高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第一课时教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第一课时教案，共11页。
课题：数列的概念和通项公式
课型：
课时教学目标
（1）能通过具体实例，归纳出等比数列的概念，并形成符号化定义；能根据定义探索归纳出等比数列的通项公式，能解释公式的含义和限制条件；能根据等比中项的概念写出对应等式.
（2）能通过解析式、图象等，说出等比数列的通项公式与指数函数之间的共性与差异；会用函数的观点解释等比数列，提升数学抽象、逻辑推理素养.
（3）会通过解方程组求等比数列的基本量，并能得出等比数列的一些性质，会利用通项公式解决一些简单问题，着重提升数学运算素养.
教学重点和难点
（1）教学重点：等比数列的定义及通项公式.
（2）教学难点：等比数列的通项公式的推导.
教学资源和教学方法
教学过程
教学环节
师生活动
设计意图
教师个人二次备课
环节一
创设情境，引入问题
问题1 在前面的学习中，我们已经学习了等差数列，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
师生活动 独立思考后，学生代表回答.类比等差数列的概念，从加、减、乘、除运算的角度，学生回答的可能有三种数列：等和、等积和等商（比）数列（仿照等差数列命名）.
追问1 你能举出相应的例子吗？
师生活动 学生举例，如：1，3，1，3，1；0，1，0，2，0，5，…；0.1，1，10，100，…等数列.教师引导学生了解：相对于等和与等积数列，等比数列的性质更为丰富，在生活中的应用更广泛，本节课我们将要研究等比数列.
追问2 类比等差数列的研究架构（内容、过程、方法等），你认为应该研究等比数列的哪些内容？按怎样的路径展开研究？主要的研究方法有哪些？
师生活动 学生类比等差数列的研究，提出本单元的研究架构：背景→概念→通项公式→性质→前n项和公式→应用.
学生利用常用的四则运算类型，可以类比出等和、等积与等商（比）数列的名称，通过对比确定将要研究的对象.这样的设计可以避免先入为主，体现了研究逻辑的完整性，能提升学生发现和提出问题的能力.为了不冲淡主题，等和与等积数列可作为研究性学习内容，供有兴趣的学生课下研究.通过追问2，引导学生构建本单元的研究架构，以增强学生学习的主动性.
环节二
创设情境，抽象概念
问题2 请看下面几个问题中的数列.类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现这些数列的取值规律？你发现了什么规律？
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：
9，92，93，…，910； ①
5，52，53，…，510. ②
2.《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是
12，14，18，116，132，…. ③
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是
2，4，8，16，32，64，…. ④
4.某工厂加工某种零件的长度误差在0~0.1mm之间，最近生产的四批零件的平均误差为（“十”号代表超过设计长度，“－”代表未达到设计长度）（单位：mm，精确到0.01）
－ 0.01，+ 0.02，－ 0.04，+ 0.08. ⑤
5.某人存入银行α元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是
a（1+r），a1+r2，a1+r3，a1+r4，a1+r5. ⑥
师生活动 学生阅读、观察6个具体数列，独立思考后进行小组交流，小组代表进行全班交流互动.引导学生用数学符号表示发现的各数列的规律.例如：如果用{an}表示数列①，那么有a2a1=9，a3a2=9，…，a10a9=9.
问题3 类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能归纳它们的共性，抽象出等比数列的概念吗？
师生活动 小组讨论交流后，学生类比等差数列展示归纳出的等比数列的概念，师生一起类比等差数列完善概念.尤其要强调对“从第2项起”和“同一个常数”的理解.
追问1 数列①~⑥的公比分别是多少？公比q取值范围是什么？等比数列中项的取值有没有限制？
师生活动 学生独立思考后回答.教师引导：等比数列与等差数列有共性的地方，也有其独特的性质（运算法则决定的），公比q和项αn都不为零，这是等差数列没有的性质，要引起重视.教师还可以让学生举出生活中的等比数列的例子，让学生理解公比q是可以取负值的（如数列⑤）.
