2024年新高考数学培优专练15 已知函数的单调区间求参数的范围（原卷版+解析）

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1．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用导函数研究原函数的单调性，利用单调性求解实数的取值范围．
【详解】
解：函数
则
上，
要使函数在区间上单调递增，
在上恒成立，
即：在上恒成立，
上，
故选：．
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2．已知函数，函数的图象过定点，对于任意，有，则实数的范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
由图象过定点可得，设，结合已知条件可得在递增，求的导数，令，由二次函数的性质可得，从而可求出实数的范围.
【详解】
解：因为的图象过定点，所以，解得，
所以，因为对于任意，
有，则，设，
即，
所以，令，
因为，则，所以要使在恒成立，只需，
故，整理得，解得，
故选:A.
【点睛】
关键点睛：
本题的关键是由已知条件构造新函数，并结合导数和二次函数的性质列出关于参数的不等式.
3．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由函数的单调性与导数的关系得出在区间上恒成立，将问题转化为求，即可得出答案.
【详解】
在区间上恒成立，则在区间上恒成立
即
故选：A
4．函数是上的单调函数，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
函数在上时单调函数，等价于导函数大于等于或小于等于恒成立，列不等式求出的范围即可．
【详解】
函数是上的单调函数，即或(舍)在上恒成立
，解得
故选：D
【点睛】
本题考查导数解决函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于基础题．
5．已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
求导得到，然后根据在，上为增函数，在上为减函数，由求解.
【详解】
已知函数，
则，
因为在，上为增函数，在上为减函数，
所以，即，
解得 ，
所以实数的取值范围为
故选：B
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.
6．函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
函数在上单调递增，所以在上恒成立，求函数的导函数，参变分离求最值即可.
【详解】
解：因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立.
即，即，解得：或.
检验，当时，不是常函数，所以成立.
故选：D
【点睛】
本题考查已知函数的单调性求参数的范围，属于中档题.
方法点睛：
（1）已知在区间上单调递增，则导函数大于等于0恒成立；
（2）分类讨论或参变分离，求出最值即可.
易错点睛：
必须检验等号成立的条件，有可能取等号的时候是常函数，所以需要检验取等时是否是常函数.
7．对任意的，都有，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】
令，问题转化为函数在递增，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出的最大值即可．
【详解】
，，
，，
令，则函数在递增，
故，
解得：，所以是的子集，
可得，故的最大值是，
故选：B．
【点睛】
利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围．
8．函数单调递增的必要不充分条件有（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
求导，把问题转化为在区间恒成立，分三种情况讨论即可得出结论。判断选项即可.
【详解】
由函数在区间单调递增，
则在区间恒成立，
即在区间恒成立，
①当时，，不满足题意；
②当时，，
又，
即，不满足题意；
③当时，，
又， 在区间恒成立，
则，
综上：函数单调递增的充要条件为，
判断选项A正确.
故选：A.
【点睛】
思路点睛：利用导数研究函数的单调性以及求解必要不充分条件.
求定义域；
利用已知条件转化问题为在区间恒成立；
对参数分类讨论.
9．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用的导函数，结合在区间上的单调性列不等式组求得的取值范围.
【详解】
由，则，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
又函数在区间上单调递减，所以，解得，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查利用函数的单调性求解参数的取值范围问题，其中导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下两个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
10．已知函数的单调递增区间是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
首先求出函数的导函数，再根据函数的单调递增区间为，即可的解集为，即可得到、、的关系，从而得解；
【详解】
解：由题可得，则的解集为，即，，可得，∴，
故选:C．
【点睛】
本题考查函数的单调性，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．
11．已知函数在定义域上的导函数为，若函数没有零点，且，当在上与在上的单调性相同时，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据导函数与单调性关系，可知为上的单调函数，设，
利用换元法即可得，进而可得为增函数，即可知也为增函数，先求得，并令，结合正弦函数的性质即可确定k的取值范围.
【详解】
由函数没有零点，即方程无解，则或恒成立，
所以为上的单调函数，
都有，则为定值，
设，
则，易知为上的增函数，
∵，
∴，
又与的单调性相同，
∴在上单调递增，则当时，恒成立.
