甘肃省部分学校2024届高三下学期2月开学考试数学试卷(含答案)

这是一份甘肃省部分学校2024届高三下学期2月开学考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,或,则( )
A.B.
C.或D.或
2．( )
A.B.C.D.
3．已知单位向量,满足,则,夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
4．已知复数z满足;则( )
A.B.C.8D.20
5．若直线与抛物线只有1个公共点,则C的焦点F到l的距离为( )
A.B.C.D.
6．已知的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,则展开式中二项式系数最大的项是( )
A.B.C.D.
7．函数的单调递减区间是( )
A.B.
C.D.
8．已知是定义域为R的偶函数,且在上单调递减,,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知数列满足,,则( )
A.是等差数列
B.的前n项和为
C.是单调递增数列
D.数列的最小项为4
10．已知函数（,其中表示不大于x的最大整数）,则( )
A.是奇函数B.是周期函数
C.在上单调递增D.的值域为
11．已知正四面体ABCD的棱长为4,点P是棱AC上的动点（不包括端点）,过点P作平面平行于AD,BC,与棱AB,BD,CD交于Q,S,T,则( )
A.该正四面体可以放在半径为的球内
B.该正四面体的外接球与以A点为球心,2为半径的球面所形成的交线的长度为
C.四边形PQST为矩形
D.四棱锥体积的最大值为
三、填空题
12．2023年度,网络评选出河南最值得去的5大景点：洛阳龙门石窟,郑州嵩山少林寺,开封清明上河园,洛阳老君山,洛阳白云山,小张和小李打算从以上景点中各自随机选择一个去游玩,则他们都去洛阳游玩,且不去同一景点的概率为_______________.
13．已知,分别是双曲线的左､右焦点,过点且垂直x轴的直线与C交于A,B两点,且,若圆与C的一条渐近线交于M,N两点,则__________.
14．若圆锥SO的母线长为3,则圆锥SO体积的最大值为__________.
四、解答题
15．已知在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.
（1）若,证明：是等腰三角形;
（2）若,求a的值.
16．2022年日本17岁男性的平均身高为,同样的数据1994年是,近30年日本的平均身高不仅没有增长,反而降低了.反观中国近30年,男性平均身高增长了约.某课题组从中国随机抽取了400名成年男性,记录他们的身高,将数据分成八组：,,···,;同时从日本随机抽取了200名成年男性,记录他们的身高,将数据分成五组：,,···,整理得到如下频率分布直方图：
（1）由频率分布直方图估计样本中日本成年男性身高的分位数;
（2）为了了解身高与蛋白质摄入量之间是否有关联,课题组调查样本中的600人得到如下列联表：
结合频率分布直方图补充上面的列联表,并依据小概率值的独立性检验,推断成年男性身高与蛋白质摄入量之间是否有关联？
附：.
17．如图,正方体的棱长为2,E,F分别为棱AB,的中点.
（1）请在正方体的表面完整作出过点E,F,的截面,并写出作图过程;（不用证明）
（2）求点到平面的距离.
18．已知椭圆的离心率为e,点在C上,C的长轴长为.
（1）求C的方程;
（2）已知原点为O,点P在C上,OP的中点为Q,过点Q的直线与C交于点M,N,且线段MN恰好被点Q平分,判断是否为定值？若为定值,求出该定值;若不为定值,说明理由.
19．已知函数.
（1）若在上单调递增,求a的取值范围;
（2）若有2个极值点,,求证：.
参考答案
1．答案：A
解析：因为或,
所以.
故选：A.
2．答案：C
解析：.
故选：C.
3．答案：B
解析：两边平方得,
解得,又,为单位向量,
所以,夹角的余弦值为.
故选：B.
4．答案：B
解析：,得,
所以.
故选：B.
5．答案：D
解析：联立l与C的方程并消去x,得.
因为l与C只有1个公共点,所以,
结合,解得,则,所以F到l的距离.
故选：D.
6．答案：C
解析：展开式中的第项为,
所以前三项系数依次为,,
依题意,有,即,整理,
得,解得（舍去）或.
由二项式系数的性质可知,展开式中第5项的二项式系数最大,即.
故选：C.
7．答案：D
解析：.
由,,
解得,,
所以的单调递减区间是.
故选：D.
8．答案：A
解析：因为是定义域为R的偶函数,且在上单调递减,
所以在上单调递增;,即;
令,当时,,则单调递增,
所以,即,所以.
而在上单调递增,故有,即.
故选：A.
9．答案：BC
解析：由,得,因为,
所以,,···,,从而,
所以是首项为1,公比为的等比数列,所以,即.
所以,所以,所以A错误,B正确;由,易知是单调递增数列,C正确;
当时,,当时,,D错误.
