河南省郑州市中牟县第二高级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份河南省郑州市中牟县第二高级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共10页。试卷主要包含了如图，，，，则AE的长是，如图，不能判定和相似的条件是，若点，，在反比例函数，关于一元二次方程等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。
一、选择题（每小题3分，共30分）
下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内．
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．在中，，，，下列四个选项，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，，，，则AE的长是（ ）
A．3B．4C．6D．10
4．如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，不能判定和相似的条件是（ ）
A．B．
C．D．
6．若点，，在反比例函数（k是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．关于一元二次方程（k为常数）的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定根的情况
8．在物理课上，某实验的电路图如图所示，其中，，表示电路的开关，，，表示小灯泡．当随机闭合开关，，中的两个时，有两个灯泡发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，，点B的纵坐标为，对角线BO交双曲线于点D，轴，则k的值为（ ）
A．6B．C．12D．
10．如图，平面直角坐标系中，，，点P为线段OB上一个动点，连接AP，以AP为边在第一象限构造正方形APMQ，连接BM，当BM有最小值时，点Q的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若是关于x的方程的解，则b的值等于______．
12．不透明的口袋中装有8个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有______个．
13．如图，小明用灯泡O照射一个矩形硬纸片ABCD，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片ABCD的面积为，则影子的面积为______．
14．已知点，，若抛物线与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围为______．
15．如图，等腰三角形ABC中，，该三角形的两条高BD与AE交于点F，连接CF，点P为射线AE上一个动点，连接BP，若，当与相似时，AP的长为______．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（12分）（1）计算：；
（2）求值：已知，求的值；
（3）解方程：．
17．（8分）如图是用棱长为1cm的小正方体组成的简单几何体．
（1）这个几何体的体积是______；
（2）请画出这个几何体的三视图；
（3）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，那么最多可以再添加______个小正方体．
18．（9分）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，其对称轴与x轴交于点D，E为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在下图中作出该函数的图象并回答：
①该抛物线的对称轴为直线______；
②该抛物线的最大值为______；
（3）①若，则______；
若无实数根，则t的取值范围是______；
②若，则x的取值范围是______；
③若，则x的取值范围是______．
19．（9分）如图，东西走向的水平海岸线上有A，B两个码头，小岛C在码头A正北方向20海里处，轮船行驶到D时观测到小岛C在船的西南方向50海里处，码头B在船的南偏东37°方向上．求出码头A和码头B的距离（结果保留整数，参考数据：，，，）．
20．（9分）如图，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A，B，交反比例函数的图象于，两点，连接OM，ON．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）将直线向下平移k个单位长度，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求出k的值．
21．（9分）如图，在中，AM为BC边上的高，点P为AM上不与A，M重合的一个动点，点Q为MP的中点，过点P作，交AB于点D，交AC于点E，射线EQ交BC于点G，射线DQ交BC于点F．连接DG，EF．
（1）如图1，若为等腰直角三角形，，则四边形DEFG的形状为______；
（2）如图2，若为一般三角形，判断四边形DEFG的形状并说明理由；
（3）在（2）的情况下，若，当四边形DEFG的面积与的面积相等时，求出MP的长．
22．（9分）你见过“倒过来的桥”吗？位于我国湖南省邵阳洞口县的淘金大桥，大桥的位置在一个山谷当中，桥全长70米，这座桥桥面是水平的，而桥底则是近似为抛物线，桥面和桥底用若干混凝土石柱竖直支撑．
小明在研究淘金大桥时测得当距离桥头35米时，桥面和桥底的支撑石柱最长，为20米，小明以桥面为x轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥底的函数解析式为．
（1）求该函数的解析式；
（2）思考：
①若该桥平均分布9根石柱支撑，求离桥头最近的石柱的长度；
②若石柱的长度为16.8米，则这根石柱安放的位置距离桥头有多远？
23．（10分）综合与实践：
在综合与实践课上，刘老师引导学生探究矩形的折叠．
矩形纸片ABCD中，点P为射线AB上一点，小明沿DP折叠得到，点A的对应点为M，分别延长DP，DM交直线BC于点Q，N．
【问题提出】
（1）如图1，若点B与点N重合，请判断与的数量关系为______；
【再次探究】
（2）如图2，当点B与点N不重合时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若，，当时，直接写出DN的长．
2023—2024学年上期九年级期末试题数学答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．C 2．A 3．B 4．D 5．D 6．A 7．A 8．B 9．D 10．B
二、填空题（每小题3分，共15分）
11． 12．12 13．100 14．或 15．或
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．解：（1）原式；
（2）设，， 则；
（3）∵，，， ∴，
∴， ∴，；
17．解：（1）9； （2）三视图如图所示：
（3）4．
18．解：（1）抛物线的表达式为：，
将点C的坐标代入上式并解得：， 故抛物线的表达式为：；
（2）①；②4；
（3）①0或2； ②； ③或；
19．解：如图，过点D作，垂足为E，过点C作，垂足为F．
在中，，
，∴ 海里．
为等腰直角三角形，∴海里．
根据题意得，四边形AEFC为矩形，∴海里．
∴海里，即海里．
在中，，
，∴
∴海里
答：码头A和码头B的距离AB约为74海里．
20．解：（1）∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：，
∵在反比例函数图象上， ∴，，
∵，在一次函数的图象上，
∴，解得：， ∴一次函数解析式为：；
（2）根据图像，不等式的解集为：或；
（3）设直线AB向下平移k个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点，
则平移后的解析式为，
联立两个函数得：，整理得：，
， ∴，
或，
因为点， ∴不符合题意舍去． ∴．
21．解：（1）矩形；
（2）四边形DEFG是平行四边形．
∵， ∴；， ∴，
∵，， ∴，
∵， ∴，
∵， ∴四边形DGFE是平行四边形；
（3）设，
∵， ∴， ∴，
∴当时，四边形DEFG与面积相等．
22．解：（1）由题意知，抛物线顶点为，
设抛物线的解析式为，将代入得： ，
解得， ∴，
答：该函数图象的解析式为；
（1）①若该桥平均分布9根石柱支撑，则每根石柱的距离为米，
即离桥头最近的石柱桥面位置距桥头为7米，
在平面直角坐标系中，这个点的横坐标为7，带入解析式可得，
当时，，
∴离桥头最近的石柱长度为7.2米．
②若石柱的高度为16.8米，由题意得
当时，，
解得或，
∴若石柱的高度为16.8米，则这根石柱安放的位置距离桥头有21米或49米．
23．（1）；
（2）证明：四边形ABCD为矩形， ∴， ∴，
由折叠可知：， ∴；
（3）当时，线段DN的长为8或10．
【提示】①当点P在线段AB上时，如图1，
由可得：，
∴，∴，，∴点C与点N重合，
∴；
②当点P在AB的延长线上时，如图2，
由可得：， ∴，即，
则，
设，则，
在中，，即，
解得：， ∴．
综上所述：当时，线段DN的长为8或10．