当时，，
所以由正弦函数性质可知，
∴.
所以，即，
故选：A.
【点睛】
本题考查了导函数与单调性关系，换元法求函数解析式，正弦函数的性质求参数的取值范围，属于中档题.
12．若函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
在上是减函数等价于在上恒成立，利用分离参数求解即可.
【详解】
∵在上是减函数，所以在上恒成立，即，即，
∵，∴，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查“分离参数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.
13．已知函数，若时，在处取得最大值，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
求导，构造新函数，研究单调性及最值，讨论正负符号得解
【详解】
∵，令，
∴，∴时，在单调递增；
∴时，在单调递减.如图，∴，
∴当时，，∴，在上单调递增，不成立；
当时，在上单调增减，成立；
当时，有两个根，，
∵当时，，；
当时，，；
当时，，，
∴在，上单调递增，在上单调递减，显然不成立.
综上，.
故选：A
【点睛】
本题考查导函数的应用，利用导函数求得函数极值讨论参数的取值范围，属于中档题.
14．已知函数，是单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
结合已知分段函数的单调性及每段函数单调性的要求进行求解即可.
【详解】
由，，
可知在时恒成立，
故即或，
根据分段函数的性质可知，，解可得，.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了导数函数在单调性判断中的应用及分段函数的单调性的应用，属于中档题.
15．已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
求导，分别对，分类讨论，确定的单调性，根据题意，列出不等式，即可得出答案.
【详解】
当时，，即函数在区间上单调递增，不符合题意
当时，，
则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
要使得函数在区间上不是单调函数，则
解得
故选：C
【点睛】
本题主要考查了根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.
16．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由函数的单调性与导数的关系可得在区间上恒成立，求得当时，即可得解.
【详解】
因为，所以，
又函数在区间上单调递减，所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，
因为，
当时，，所以，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查了导数、三角恒等变换及三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.
17．若函数在是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据题中条件，得到在上恒成立，分离参数，进而可求出最值.
【详解】
因为函数在是增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
所以只需.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查由函数在给定区间的单调性求参数，属于基础题型.
二、解答题
18．已知函数，.
（1）当时，求在上的最大值和最小值；
（2）若在上单调，求的取值范围.
【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）.
【分析】
（1）代入，对函数求导，利用导数正负确定单调性即可；
（2）先利用极限思想进行估值时，来确定在上单增，，再对分离参数，研究值得分布即得结果.
【详解】
（1）
当时，
∴在和上为正，在和上为负，
∴在和上单增，在和上单减，
有，，，
故在上的最大值为，最小值为；
（2）由知，当时，，
若在上单调则只能是单增，
∴在恒成立，即
∴，令，，则，
∴在递减，，∴.
【点睛】
（1）利用导数研究函数的最值的步骤：
①写定义域，对函数求导；②在定义域内，解不等式和得到单调性；③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.
（2）函数在区间I上递增，则恒成立；函数在区间I上递减，则恒成立.
（3）解决恒成立问题的常用方法：
①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.
19．设函数，其中为自然对数的底数.
（1）若在定义域上是增函数，求的取值范围；
（2）若直线是函数的切线，求实数的值；
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意可得在上恒成立；即在上恒成立，令，利用导数求出其最小值即可；
（2）设切点为，则，由题意得，得，，令，利用导数求出其单调区间和最值即可
【详解】
（1）函数的定义域为，，
∵在上是增函数
∴在上恒成立；即在上恒成立
设，则
由得
∴在上为增函数；即
∴.
（2）设切点为，则，
因为，所以，得，
所以.
设，则，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以.
因为方程仅有一解，
所以.
【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的应用，解题的关键是由题意得，，得到，然后构造函数，利用导数求得，从而得，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题
20．已知a＞0，函数．
（1）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围；
（2）当x＞1时，求证：．（e＝2.718…）
【答案】（1）0＜a≤1；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据题意可得在上，恒成立，即恒成立，设，求导数分析的单调性，使得，即可得结果；
（2）当0＜a≤1时，可得，；当时，先得在 上单调递减，，得出存在，使得上单调递增，在上单调递减，进而，结合函数的单调性可得结果.