故选：BC.
10．答案：BD
解析：由题意,表示不大于x的最大整数,则,
所以,,
则函数是以3为周期的函数,当时,;
当时,,则
又是以3为周期的函数,则的值域为,B和D均正确;,
所以,故不是奇函数,A错误;当时,,故在上无单调性,C错误.
故选：BD.
11．答案：AC
解析：对于A,易算出该正四面体外接球的半径,
所以该正四面体可以放入半径为的球内,故A正确;
对于B,由A可知四面体外接球的半径,
如图,在中,,
所以;在中,,
易知两个球面的交线为圆,其周长为,故B错误;
对于C,取BC的中点M,连接AM,DM.易证平面ADM,所以;
又平面,平面平面,所以,同理,
所以,同理,所以四边形PQST为平行四边形;又是AD与BC所成的角,
所以,于是四边形PQST为矩形,则C正确;
对于D,设,易证,所以,
可得,同理可得.取AD中点N,连接MN,交平面PQST于点I.
由上面的论证可知平面PQST.因为平面PQST与AD,BC都平行,所以可得,
又易知,所以,即C到平面PQST的距离为,
所以.
.
令,,
因为,,
所以,所以,故D错误.
故选：AC.
12．答案：
解析：小张和小李从5个景点中各自选择1个,共有种可能,5个景点中有3个在洛阳,则他们都选择去洛阳游玩,且不去同一景点的情况有种,故所求概率.
13．答案：
解析：设,
解得,
解得,所以渐近线方程为,由对称性,不妨取进行计算,
弦长.
14．答案：
解析：设底面半径为r,则圆锥的高,
体积.
令,
则,
当时,单调递增,
当时,单
调递减;所以当,即时,V取最大值,
此时.
15．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：由,及正弦定理,
得,
即,
即.
因为,所以,
即.
因为,
所以或.
因为,所以,又,所以.
故是等腰三角形.
（2）因为,,即,则.
由（1）可得.
因为,
所以.
由正弦定理,得.
因为,所以.
结合,解得.
16．答案：（1）
（2）成年男性身高与蛋白质摄入量之间有关联
解析：（1）由频率分布直方图可知,解得.
因为,
所以分位数位于,设为m,
则有,解得.
故日本成年男性身高的分位数为.
（2）由频率分布直方图知,样本中身高低于的中国成年男性人数是208（人）,
样本中身高低于的日本成年男性人数是（人）,
故样本中身高低于的共有348人,可得下表：
零假设：成年男性身高与蛋白质摄入量之间无关联,则由列联表数据可得：
,
依据的独立性检验,我们推断不成立,即认为成年男性身高与蛋白质摄入量之间有关联.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）连接并延长交DC延长线于点I,连接IE并延长交BC于点H,交DA延长线于点J,
连接交于点G,
则截面即为所求.
（2）如图,以D为原点,棱DA,DC,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Dxyz.
因为正方体的棱长为2,所以,,,
,,
设平面的法向量为,
则即
取,得平面的法向量为.
设点到平面的距离为d,则,
故点到平面的距离为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为C的长轴长为,所以,
由得,
把代入C的方程得,即,
解得,所以,解得,
所以C的方程为.
（2）法一：设,,
由题意可知,点Q既是OP的中点,又是MN的中点,
所以即
因为点P在C上,所以,
整理得,
因为M,N在C上,所以,,.
将两边平方,得,
又,展开,得,
所以,
所以,
又
.
所以为定值.
法二（通性通法）：当轴且MN在y轴右侧时,
显然,,,,
则,
同理,当轴且MN在y轴左侧时,.
当MN与x轴不垂直时,设直线MN的方程为.
由得,
则,化简,得.
设,,则,.
设,则,,
所以,代入,得,
化简,得,适合.
.
综上,为定值.
19．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）法一：因为,
所以,
若,则,在上单调递增;
若,令,则,
时,单调递减;时,单调递增,
所以是的极小值点,所以,
所以当,即时,,,在上单调递增.
综上,a的取值范围是.
法二：因为在上单调递增,
所以时,即,
设,则,
所以时,单调递减,时,单调递增,
所以,
所以,即a的取值范围是.
（2）证明：由（1）知,是方程的两个不同正根,所以,
经验证,,分别是的极小值点,极大值点,
,
下面证明.
由,得,
两边取对数,得,即,
则,
设,则,则要证,即证,
即证.
设,则,
所以在上单调递增,从而,
于是成立,
故.
身高
蛋白质摄入量
合计
丰富
不丰富
低于
108
不低于
100
合计
600
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
身高
蛋白质摄入量
合计
丰富
不丰富
低于
108
240
348
不低于
152
100
252
合计
260
340
600