追问2 你能根据概念写出等比数列的符号化定义吗？
师生活动 学生独立完成后，请学生代表展示，教师点评，要注意an+1an=qn∈N∗与anan−1=qn≥2且n∈N∗的等价性.
问题4 类比等差数列的研究，在获得等比数列的概念后，接下来要研究什么？你得出了哪些结论？
师生活动 学生独立思考后小组交流，先给出研究的思路，再进行具体研究.可以研究：有哪些特殊的等比数列？类比等差中项研究等比中项等.
特殊的等比数列：常数数列（公比为1，任意一项不等于0）、{qn}等；
等比中项：a，G，b成等比数列，G就是等比中项.
在学生给出定义后，教师可引导学生进一步探求三项的取值限制：三项均不为零，a，b同号.
追问 请同学们观察等比中项满足的等式，想一想和我们前面学过的不等式中的哪个概念有关联？由此，你能得到什么结论？
师生活动 学生回忆出几何平均数的概念后，通过教师启发，简单探究后得出：若G是α与b的等比中项，则G=±ab，反之不成立.
如果a，b是两个正数，设A是a与b的等差中项，G是a，b的等比中项G>0，那么有A≥G.
教师指出：如果a，b是两个正数，那么等差中项、等比中项实际上就是它们的算术平均数和几何平均数.所以，在等差数列、等比数列的研究中，要注意这两个平均数的作用.
学生可以通过除法运算发现例子中数列的不变性，体会以运算为手段来探索数学对象的取值规律是一种重要的思维方法.学生除了会用文字语言表达规律外，还应学习用数学符号去表示规律，这也是用数学的语言表达世界的具体体现.
等比数列中的项和公比的取值限制在相关问题中容易被学生忽略，此处以问题的形式加以强调，有助于培养学生严谨的思维习惯.
学生经历用简洁的数学符号表示定义的过程，能让学生进一步感受数学的严谨性与简洁性，发展数学抽象素养.
类比研究等差数列概念的路径，在得出等比数列概念后，让学生思考如何理解概念，给出可以研究的问题.学生容易得出等比中项的概念，但由于运算法则不同，等比中项公式中的字母取值存在限制，帮助学生分析出限制的原因，可以让学生进一步理解等比数列的定义，养成利用概念分析问题的习惯.通过探究等比中项、等差中项之间的关系，建立对“平均数”的新认识.
环节三
推导公式，内涵辨析
问题5 有了等比数列的概念，接下来要研究等比数列的通项公式.你能根据定义推导出等比数列的通项公式吗？
师生活动 教师适时引导学生类比等差数列通项公式的推导，根据等比数列定义，思考如何用基本量a1和q表示an，学生独立完成并展示.此处依然要强调上述推理过程属于归纳推理，而由归纳推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.因此，等比数列通项公式的正确性还有待用数学归纳法予以严格的证明.
追问 上面的方法用的是归纳推理，结论需要证明.请同学们探究还有没有别的方法能推导等比数列的通项公式？
师生活动 学生小组合作交流.考虑到“累乘法”具有一定的技巧性，教师可适时引导学生借鉴教科书中习题4.2第12题第（2）小题的“累加法”思路，根据等比数列的定义观察n−1个等式a2a1=q，a3a2=q，a4a3=q，…，anan−1=q的特征，自主探究形成n−1个等式左右两侧分别依次相乘的思路，从而得到ana1=qn−1（n≥2且n∈N∗），再验证n=1成立后得到通项公式.在形成“累乘法”思路的过程中，教师要让学生多观察各等式之间的联系和区别，理解形式上的特征往往决定所采取的方法.