【详解】
（1）解：由题意知f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝lnx-x＋a，
由f（x）为减函数可知f'（x）≤0恒成立．
设g（x）＝lnx-x＋a，，
令g'（x）＝0得x＝1，当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，即f'（x）单调递增；
当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，即f'（x）单调递减．
故f'（x）≤f'（1）＝-1＋a≤0，因此0＜a≤1．
（2）证明：由（1）知，当0＜a≤1时，f（x）为减函数，所以，
又0＜a≤1，．
设，ea＝t，则，t∈（1，e]．
又在区间（1，e]上单调递增，所以，
故，所以当0＜a≤1时，．
当a＞1时，由（1）知，当x∈（1，＋∞）时，f'（x）单调递减，且f'（1）＝a-1＞0．
f'（ea）＝2a-ea，令h（x）＝2x-ex，h'（x）＝2-ex，
当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，故h（a）＝2a-ea＜h（1）＝2-e＜0，
又ea＞1，f'（x）在（1，＋∞）上单调递减，
故存在x0∈（1，ea），使得f'（x0）＝0，即f'（x0）＝lnx0-x0＋a＝0，即a＝x0-lnx0，
因此有f（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，＋∞）上单调递减，
故，
将a＝x0-lnx0代入，得．
因为函数在（1，＋∞）上单调递增，
所以，即，
故成立。
【点睛】
方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
21．已知函数，.
（1）若函数在区间内是增函数，求的取值范围；
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求得，由题意可得出在区间上恒成立，利用参变量分离法得出在上恒成立，利用导数求出当时，，由此可求得实数的取值范围；
（2）由（1）推导出，令可得出，然后利用不等式的可加性可证得结论成立.
【详解】
（1）由题意，在上恒成立.
当时，，则，即在上恒成立，
令，则，
所以，函数在上单调递减，则，，
因此，实数的取值范围是；
（2）证明：由（1）知，当时，在是减函数，
所以，即，则，
，
令，代入可得，
所以，，，，
上述不等式全部相加得：.
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题：
（1）直接构造法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
22．已知函数的图象过点，且在P处的切线恰好与直线垂直．
（1）求的解析式；
（2）若在上是减函数，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求导得直线斜率，再利用已知条件建立方程组，求解即可函数的解析式；
（2）由题得在上恒成立，法一：分和两种情况讨论，运用二次函数的性质可得答案. 法二：进行参变分离，运用不等式恒成立的思想可得答案.
【详解】
解：（1），由题意可得，解得.
所以．
（2）因为，所以.
因为在上是减函数，所以在上恒成立，
当时，在上恒成立；
当时，设，由函数的图象的对称轴为可得，即，得.
故m的取值范围是.
法二：对成立，
当时；恒成立，
当时；，
【点睛】
不等式的恒成立问题，常常利用函数的最值得以解决，参数与函数的最值的大小关系．
23．已知，函数.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上是减函数，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；
（2）可得在恒成立，由此可建立关系求解.
【详解】
，
（1）当时，，
，
在点处的切线方程为，即.
（2）函数在区间上是减函数，
在恒成立，
而在恒成立，
在恒成立，这时，
当函数在区间上是减函数时，.
24．已知函数，是偶函数．
（1）求函数的极值以及对应的极值点．
（2）若函数，且在上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】（1）函数的一个极大值点为，对应的极大值为，另一个极大值点为，对应的极大值为；函数极小值点为，对应的极小值为；（2）．
【分析】
(1)求出的表达式，结合函数的奇偶性即可求出，从而可确定的解析式，求出导数即可求出函数的极值点和极值.
(2)结合第一问可得的解析式，从而可求出，由的单调性可得在上恒成立，设，利用导数求出在上的最小值，从而可求出实数的取值范围.
【详解】
解：（1）∵，∴，
∴，因为为偶函数，
∴，解得，∴，则，
∴，
由，解得或；由，解得或；
∴在，单调递增；在，单调递减．
∴函数的一个极大值点为，对应的极大值为，
另一个极大值点为，对应的极大值为；
函数极小值点为，对应的极小值为.
