2023-2024学年宁波市八年级（下）3月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年宁波市八年级（下）3月月考数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
测试范围：第1章 二次根式+第2章 一元二次方程；满分120分
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求。
1．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C．D．
3．在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格：
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不会发生变化的是（ ）
A．中位数B．众数C．平均数D．方差
4．已知三角形两边长分别为4和8，第三边的长是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．16B．22C．24D．16或22
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．甲、乙两名同学参加跳绳训练，他们成绩的平均数相同，成绩方差如下：，，则成绩较稳定的同学是（ ）
A．甲B．乙C．一样稳定D．无法判断
7．已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简得（ ）
A．B．C．D．
8．一元二次方程（a是常数，）的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定有没有实数根
9．如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地种植草坪，使草坪的面积为，若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知a，b是方程的两个根，则的值是（ ）
A．14B．C．D．10
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．计算： ．
12．2023年10月6日晚，在杭州亚运会女篮决赛中，中国女篮以74比72战胜劲敌日本队，成功卫冕亚运会冠军．比赛时中国队5名首发队员的身高如下表：
第二节开始，身高的李月汝上场，换下身高的韩旭．设首发5名队员身高的方差为，第二节开始时，场上5名队员身高的方差为，则与的大小关系是 ，（填“”，“”或“”）
13．关于x的方程有2个实根，则k的取值范围是 ．
14．若，则化简 ．
15．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…．容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和，300是前多少行的点数的和呢？若设前n行的点数和是300，可列方程为 ，经计算可知300是前 行的点数和．
16．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为20，两个小正方形重叠部分的面积为5，空白部分的面积总和为，则较小的正方形面积为 ．
三、解答题：本题有7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：
18．（8分）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
19．（8分）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒．
(1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
(2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
(3)取的中点，运动过程中，当时，求的值；
20．（10分）已知关于的方程．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个实数根恰好是斜边为的直角三角形的两直角边长，求m的值．
21．（10分）在学校组织的“文明出行”知识竞赛中，8（1）和8（2）班参赛人数相同，成绩分为、、三个等级，其中相应等级的得分依次记为级100分、级90分、级80分，达到级以上（含级）为优秀，其中8（2）班有2人达到级．将两个班的成绩整理并绘制成如图的统计图．请解答下列问题：
8（1）（2）班竞赛成绩统计表
(1)求各班参赛人数，并补全条形统计图；
(2)此次竞赛中8（2）班成绩为级的人数为______；
(3)小明根据以上信息制作了8（1）（2）班竞赛成绩统计表：请分别求出和的值，并综合考虑“平均分”“优秀率”和“稳定性”三方面因素，判断这两个班哪个班的成绩更好一些．
22．（12分）年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．现某商店推出销售吉祥物活动，已知吉祥物每件的进货价为元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为元时，每天可销售件；当销售单价每增加元，每天的销售数量将减少件．（销售利润销售总额进货成本）
(1)若“龙辰辰”吉祥物的销售单价为元，则当天销售量为 件；
(2)该吉祥物的当天利润有可能达到元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
23．（12分）阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号．
例如：已知，求式子 的最小值．
解：令 ，，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
(1)当，式子 的最小值为 ；
(2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
(3)如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．

2024学年宁波市八年级（下）（3月份）月考
数学试卷答案解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求。
1．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数大于等于零得出，求解即可，熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键．
【详解】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得：，
故选：D．
2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键，根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
【详解】解：A．，是一元二次方程；
B．，不是整式方程，选项B不符合题意；
C．原方程可整理得：，是一元一次方程，选项C不符合题意；
D．当时，选项D不符合题意．
故选：A．
3．在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格：
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不会发生变化的是（ ）
A．中位数B．众数C．平均数D．方差
【答案】A
【分析】本题考查看了统计量的选择，根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数，解题的关键是了解中位数的定义．
【详解】解：去掉一个最高分和最低分对中位数没有影响，
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不会发生变化的是中位数，
故选：A．
4．已知三角形两边长分别为4和8，第三边的长是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．16B．22C．24D．16或22