问题6 在等差数列中，公差d≠0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比q满足什么条件时可与相应的函数建立类似的联系？
师生活动 学生先独立思考、讨论，再选代表进行交流.教师和学生一起研究等比数列与指数函数的共性与区别.要让学生知道在公比q>0且q≠1（与指数函数底数取值范围相同）和a1q≠1的条件下，等比数列的通项公式实际上是指数函数y=ax a>0且a≠1经过坐标变换和对称变换得到的，当公比q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数fx=a1q∙qxx∈R当x=n时的函数值，即an=fn.
追问 公比q>0且q≠1的等比数列{an}的图象有什么特点？
师生活动 请同学作出以下三个等比数列的图象：①首项a1=2，公比q=3；②首项a1=2，公比q=13；③首项a1=−1，公比q=2.根据上面对等比数列与指数函数关系的探究，教师可引导学生得出作图思路：先画出y=23×3x，y=6×13x，y=−12×2x的图象；再找出当x=1，x=2，x=3，…时函数图象上的点，这些指数型函数图象上孤立的点就是对应的三个数列的部分图象；最后学生总结出公比q>0且q≠1的等比数列{an}的图象特点是：等比数列{an}的图象是函数fx=a1q·qx图象上一群孤立的点.
学生有推导等差数列通项公式的数学活动经验，类比归纳出等比数列的通项公式难度不大，可由学生自主完成.
在利用不完全归纳法得出通项公式的基础上，引导学生探究另外一种推导方法——“累乘法”.这样既能从逻辑上消除学生对归纳推理所得结论的疑问，又可以让他们在今后遇到递推求通项等问题时多一种思维方向，在探究过程中还可以让学生进一步体会“以简驭繁”的转化思想.
基于等比数列与指数函数的关系，通过具体数列图象的画法，直观得出图象特点.不仅从代数角度论证了数列与对应函数的关系，还通过图象加以“印证”，学生既能体会代数与几何的统一性，又能进一步加深对数列是特殊的函数的理解.考虑到课堂容量，“边空”中对等比数列单调性的探究作为探究题放在拓展作业里.
环节四
例题练习，巩固理解
例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.
师生活动 与等差数列的问题类似，教师可引导学生分析出等比数列{an}由α1和q唯一确定，可利用条件列出关于α1和q的方程（组）来求解.教师适时启发学生归纳方法：只要给定两个独立的条件，就能确定等比数列，从而求出数列的某一项等.教学中要强化算法的探究，让学生充分体会消元、降次的思想，结合等比数列的通项公式，知道两式相除是此类问题中的常用方法.
追问 还有其他求解的思路吗？
师生活动 学生通过观察联想到等比中项，简化运算，得出结果.教师引导学生感悟到：在数列的解题过程中，观察项数之间的联系也是常用的思维方向之一.

例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an·
师生活动 本题也给出了两个独立的条件：公比q和第m项am.可让学生思考后陈述解题思路：一种思路是先求出用am表示的首项a1，再代入通项公式的表达式中，就得到了用am表示的an；另外也可以像教科书中那样，分别用a1和q表示am和an，两式相除，就消去了a1，得到了用am和q表示的an.在此基础上，教师适时引导学生对这个问题的结论进行总结，即“等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示”.最后还应对算法进行分析，让学生明白这两种思路实质上都是在“消元”，只不过一个是代入消元，一个是利用除法消元.
例3 数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132.求这个数列.
师生活动 学生先自主探究，可由代表上台板演，师生共同评价，通过教师的启发，学生多角度进行探讨，形成如下解答思路：
思路1：设数列{an}首项为a1，前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列各项分别为a1，a1q，80，80 + d，80+ 2d.列出方程组a1q2=80, a1q+80+d=136,a1+80+2d=132,解三元方程组即可.
思路2：设数列{an}前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列各项分别为80q2，80q，80，80+d，80+2d.
