辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

这是一份辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题，共13页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，4，乙赢教练的概率为0等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教B版必修第四册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第三章~第四章4.2.2。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从M处到N处接通时，不同的线路可以有（ ）
A．5条B．6条C．7条D．8条
2．已知复数z满足，则z的虚部是（ ）
A．-1B．1C．-iD．i
3．过点且与直线平行的直线的方程是（ ）
A．B．C．D．
4．已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．京剧，又称平剧、京戏等，中国国粹之一，是中国影响最大的戏曲剧种，分布地以北京为中心，遍及全国各地．京剧班社有“七行七科”之说：七行即生行、旦行(亦称占行)、净行、丑行、杂行、武行、流行．某次京剧表演结束后7个表演者(七行中每行1人)排成一排合影留念，其中净行、丑行、杂行互不相邻，则不同的排法总数是（ ）
A．144B．240C．576D．1440
7．已知，，，，则点D到平面ABC的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．已知圆C：和两点，(t>0)，若圆C上至少存在一点P，使得，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．存在实数λ，使得曲线C为圆
B．若曲线C为椭圆，则
C．若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则
D．当曲线C是椭圆时，曲线C的焦距为定值
11．某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台O的北偏东45°方向处设立观测点A，在平台O的正西方向240m处设立观测点B，已知经过O，A，B三点的圆为圆C，规定圆C及其内部区域为安全预警区．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系．经观测发现，在平台O的正南方向200m的P处，有一辆小汽车沿北偏西45°方向行驶，则（ ）
A．观测点A，B之间的距离是280m
B．圆C的方程为
C．小汽车行驶路线所在直线的方程为
D．小汽车不会进入安全预警区
12．已知椭圆C：()过点，直线l：与椭圆C交于M，N两点，且线段MN的中点为P，O为坐标原点，直线OP的斜率为，则下列结论正确的是（ ）
A．C的离心率为
B．C的方程为
C．若m=1，则
D．若，则椭圆C上不存在E，F两点，使得E，F关于直线l对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中的常数项为______．
14．新高考模式下，“3+1+2”中“3”是数学、语文、外语三个必选的主科，“1”是物理、历史二选一，“2”是在地理、生物、化学、政治中选两科．已知某校高二学生中有的学生选择物理，剩余的选择历史，选择物理和历史的学生中选择地理的概率分别是和，则从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率为______．
15．《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，现有如图所示的“堑绪”，其中，，若“堑绪”的体积为，则“堑堵”的外接球的表面积为______．
16．已知抛物线C：()的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于M，N两点(M在第二象限)，过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为，若，，则p=______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)已知两点，，直线l：．
(1)若直线经过点P，且，求直线的方程;
(2)若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程．
18．(本小题满分12分)已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，，且．
(1)求角C;
(2)若b=2，的面积为，求的周长．
19．(本小题满分12分)
甲、乙两名同学同时参加学校象棋兴趣小组，在一次比赛中，甲、乙两名同学与同一位象棋教练进行比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，若甲赢而乙输，则甲得2分；若甲输而乙赢，则甲得-2分；若甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢教练的概率为0.4，乙赢教练的概率为0.5，每轮比赛结果相互独立．
(1)求在一轮比赛中，甲得分X的分布列；
(2)求前两轮比赛中甲得分之和为0的概率．
20．(本小题满分12分)已知椭圆E：()的离心率为，点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程;
(2)已知椭圆E的右顶点为B，过B作直线l与椭圆E交于另一点C，且，求直线l的方程．
21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且，，，，正三角形PCD所在平面与平面ABCD垂直，E，F分别为DC，PC的中点．
(1)求证：平面PAE;
(2)求二面角F-BD-C的平面角的余弦值．
22．(本小题满分12分)在直角坐标平面内，已知，，动点P满足条件：直线PA与直线PB的斜率之积等于，记动点P的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程;
(2)过点作直线l交E于M，N两点(与A，B不重合)，直线AM与BN的交点Q是否在一条定直线上?若是，求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．