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程，构成三角形的条件，正确的解一元二次方程是解题的关键．先解一元二次方程，根据三边关系确定第三边的长，进而求得三角形的周长．
【详解】解：∵，
∴，
解得，，
∵第三边的长为二次方程的一根，
∴边长4，4，8不能构成三角形，
∴三角形的三边为：4，8，10，
∴三角形的周长为，
故选：B．
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的运算，掌握运算法则正确计算是解题关键．利用二次根式的乘除法和加减法法则进行计算，逐个判断即可．
【详解】解：A、，不是同类二次根式不能合并，故本选项不符合题意；
B、，原式错误，故本选项不符合题意；
C、，原式错误，故本选项不符合题意；
D、，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
6．甲、乙两名同学参加跳绳训练，他们成绩的平均数相同，成绩方差如下：，，则成绩较稳定的同学是（ ）
A．甲B．乙C．一样稳定D．无法判断
【答案】A
【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差是解题的关键；此题可根据方差的性质“方差越小，数据的波动越小”进行求解．
【详解】解：∵，
∴成绩较稳定的同学是甲；
故选A．
7．已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简得（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质与化简，利用数轴上点的位置确定，，a的符号是解题的关键．
利用数轴上点的位置确定，，a的符号，再利用二次根式的性质解答即可．
【详解】解：根据数轴可得，，，，
∴，，
∴原式
．
故选：A．
8．一元二次方程（a是常数，）的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定有没有实数根
【答案】A
【分析】本题考查根的判别式，根据得判断即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
9．如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地种植草坪，使草坪的面积为，若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为，根据草坪的面积是，即可列出方程．
【详解】解：设道路的宽为，根据题意得：，
故选：C．
10．已知a，b是方程的两个根，则的值是（ ）
A．14B．C．D．10
【答案】A
【分析】本题主要考查根与系数的关系和方程的解的定义，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．根据方程的解的概念和韦达定理得出，，将先后两次代入变形得出原式，再将代入计算可得．
【详解】解：，是方程的两个根，
，即，，
则原式
，
故选：A
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的加减运算，理解二次根式的性质，准确化简各数是解题关键．
直接根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：
故答案为：．
12．2023年10月6日晚，在杭州亚运会女篮决赛中，中国女篮以74比72战胜劲敌日本队，成功卫冕亚运会冠军．比赛时中国队5名首发队员的身高如下表：
第二节开始，身高的李月汝上场，换下身高的韩旭．设首发5名队员身高的方差为，第二节开始时，场上5名队员身高的方差为，则与的大小关系是 ，（填“”，“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了方差．利用方差公式计算，然后比较大小即可．
【详解】解：首发5名队员身高的平均数为：，
首发5名队员身高的方差为
，
第二节5名队员身高的平均数为：，
第二节5名队员身高的方差为
．
故．
故答案为：．
13．关于x的方程有2个实根，则k的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此求解即可．
【详解】解：∵方程有2个两实根之和为m，
∴，
解得，
故答案为：．
14．若，则化简 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质，可得，根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据整式的加减，可得答案．
【详解】解：由，得，
∴
故答案为：．
15．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…．容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和，300是前多少行的点数的和呢？若设前n行的点数和是300，可列方程为 ，经计算可知300是前 行的点数和．
【答案】 24
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．解题的关键是对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点，则前五行共有个点，前10行共有个点，前行共有个点，然后求它们的和，前行共有个点，则，然后解方程，求的值即可．
【详解】解：由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点，
则前五行共有个点，
前10行共有个点，
，
前行共有个点，
然后求它们的和，
前行共有个点，
由题意可得：，
整理得，
，
，，
为正整数，
．
∴300是前24行的点数之和；
故答案为：；24．
16．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为20，两个小正方形重叠部分的面积为5，空白部分的面积总和为，则较小的正方形面积为 ．
【答案】
【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为，
∴一个空白长方形面积=，
∵较大的正方形面积为20，两个小正方形重叠部分的面积为5，
∴正方形边长=，重叠部分边长=，
∴空白部分的长=，
设空白部分宽为，
∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=，
∴小正方形面积=，
故答案为：．
三、解答题：本题有7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：
【答案】
【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质、零指数幂、负整数指数幂和二次根式的加减运算，先运用二次根式性质化简、再计算零指数幂及负整数指数幂，最后利用二次根式加减运算求解即可得到答案，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：
．
18．（8分）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)19
(2)
【分析】（1）先计算的值，根据题意，将代数式进行适当的变形如下， ，后整体代入求值．
（2）先计算的值，根据题意，将代数式进行适当的变形如下， ，后整体代入求值．
【详解】（1）∵，，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
∴
．
19．（8分）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒．
(1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
(2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
(3)取的中点，运动过程中，当时，求的值；