于是得80q+80+d=136,80q2+80+2d=132,解二元方程组得q=2,d=16,或q=23,d=−64,
教师引导学生从算法的角度对比各种思路，比较优劣，最后由学生说出较优解法（思路2）之所以易算的原因
通过对此题的探究，让学生在类比等差数列进行求解时，体会到等比数列的独特性，即根据两个给定条件得到的关于首项α1和公比q的方程组的解往往不唯一，此外，为了让学生熟悉等比中项，教科书中把例1中要求的数列的某一项设置为给定两项的等比中项，这样学生就可以直接利用等比中项的定义解决问题了.
部分学生不能顺利将文字阅读转化为“数学阅读”，教师要逐字逐句分析题目，引导学生明白问题的实质是要用已知量q，m和am表示an对两种思路算法的分析十分必要，不能心中只有具体方法没有数学思想，消元、降次是解方程（组）重要的数学思想.
本题未知数的设法有一定难度，可以先让学生自己完成，再引导学生对几种未知数设法进行比较，最后体会到利用中间项去表示其他各项，可以减少设未知数的个数，此处教师不要包办代替，要让学生经历操作、比较、决策、反思的过程，发展逻辑推理和数学运算素养.
环节五
小结提升，形成结构
问题7 回顾本节课的学习内容，回答下列问题：例题练习，巩固理解
例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.
师生活动 与等差数列的问题类似，教师可引导学生分析出等比数列{an}由α1和q唯一确定，可利用条件列出关于α1和q的方程（组）来求解.教师适时启发学生归纳方法：只要给定两个独立的条件，就能确定等比数列，从而求出数列的某一项等.教学中要强化算法的探究，让学生充分体会消元、降次的思想，结合等比数列的通项公式，知道两式相除是此类问题中的常用方法.
追问 还有其他求解的思路吗？
师生活动 学生通过观察联想到等比中项，简化运算，得出结果.教师引导学生感悟到：在数列的解题过程中，观察项数之间的联系也是常用的思维方向之一.
例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an·
师生活动 本题也给出了两个独立的条件：公比q和第m项am.可让学生思考后陈述解题思路：一种思路是先求出用am表示的首项a1，再代入通项公式的表达式中，就得到了用am表示的an；另外也可以像教科书中那样，分别用a1和q表示am和an，两式相除，就消去了a1，得到了用am和q表示的an.在此基础上，教师适时引导学生对这个问题的结论进行总结，即“等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示”.最后还应对算法进行分析，让学生明白这两种思路实质上都是在“消元”，只不过一个是代入消元，一个是利用除法消元.
例3 数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132.求这个数列.
师生活动 学生先自主探究，可由代表上台板演，师生共同评价，通过教师的启发，学生多角度进行探讨，形成如下解答思路：
思路1：设数列{an}首项为a1，前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列各项分别为a1，a1q，80，80 + d，80+ 2d.列出方程组a1q2=80, a1q+80+d=136,a1+80+2d=132,解三元方程组即可.
思路2：设数列{an}前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列各项分别为80q2，80q，80，80+d，80+2d.
于是得80q+80+d=136,80q2+80+2d=132,解二元方程组得q=2,d=16,或q=23,d=−64,
教师引导学生从算法的角度对比各种思路，比较优劣，最后由学生说出较优解法（思路2）之所以易算的原因

（1）如何证明一个数列是等比数列？
（2）本节课推导等比数列通项公式用了哪几种方法？是如何推导的？
（3）请说说等比数列与指数函数之间的关系
（4）从算法的角度来看，含有等比数列基本量的相关方程（组）的解法有什么特点？解法中蕴含了什么数学思想？
师生活动 让学生先总结，再进行全班交流、互动，师生共同评价，并及时补充完善.引导学生对本节课的学习进行自我反思与评价，完成本节课学习内容的知识建构；收集学生掌握得不好或理解不到位的内容，在后续教学中加以改进。
通过对此题的探究，让学生在类比等差数列进行求解时，体会到等比数列的独特性，即根据两个给定条件得到的关于首项α1和公比q的方程组的解往往不唯一，此外，为了让学生熟悉等比中项，教科书中把例1中要求的数列的某一项设置为给定两项的等比中项，这样学生就可以直接利用等比中项的定义解决问题了.
