还可以研究数列项的一些特征（即性质）.
教师可以鼓励学生举出更多的例子，
让学生在对具体的事例分析的基础上进行抽象概括，经历概念的形成过程，体会数列概念的描述及一般形式的合理性.
通过层层追问，引导学生理解数列的本质是函数，并弄清数列与函数的联系与区别.
类比函数来研究数列，可以让学生了解研究一个数学对象的一般方法。
类比函数的表示方法，先让学生以抽象定义时所用的几个数列为基础，进一步思考它们的表示问题，给出相应的表示以说明数列的三种表示方法，再通过阅读教科书进行对照，理解表示方法的同时，培养阅读教科书的习惯.
环节四
例题练习，巩固理解
例1 根据下列数列an的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象.
（1）an=n2+n2；
（2） an=csn−1π2.
师生活动 先由学生独立计算、作图，再由教师利用信息技术计算、作图.可以进一步提问：两个数列是否具有单调性？
例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
（1）1，−12，13，−14，⋯ （2）2，0，2，0，⋯.
师生活动 学生回答，教师进行引导：解答第（1）题时，可以先探讨数列1，−1，1，−1，⋯的通项公式；对于第（2）题，则可考虑在1，−1，1，−1，⋯的每一项加1，并强调：通过数列的前几项归纳得到的数列的通项公式一般不唯一.
例3 如果数列an的通项公式为an=n2+2n，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
师生活动 学生独立计算得出结果
让学生在计算的过程中，体会项的序号与项之间的对应关系，深刻理解数列的函数本质.通过作图，直观地感受数列的离散性，体会数列与函数的区别.
让学生体会从数列的一些具体项归纳其通项公式的基本方法，明确由一些具体项归纳得到的通项公式不一定唯一.
让学生在计算的过程中，再次体会项数与项的对应关系，进一步理解数列的函数特征，并初步掌握由数列的项求项数的方法，体会求解过程中所蕴含的方程思想.
环节五
课堂小结，形成结构
问题8 回顾本节课的学习内容，回答下列问题：
（1）你学到了数列的哪些主要知识？
（2）通过对具体问题的解决，你认为本节课应掌握哪些数学思想方法？
（3）你能说出数列与函数的联系与区别吗？
师生活动 教师用课件呈现上述问题，学生独立思考，全班交流，教师在学生回答的基础上进行适当归纳.
通过回顾，梳理本节课学习的主要内容，明确研究数列的路径，进一步体会研究一类数学对象的一般方法.
环节六
目标检测，检验效果
1.已知数列的通项公式为an=2 , n为奇数,n+1, n为偶数,写出数列的前10项，并作出图象.
检测目标 主要检测学生对通项公式的理解情况，测评学生的运算求解能力.
2.已知数列的前5项为1，22，12，24，14，写出数列的一个通项公式.
检测目标 主要检测学生对于通项公式的理解情况，测评学生的抽象概括能力.
师生活动 学生独立思考，全班交流
检测学生对通项公式的理解情况，要求学生作出数列图象是为了让学生更直观地感受数列的离散性和单调性，体会数形结合的思想.
环节七
分层作业，应用迁移
1.基础性作业
（1）必做题：教科书第8页习题4.1第1题，第2（1）（2）题.
（2）选做题：教科书第9页习题4.1第6、7题.
2.拓展性作业
写出一个无穷递减数列和一个有穷递增数列.
必做题主要评价学生对通项公式的理解情况，测评学生的运算求解能力，选做题第6题主要评价学生对数列的应用背景的理解情况，测评学生的运算求解和抽象概括能力；选做题第7题主要评价学生对数列和函数的联系与区别的理解情况，测评学生运用类比的方法进行运算求解的能力，拓展性作业主要评价学生对数列的分类的理解情况，测评学生化抽象为具体的能力.
作业设计
板书设计
教学反思