人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第二课时教学设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第二课时教学设计，共6页。
课题：等差数列的通项公式和性质
课型：
课时教学目标
（1）能利用定义推导等差数列的通项公式；能通过等差数列的通项公式说明等差数列与一次函数的关系，体会数形结合思想.
（2）通过具体情境，会用等差数列通项公式、方程思想和基本量的方法求解等差数列的有关问题，能从实际问题中抽象出等差数列的模型并解决问题，感受数学文化的熏陶.
教学重点和难点
（1）教学重点：等差数列的通项公式、等差数列的性质.
（2）教学难点：等差数列通项公式的归纳，等差数列性质的研究方法.
教学资源和教学方法
教学过程
教学环节
师生活动
设计意图
教师个人二次备课
环节一
回顾定义，推导公式
问题1 设{an}是公差为d的等差数列.我们知道，如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做数列{an}的通项公式.你能从等差数列的定义出发，推出等差数列的通项公式吗？
师生活动 学生回顾定义，教师可以提醒学生：为了得出an=fn这个一般表达式，可以从具体例子入手分析.然后让学生进行自主探究，待学生得出结果后进行展示、讨论，最后得出结论。
由定义得a2−a1=d，a3−a2=d，a4−a3=d，…，an−an−1=d，将这些等式的两边分别相加得
an−a1=n−1dn≥2.
也就是
an=a1+n−1dn≥2.
也可以逐步迭代：a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+2d+d=a1+3d，….归纳可得an=a1+n−1dn≥2.
当n=1时，上述两种途径均有a1=a1+1−1d=a1.这就是说，当n=1时也成立.
结论：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为
an=a1+n−1d.
追问 等差数列{an}的通项公式中涉及了哪几个量？你能由此分析一下确定一个等差数列的基本条件吗？
师生活动 学生观察通项公式的结构回答：首项a1、公差d、项数n、第n项an.教师指出：四个量中，首项a1、公差d是基本量，由基本量就可以唯一确定一个等差数列.因此，在解决等差数列问题时，我们要重视用基本量表示数列中其他元素.
例1 （1）已知等差数列{an}的通项公式为an=5−2n，求{an}的公差和首项；
（2）求等差数列8，5，2，…的第20项.
师生活动 学生独立思考后作答，教师强调：已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由an−an−1=dn∈N∗,n≥2即可求出公差d；已知等差数列的两项，可从基本量入手先求出通项公式，再利用通项公式求出数列的指定项.
让学生以通项公式的定义为指导，先明确求通项公式就是要从等差数列定义出发推出an与n的关系式，再由递推式an−an−1=d出发，探索通过怎样的运算得出通项公式，体验累加与迭代的过程，初步感受等差数列的基本量，
帮助学生记忆公式，初步了解公式中的量，建立基本量思想，为后续研究等差数列的几何意义作铺垫.
在具体问题中求解、认识基本量，掌握等差数列通项公式的基本功能，巩固对等差数列通项公式的记忆，感受方程思想.
环节二
以形助数，阐释公式
问题2 观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
师生活动 教师引导学生作图研究.由于an=a1+n−1d=dn+a1−d，当d=0时，等差数列{an}为常数列，an=fn=a1的图象为均匀分布在平行于x轴的一条直线上的散点；当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数fx=dx+a1−dx∈R当x=n时的函数值，即an=fn.
如图4.2-1所示：
学生得出结论：函数fx=dx+a1−dx∈R,d≠0的图象是一条斜率为d，截距为a1−d的直线.在这条直线上描出1，f1，2，f2，…，n，fn，…，就得到了等差数列{an}的图象.
教师指出：如图4.2-2，公差d≠0的等差数列{an}的图象是点n,an组成的集合，这些点均匀地分布在直线fx=dx+a1−d上.反之，任给一次函数fx=kx+b（k,b为常数），则f1=k+b，f2=2k+b，…，fn=nk+b，…构成一个等差数列{nk+b}，其首项为k+b，公差为k.
例2 已知数列{an}是等差数列，p,q,s,t∈N∗且 p+q=s+t，
（1）求证：ap+aq=as+at.
（2）你能从几何角度解释问题（1）中等差数列{an}的这一性质吗？
师生活动 学生独立思考、推理论证，然后展示问题（1）.教师指出等差数列的通项公式与等差数列的下标和项的关系都是等差数列的重要性质，观察下标关系能够快速找到项的联系.对于问题（2），教师引导学生作图研究，根据图象特征归纳结论（如图4.2-3所示）.
另外，通过第p项与第q项的表达，不难发现ap−aq=p−qd，ap=aq+p−qd也是等差数列的重要性质.等差数列通项公式需要基本量a1和d,该公式是用等差数列的某一项am和公差d表达第n项，即an=am+n−md.
例3 在等差数列{an}中，an=m,am=n且m≠n，求am+n
师生活动 学生展开讨论，主动分享.教师引导学生设置基本量，观察结构，由下标和项交换可得公差d=am−anm−n=−1，求出首项后可得am+n=0.
通过等差数列的通项公式与一次函数的解析式的结构特征，引导学生研究等差数列的几何意义，借助散点图和函数图象阐释等差数列通项公式的特征，加深学生对通项公式的理解，强化学生对数列是一类特殊函数的认识.
该问题只要根据等差数列的通项公式写出ap,aq,as,at,再利用已知条件即可得证.学生从代数、几何角度充分认识了等差数列后，对等差数列性质的探究充满了好奇，教科书第17页例5恰好从数形结合的角度展示了等差数列的性质，满足了学生的探究欲望，使学生获得了新知，还能够提升学生对特殊数列的特殊规律的研究能力.
通过下标和项的特殊联系引导学生研究等差数列的相关结论，强化基本量思想.
环节三
运用公式，巩固理解
例4 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的取值范围.
师生活动 学生分析、思考，教师强调起始位置和项数为易混点.学生给出：这台设备使用n年后的价值构成一个数列{an},其首项a1=220−d（万元），公差为−d，得到an=a1+n−1−d=220−nd，根据题意，利用通项公式列不等式a10≥11且a11