宁夏中卫中学2022-2023学年高二下学期第二次综合考试（A卷）数学（理）试卷(含答案)

这是一份宁夏中卫中学2022-2023学年高二下学期第二次综合考试（A卷）数学（理）试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设复数z满足,则它的共轭复数的虚部为( )
A.-1B.1C.D.i
2．抛物线在点处的切线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
3．已知向量,,,若,则x的值为( )
A.-2B.2C.-6D.6
4．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟．”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：,,,…．按照以上规律,若有“穿墙术”,则( )
A.25B.48C.63D.80
5．已知函数,则“”是“函数在R上为增函数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图,四棱锥为阳马,侧棱底面ABCD,,E为棱PA的中点,则直线CE与平面PAD所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
7．( )
A.B.8C.D.
8．设实数x、y满足不等式组,则的最小值为( )
A.B.C.D.
9．已知函数在区间上有最小值,则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
10．点A是曲线上任意一点,则点A到直线的最小距离为( )
A.B.C.D.
11．已知双曲线的右顶点为A,抛物线的焦点为F.若在双曲线E的渐近线上存在点P,使得,则双曲线E的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
12．已知x,y,,若,则的最小值等于( )
A.B. C. D.
二、填空题
13．去年我区新招高一开始执行新高考选学选考,原则是语文、数学、英语为必考,物理、历史两科选一科,其余四科化学、生物、地理、政治选两科,每位学生有___________种选法.
14．过原点作曲线的切线,则切点的横坐标为______________．
15．已知,则复数在复平面内所对应点的轨迹方程为_________________．
16．记定义在R上的可导函数的导函数为,且,,则不等式的解集为____________．
三、解答题
17．已知函数在处取得极值0,其中a,．
（1）求函数在点处的切线方程;
（2）求函数在上的最大值和最小值．
18．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中,且.
（1）求角B的大小;
（2）求周长的取值范围.
19．已知是各项均为正数的等比数列,且,.
(1)求数列通项公式;
(2)为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.
20．如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,,,,E为线段PB的中点,F为线段BC上的动点．
（1）求证：平面PBC;
（2）是否存在点F,使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°？若存在,试确定点F的位置;若不存在,请说明理由．
21．已知抛物线的焦点为F,倾斜角为45°的直线l过点F与抛物线C交于A,B两点,且.
（1）求p;
（2）设点E为直线与抛物线C在第一象限的交点,过点E作C的斜率分别为,的两条弦EM,EN,如果,证明直线MN过定点,并求出定点坐标.
22．设函数．
（1）求的单调区间;
（2）若,k为整数,且当时,,求k的最大值．
参考答案
1．答案：A
解析：由复数z满足,可得,
则,
所以它的共轭复数的虚部为-1,
故选：A.
2．答案：B
解析：因为抛物线的导数为,
在点的切线的斜率为.
设所求切线的倾斜角为,
由,解得．
故选：B．
3．答案：A
解析：因,,,
所以,
又,所以,解得.
故选：A.
4．答案：C
解析：因为,
,
,…,
则按照以上规律：,
得.
故选：C.
5．答案：A
解析：若在R上为增函数,则在R上恒成立,得,
故“”是“函数在R上为增函数”的充分不必要条件
故选：A.
6．答案：A
解析：因为平面ABCD,平面ABCD,故可得,
又,,PA,平面PAD,
故可得平面PAD.连接ED.
故即为所求直线CE与平面PAD所成角.
不妨设,
故在直角三角形CDE中,,,
故可得.
则.
则直线CE与平面PAD所成角的正弦值为.
故选：A.
7．答案：D
解析：由,
根据定积分的几何意义,可得表示以原点为圆心,半径为2的上半圆的面积,
所以,
又由,
所以.
故选：D.
8．答案：B
解析：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示,
联立,解得,即点,
目标函数表示平面区域内的点与连线的斜率,
则的最小值为.
故选：B.