建平县实验中学2023~2024学年度上学期高二期末考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1．D 由题意知可以按上、下两条线路分为两类，上线路中有2条，下线路中有2×3=6条．根据分类计数原理，不同的线路可以有2+6=8条．故选D．
2．B 由已知，得，所以z的虚部为1．故选B．
3．A 设与直线平行的直线的方程为，将点代入得，解得，所以所求直线的方程为．故选A．
4．C 设等轴双曲线C的方程为，将点代入得，解得m=28．所以双曲线C的标准方程为．故选C．
5．C 由题意
．故选C．
6．D 先将生行、旦行、武行、流行这4人全排列，有种，产生5个空，再将净行、丑行、杂行这3人插入5个空中，有种，所以不同的排法总数是．故选D．
7．C ，，，设平面ABC的法向量，则即令y=1，则，z=2，所以平面ABC的一个法向量为，
所以点D到平面ABC的距离．故选C．
8．B 圆C：的圆心C(3，4)，半径为r=3，因为圆C上至少存在一点P，使得，
则，所以圆C与圆O：()的位置关系为相交、内切或内含，所以，又因为，所以，即t>2．故选B．
9．AC ，所以，A正确;
，所以，B错误;
，，所以，C正确;
，不存在实数λ，使得，故与不平行，D错误．故选AC．
10．AC 对于A，当，即λ=4时，曲线C的方程为，所以曲线C为圆，故A正确；对于B，由曲线C为椭圆，得，且，解得且λ≠4，故B错误;对于C，由曲线C为焦点在x轴上的双曲线，得，，解得，故C正确;对于D，当曲线C是焦点在x轴上的椭圆时，，，，所以曲线C的焦距不是定值；当曲线C是焦点在y轴上的椭圆时，，，所以曲线C的焦距不是定值，故D错误．故选AC．
11．BC 由题意，得，，所以，即观测点A，B之间的距离是，故A错误；设圆C的方程为，因为圆C经过O，A，B三点，所以解得所以圆C的方程为，故B正确；小汽车行驶路线所在直线的斜率为-1，又点P的坐标是，所以小汽车行驶路线所在直线的方程为，故C正确;圆C化成标准方程为，圆心为，半径r=200，圆心C到直线的距离，所以直线与圆C相交，即小汽车会进入安全预警区，故D错误．故选BC．
12．ACD 设，，则，即．因为M，N在椭圆C上，所以，，两式相减，得，
即，又，所以，即，所以，离心率，故A正确；因为椭圆C过点，所以，解得，，所以椭圆C的标准方程为，故B错误；若m=1，则直线l的方程为，由得，所以，，，故C正确；若，则直线l的方程为．假设椭圆C上存在E，F两点，使得E，F关于直线l对称，设，，EF的中点为，所以，，因为E，F关于直线l对称，所以且点Q在直线l上，即．又E，F在椭圆C上，所以，，两式相减，得，即，
所以，即．联立解得即．又，所以点Q在椭圆C外，这与Q是弦EF的中点矛盾，所以椭圆C上不存在E，F两点，使得E，F关于直线l对称，故D正确．故选ACD．
13．252 的展开式的通项公式，当时，r=2，故的展开式中的常数项为．
14． 由全概率公式，得，即从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概
率为．
15．27π 由题意知“堑堵”的体积，所以，将“堑堵”置于边长为3的正方体中，此时“堑堵”的外接球即为正方体的外接球，外接球的直径为，所以“堑堵”的外接球的表面积．
16．3 如图，()的焦点为，由抛物线的定义，知，又，所以是等边三角形，所以，，直线MN的方程为，设，()，联立方程得，所以，．由，
得．解得p=3．
17．解：(1)直线l：的斜率为2，
设直线的斜率为k，由，得，解得，
又直线经过点，所以直线的方程为，即．
(2)方法一：，所以PQ的中垂线的斜率为，又PQ的中点为，
所以PQ的中垂线的方程为，即．
因为P，Q两点在圆C上，所以圆心C在PQ的中垂线上，又圆心C在直线l上，由
得即圆心C的坐标为(3，2)，
又圆C的半径，
所以圆C的方程为．
方法二：因为圆C的圆心在直线l上，所以可设圆心C的坐标为，半径为r，
所以圆C的方程为，
又P，Q两点在圆C上，所以解得
所以圆C的方程为．
18．解：(1)由向量平行的坐标公式，得，
由正弦定理，得，即，
由余弦定理，得，又，故．
(2)由三角形面积公式，得，故a=2，所以为等腰三角形，
所以．
又，故，所以的周长为．
19．解：(1)由题设，X的可能取值为-2，0，2，
，
，
．
X的概率分布为
(2)设第一轮比赛中甲得分为x，第二轮比赛中甲得分为y，前两轮比赛中甲得分之和为0为事件A，则事件A包含x=-2，y=2;x=0，y=0;x=2，y=-2，且x=-2，y=2;x=0，y=0;x=2，y=-2两两互斥，
又每轮比赛结果相互独立，
所以，
，即前两轮比赛中甲得分之和为0的概率为0.37．
20．解：(1)由题可知，其中，所以，
又点在椭圆E上，所以，即，解得，，
所以椭圆E的方程为．
(2)由椭圆E的方程，得，所以，
设，其中，，因为，所以，
又点在椭圆E：上，所以，
联立得，解得或(舍)，
当时，，即或．
所以当C的坐标为时，直线l的方程为;当C的坐标为时，直线l的方程为．
21．(1)证明：因为是正三角形，E为DC的中点，所以，又平面平面ABCD，平面PCD平面ABCD=CD，PE平面PCD，所以平面ABCD，而平面ABCD，所以．
如图，连接BE，在直角梯形ABCD中，，，，，所以，，，在平面ABCD内过点A作，垂足为G，则，，所以，所以，即．
又，AE，平面PAE，所以平面PAE．
(2)解：取AB的中点H，连接EH，在直角梯形ABCD中，，E，H分别为CD，AB的中点，则，又，所以，由(1)知平面ABCD，又CD，平面ABCD，则，．以E为原点，ED，EH，EP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，
因为平面ABCD，所以平面BCD的一个法向量为，
，，
设平面BDF的法向量为，则令y=1，得，，
所以平面BDF的一个法向量为．
设二面角F-BD-C的平面角为θ，所以，
由图可知二面角F-BD-C的平面角为锐角，所以二面角F-BD-C的平面角的余弦值为．
22．解：(1)设，则，
所以，即，
故曲线E的方程为．
(2)根据题意，直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为，
由消去x并整理得，
．
设，，则，．
因为，
所以可设直线AM的方程为，①
直线BN的方程为，②
所以直线AM，BN的交点的坐标满足．
而
因此，即点Q在定直线上，且定直线的方程为x=1．
X
-2
0
2
P
0.3
0.5
0.2