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
(3)，
【分析】（1）根据题意可知：，，，根据勾股定理及一元二次方程根的判别式，即可判定；
（2）设运动秒钟后的面积为，则，， cm，cm，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）以B点为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，，则，取的中点，连接，则，根据直角三角形的性质可得，再根据两点间的距离公式，可得，解方程即可求得．
【详解】（1）解：根据题意可知：，，，
∵四边形是矩形，
，
在中，，
，
解得：（舍去）或
（2）解：设运动秒钟后的面积为，则 ，，，，
，
，
，
即，
，
方程无实数根，
的面积不能为；
（3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
设，，
，
又，，
取的中点，连接，则，
，
，
，
解得：，．
20．（10分）已知关于的方程．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个实数根恰好是斜边为的直角三角形的两直角边长，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】本题考查的是勾股定理、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，根据勾股定理列出方程并正确解出方程是解题的关键．
（1）利用一元二次方程根的判别式、配方法证明即可；
（2）根据根与系数的关系求出，再根据勾股定理列出方程，利用公式法解出方程，得到答案．
【详解】（1）证明：，，，
则
，
所以无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两根为、，
则，，
则，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
答：的值为或．
21．（10分）在学校组织的“文明出行”知识竞赛中，8（1）和8（2）班参赛人数相同，成绩分为、、三个等级，其中相应等级的得分依次记为级100分、级90分、级80分，达到级以上（含级）为优秀，其中8（2）班有2人达到级．将两个班的成绩整理并绘制成如图的统计图．请解答下列问题：
8（1）（2）班竞赛成绩统计表
(1)求各班参赛人数，并补全条形统计图；
(2)此次竞赛中8（2）班成绩为级的人数为______；
(3)小明根据以上信息制作了8（1）（2）班竞赛成绩统计表：请分别求出和的值，并综合考虑“平均分”“优秀率”和“稳定性”三方面因素，判断这两个班哪个班的成绩更好一些．
【答案】(1)8（1）、八（2）班参赛人数是10；图见解析
(2)1
(3)，，8（2）班的成绩更好一些
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率频数总数是正确解答的关键．
（1）从两个统计图可知八（2）班成绩为A等级的学生有2人，占调查人数的20%，由频率频数总数可求出八（2）班调查人数，进而求出八（1）班成绩为C等级的人数，补全条形统计图；
（2）根据频率频数总数进行计算即可；
（3）根据平均数，方差的计算方法进行计算即可求出，的值，再根据平均数、优秀率的大小和方差的大小得出结论即可．
【详解】（1）解：八（2）班调查人数为（人），
∵8（1）和8（2）班参赛人数相同，
∴八（1）班调查人数也是10人，
所以样本中八（1）班成绩在C等级的人数为（人），
补全条形统计图如下：
（2）8（2）班成绩为C级的人数为（人），
故答案为：1；
（3）八（1）班学生成绩的平均数为（分），即，
八（1）班学生成绩的方差为，即，
八（1）班学生成绩的优秀率为，
八（2）班学生成绩的优秀率为，
从平均数看，两个班成绩相同，
从优秀率看，，所以八（2）班的成绩较好，
从方差来看，，所以八（2）班的成绩较稳定．
综合来看，8（2）班的成绩更好一些．
22．（12分）年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．现某商店推出销售吉祥物活动，已知吉祥物每件的进货价为元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为元时，每天可销售件；当销售单价每增加元，每天的销售数量将减少件．（销售利润销售总额进货成本）
(1)若“龙辰辰”吉祥物的销售单价为元，则当天销售量为 件；
(2)该吉祥物的当天利润有可能达到元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)不能，理由见解析．
【分析】（）根据题意列出算式即可求解；
（）假设该吉祥物的当天利润能达到元，设销售单价增加元，由题意可得一元二次方程，由得到方程没有实数根，即可判断当天利润不能达到元；
本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，有理数的混合运算，根据题意，找到等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：（）根据题意得，当天销售量为：
，
，
（件），
∴若“龙辰辰”吉祥物的销售单价为元，则当天销售量为件，
故答案为：；
（2）解：该吉祥物的当天利润不能达到元，理由如下：
假设该吉祥物的当天利润能达到元，设销售单价增加元，则每件的销售利润为元，每天可销售件，
根据题意得：，
整理得：，
∵，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即该吉祥物的当天利润不能达到元．
23．（12分）阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号．
例如：已知，求式子 的最小值．
解：令 ，，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
(1)当，式子 的最小值为 ；
(2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
(3)如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．

【答案】(1)6
(2)20米
(3)
【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用，阅读材料，材料阅读题是中学阶段所学习的重要内容，体会材料中的数学思想与方法，学会用新方法去解决数学中的问题，对学生的要求较高，是一道拔高型的综合题目．
（1）根据材料提供的信息解答即可．
（2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可．
（3）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是6和12，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可．
【详解】（1）解：令 ，，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6．
（2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，
则，
∴，
∴所用篱笆的长为米，
∵当且仅当时，的值最小，最小值为20，
∴或（舍去）．
∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米．
（3）解：设点B到的距离为，点D到的距离为，
又∵、的面积分别是6和12，
∴，，
∴，
∴
∵．
∴当且仅当时，取等号，即的最小值为，
∴四边形面积的最小值为．
平均数
众数
中位数
方差
9.1
9.3
9.2
0.1
队员
韩旭
金维娜
李梦
潘臻琦
王思雨
身高
207
180
182
190
175
平均数
中位数
方差
8（1）
90
8（2）
91
90
29
平均数
众数
中位数
方差
9.1
9.3
9.2
0.1
队员
韩旭
金维娜
李梦
潘臻琦
王思雨
身高
207
180
182
190
175
平均数
中位数
方差
8（1）
90
8（2）
91
90
29