9．答案：A
解析：由题意得,,
当或时,,当时,,
故是函数的极小值点,也是最小值点,
故要使函数在区间上有最小值,
需满足且,解得且 ,
解得,
故选：A.
10．答案：A
解析：不妨设,定义域为：
对求导可得：
令
解得：（其中舍去）
当时,,则此时该点到直线的距离为最小
根据点到直线距离公式可得：
解得：
故选：A.
11．答案：B
解析：双曲线的右顶点,渐近线方程为,
抛物线的焦点为,
设,则,,
由可得：,
整理可得：,
,
,
,
则：,
由可得：.
故选：B.
12．答案：B
解析：由题设,
设,则,
当,,单调递减,
当,,单调递增,
所以,即,
综上,,即,所以,
设P是直线上点,是圆上的点,
而目标式为,
由,故.
故选：B.
13．答案：12
解析：因为从物理、历史两科选一科,有种选法,
从化学、生物、地理、政治选两科,有种选法,
所以一共有种选法.
故答案为：12.
14．答案：
解析：由题意得,设切点的坐标为,的导数,
则有,即切线的斜率,
又因为切线经过原点,设切线方程为,
将切点代入得,化简得,所以.
故答案为：.
15．答案：
解析：复数z在复平面内所对应点,
又,
,
即点到点,和的距离之和为6,且两定点的距离为,
故点P的运动轨迹是以点A,B为焦点的椭圆,且,,
故,
复数z在复平面内所对应点的轨迹方程为：,
故答案为：．
16．答案：
解析：设 ,则,
因为,故,
即是R上的单调递减函数,且,
则不等式即不等式,即 ,
所以,即不等式的解集为,
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）2,-4
解析：（1）由题意得,,
由于函数在处取得极值0,
故,且,
解得,,则,,
故函数在点处的切线方程为,即;
（2）由（1）知,,
令,则,
则,,,,
故函数在上的最大值和最小值分别为2,-4．
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,即,
所以,即,所以,
又,,所以,所以,
因为,所以;
（2）因为、,由余弦定理,即,
即当且仅当时取等号,所以,
所以,所以,所以,
所以,即三角形的周长的取值范围为
19．答案：（1）.
（2）.
解析：（1）设的公比为q,由题意知：,.
又,
解得：,,
所以.
（2）由题意知：,
又,
所以,
令,
则,
因此,
又,
两式相减得
所以.
20．答案：（1）证明见解析;
（2）当点F为BC中点时,平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°,理由见解析.
解析：（1）
,,又
平面ABCD,平面ABCD
ABCD为正方形
又,PA,平面PAB
平面PAB
平面PAB,
,E为线段PB的中点
又,
平面PBC
（2）存在定点F,使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°
以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
不妨设正方形ABCD的边长为2,则,,,,,
,,
设,则
设平向AEF的一个法向量为
则,
令,则,
设平面PCD的一个法向量为
则,
令,则,
平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°,
,解得．
当点F为BC中点时,平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°
21．答案：（1）;
（2）证明见解析,定点为.
解析：（1）由题意知：,
则直线l的方程为,
代入抛物线方程得,
设,,
根据抛物线定义,,
,
;
（2）抛物线方程为,直线,即,解得.
①当MN斜率不存在时,设方程为,
则,,
解得：,
方程为;
②当MN斜率存在时,设,
,
即 ,
,,
,
化简得：,
此时,过定点,
综上,直线MN过定点.
22．答案：（1）答案见解析;
（2）2
解析：（1）由题设,
当时,,则在R上单调递增;
当时,有,则在上递增;
有,则在上递减;
综上,,在R上单调递增;,在上递减,在上递增.
（2）由题设,则,
所以在上恒成立,
令,则,
当时,,递增;当时,,递减;
所以,只需,
令,若,则,
当时,,y递增;当时,,递减;且,
又,,,,则,
所以整数,故其最大值为2.