部分学生不能顺利将文字阅读转化为“数学阅读”，教师要逐字逐句分析题目，引导学生明白问题的实质是要用已知量q，m和am表示an对两种思路算法的分析十分必要，不能心中只有具体方法没有数学思想，消元、降次是解方程（组）重要的数学思想.
本题未知数的设法有一定难度，可以先让学生自己完成，再引导学生对几种未知数设法进行比较，最后体会到利用中间项去表示其他各项，可以减少设未知数的个数，此处教师不要包办代替，要让学生经历操作、比较、决策、反思的过程，发展逻辑推理和数学运算素养.
利用符号化概念判定某数列是否为等比数列是此类问题的基本思维，需要通过问题促进学生对概念的深化理解.学生通过学习推导等比数列通项公式的几种方法，既积累了处理代数式的数学活动经验，同时还能有效提升逻辑推理能力，数列是离散型函数，从函数的角度理解数列是本章内容的核心思想，学生需要加深理解.通过解方程（组）求等比数列基本量时，要运用消元、降次思想，结合等比数列的特点形成算法思路.
环节六
目标检测，检验效果
1.在等比数列{an}中，a1a3=36，a2+a4=60.求首项a1和公比q.
检测目标 本题主要检测学生对利用方程（组）求等比数列基本量的掌握程度，以及能否结合项数特征利用等比中项简化运算，测评学生运用函数与方程的思想进行运算求解的能力.
2.对数列{an}，若点n,ann∈N∗都在函数y=cqx的图象上，其中c，q为常数，且c≠0，q≠0，q≠1，试判断数列{an}是否是等比数列，并证明你的结论.
检测目标 本题主要检测学生对等比数列和指数函数的关系的理解程度，以及对利用定义证明等比数列的掌握情况，测评学生运用特殊与一般的思想进行逻辑推理的能力.
3.已知等比数列{an}中，公比q=2，且a1a2a3⋯a30=230 ，求a3a6a9⋯a30的值.
检测目标 本题主要检测学生对等比数列定义及通项公式的灵活应用程度，测评学生运用转化与化归、函数与方程的思想进行逻辑推理和运算求解的能力.
师生活动教师在学生独立完成后公布答案，并根据正确率适当讲评.第3题解答方法灵活，可让学生充分展示不同思路，引导学生感悟“一题多解”与“多解归一”的辩证关系.
目标检测的3道题主要是评价学生对本课时重难点知识的掌握情况，评价采取书面的形式.绝大多数同学应能够顺利完成第1题和第2题，第3题的解答方法多样，具有一定的灵活性，可以根据所选择的方法对学生分析问题和解决问题的能力进行评价.
环节七
布置作业，应用迁移
1.基础性作业
（1）必做题：教科书第31页练习第1、2、5题，第34页练习第1题.
（2）选做题：教科书第40页习题4.3第2题.
2.拓展性作业
（1）类比指数函数的性质，探究公比q>0的等比数列的单调性.
（2）探究等和数列、等积数列的通项公式.
本课时作业的设计采取分层设计，兼顾基础性和拓展性，主要评价学生对等比数列的定义和通项公式的掌握情况.教科书第31页练习第1、2题和第34页练习第1题主要是检测学生对等比数列定义和通项公式的掌握情况，测评学生运用函数与方程的思想进行运算求解的能力；教科书第31页练习第5题和第40页习题4.3第2题主要是检测学生在关联情境中对等比数列定义的掌握情况，测评学生运用特殊与一般、转化与化归的数学思想进行逻辑推理的能力.拓展性作业第（1）题主要是检测学生对数列单调性探究方法的掌握情况，测评学生运用分类与整合的思想进行逻辑推理的能力；拓展性作业第（2）题有一定的开放性，主要检测学生对通过运算探究数列的思路的理解程度，测评学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力.
作业设计
板书设计
教学反思