选修第二册第四章数列4.1 第二课时数列的递推公式和前n项和公式（教案）

这是一份选修第二册第四章数列4.1 第二课时数列的递推公式和前n项和公式（教案），共5页。

课堂教学设计学科： 姓名：课题：数列的递推公式和前n项和公式课型： 课时教学目标（1）能结合具体事例说明数列递推公式的作用；能根据数列的递推公式写出数列的某一项，体会特殊与一般的数学思想.（2）能说出数列的前n项和的含义，能根据数列的前n项和的定义推出数列的通项an，与前n项和Sn之间的关系an=S1, n=1，Sn−Sn−1, n≥2, 并能根据这一关系由前n项和公式Sn求通项公式an,体会分类与整合的数学思想.教学重点和难点（1）教学重点：数列的递推公式与前n项和.（2）教学难点：由数列的前n项和公式Sn求数列的通项公式an.教学资源和教学方法教学过程教学环节环节一环节二师生活动设计意图教师个人二次备课环节三创设情境，提出问题问题1 图4.1-1中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，你能写出这个数列的一个通项公式吗？师生活动 学生独立思考，得出答案.图中着色三角形的个数依次为1，3，9，27，因此，这个数列的一个通项公式是an=3n−1.环节四探究新知，辨析内涵追问1 换个角度观察以上4个图形，你能观察出图中三角形的变化规律吗？师生活动 学生独立思考，小组讨论后全班交流，得出每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂成3个着色小三角形和1个无色小三角形.追问2 你能根据这个规律说出相邻两个图形中着色三角形个数的关系吗？师生活动 学生思考后全班交流，得出：每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍.追问3 你能用表达式表示这个关系吗？师生活动 学生思考后全班交流，得出an=3an−1这一关系.追问4 以上表达式中的n从何值开始取？师生活动 学生思考后全班交流，得出n从2开始取值，因为n取1时，an−1即a0，无意义.追问5 an=3an−1n≥2能否表示出这个数列的所有项？师生活动 学生思考后全班交流，得出无法表示a1的结论，进而需要把a1单列出来.问题2 已知数列an的首项为a1=1,且满足an=1+1an−1 n≥2，你能写出这个数列的前5项吗？师生活动 学生计算后全班交流，得出数列的前5项依次为1，2，32，53，83.教师讲解：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知道了数列的首项或前几项以及递推公式，就能求出数列的每一项.教师讲解：在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一.我们把数列an从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列an的前n项和，记作Sn,即Sn=a1+a2+⋯an.问题3 你能由此得出数列的前n项和Sn与第n项an的关系式吗？你认为在列出这个关系式时要注意什么问题？师生活动 学生独立思考，小组讨论后全班交流，得到关系式an=Sn−Sn−1.教师可以通过具体问题引导学生注意这个关系式在n=1时没有意义，进而讨论如何由Sn求出a1，得出a1=S1.教师在此基础上将关系式补充完整，得到如下关系：an=S1, n=1，Sn−Sn−1, n≥2, 通过对具体实例的探究，引导学生得到递推公式的概念，并能根据数列的首项或前几项以及递推公式顺次写出数列前若干项.从给出的概念表达式出发，通过一系列问题，逐步引导学生根据数列前n项和的定义得到前n项和Sn与通项an间的关系.环节五典例剖析，巩固理解例4 已知数列an的前n项和为Sn=n2+n，求出数列an的通项公式.师生活动 学生先独立计算，然后全班交流，通过师生交流得出如下解答过程：当n=1时，a1=S1=12+1=2；当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2+n−n−12−（n−1）=2n.由于n=1时a1=2满足an=2n，所以n≥1时，数列an的通项公式为an=2n.通过对具体实例的探究，加深对前n项和Sn与通项an间的关系的理解，初步掌握由前n和Sn求通项an的具体步骤.环节六课堂小结，形成结构问题4 回顾本节课的学习内容，回答下列问题：（1）你学到了数列的哪些主要知识？（2）如果已知数列的前n项和，你如何求出其通项公式？你认为在此过程中要特别注意什么问题？（3）通过对问题的解决，你认为本节课应掌握哪些数学思想方法？师生活动 教师用课件呈现上述问题，学生独立思考，全班交流，教师在学生回答的基础上进行适当的归纳与梳理.通过回顾，梳理本节课学习的重点内容和思想方法，促进学生的认知升华，引导学生自主建构知识体系。作业设计目标检测，检验效果1.已知数列an满足a1=2,an=2−1an−1n≥2，写出它的前5项，并猜想它的通项公式.2.已知数列an的前n项和公式为Sn=−2n2,求an的通项公式.师生活动 学生独立思考，全班交流.主要检测学生对递推公式的理解情况，测评学生的运算求解与抽象概括能力.主要检测学生对于前n项和公式与通项公式关系的理解情况，测评学生的运算求解能力.板书设计分层作业，应用迁移1.基础性作业（1）必做题：教科书第8页练习第1、2题，（2）选做题：教科书第9页习题4.1第4题.2.拓展性作业（1）写出一个数列的前n项和公式，并求出其通项公式.（2）思考题：类比函数的研究路径，接下来应该研究什么？你认为需要研究哪些内容？必做题的第1题主要评价学生对图形中递推关系的理解情况，测评学生的抽象概括能力.必做题的第2题及选做题的第4题主要评价学生对递推公式的理解情况，测评学生的运算求解能力，拓展性作业（1）主要评价学生对数列的前n项和的理解情况，测评学生能否由数列的前n项和公式求其通项公式；拓展性作业（2）衔接下一个单元，让学生类比函数的研究得出应该研究特殊的数列，按“背景→定义→通项公式→性质→前n项和公式→应用”的路径展开研究.教学反思