（2）由（1）知，∴，∴，因为函数在上单调递增，
∴在上恒成立，即 在上恒成立，
设，令，解得，
当时，，所以在上单调递增，
则，所以.
【点睛】
方法点睛：
已知奇偶性求函数解析式时，常用方法有：一、结合奇偶性的定义，若已知偶函数，则，若已知奇函数，则，从而可求出函数解析式；二、由奇偶性的性质，即偶函数加偶函数结果也是偶函数，奇函数加奇函数结果也是奇函数.
25．已知函数，.
（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；
（2）设.若，在上的最小值为，求在上取得最大值时，对应的值.
【答案】（1）；（2）最大值点为..
【分析】
（1）根据在上存在单调递增区间，由在上有解求解.
（2）由得，，根据，易得，，则在上的最大值点为，最小值为或，然后由，分，确定最小值进而求得a即可
【详解】
（1）∵在上存在单调递增区间，
∴在上有解，
即在上成立，
而的最大值为，
∴，
解得：.
（2），
∴，
由得：，，
则在，上单调递减，在上单调递增，
又∵当时，，，
∴在上的最大值点为，最小值为或，
而，
当，即时，，得，
此时，最大值点；
当，即时，，得（舍）.
综上在上的最大值点为.
【点睛】
方法点睛：(1)求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得；
(2)已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数．
26．已知三次函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上具有单调性，求的取值范围；
（3）当时，若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）对函数求导，当时，，，进而可得切线方程；
（2）当时，在R上不具有单调性；对函数求导，令，按和分别判断单调性，列不等式可求得的取值范围；
（3）先证明：，由（2）知，当时，的递增区间是，，递减区间是（0，2），因为，不妨设，则，
按和分别证明不等式成立，再证明对任意，不成立即可．
【详解】
由可得：
（1）当时，，.
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由已知可得
①当时，令得，.
与在区间_上的情况如下：
因为在上具有单调性，所以.
②当时，与在区间上的情况如下：
因为在上具有单调性，
所以，即.
综上所述，a的取值范围是.
（3）先证明：.
由（2）知，当时，的递增区间是，，递减区间是（0，2）.
因为，不妨设，则.
①若，则.
所以.
②若，因为，
所以，当且仅当时取等号.
综上所述，.
再证明：的取值范围是.
假设存在常数，使得对任意，.
取，且则
，
与矛盾.
所以的取值范围是.
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查导数研究函数的单调性，考查导数证明不等式，本题解题的关键为利用第（2）问的单调性，由和，确定出，再按和分类讨论，利用放缩法证明，以及利用反证法证得不成立，考查了学生分类讨论思想和逻辑思维能力，属于中档题．
27．设函数，其中.
（1）若曲线在的切线方程为，求a，b的值；
（2）若在处取得极值，求a的值；
（3）若在上为增函数，求a的取值范围.
【答案】（1），；（2）；（3）.
【分析】
（1）利用导数的几何意义，可得，，计算整理，即可求得a，b的值；
（2）令，即可求得a的值，检验可得为极值点，即可得答案；
（3）令，解得，，分别求得和时，的单调区间，结合题意，分析推理，即可得答案.
【详解】
（1）因为，
所以，
由题设可得，，
解得，.
（2）因为在取得极值，
所以，解得.
当时，，
令，解得x=1或3，
所以为的极值点，故满足题意.
（3）令，
得，.
当时，若，则，
所以在和上为增函数，
故当时，在上为增函数恒成立.
当时，在上为增函数，不符合题意，
当时，若，则，
所以在和上为增函数，
从而在上也为增函数，满足题意.
综上所述，当时，在上为增函数.
【点睛】
本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间和极值点问题，考查计算求值，分类讨论的能力，属中档题.
28．已知函数，其中.
（1）若在内为减函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求出导函数，只需在内恒成立，讨论或，分离参数即可求解.
（2）讨论的取值范围，利用导数判断出函数的的单调性，根据单调性即可求出最值.
【详解】
.
（1）若在内为减函数，则在内恒成立.
而，∴在上恒成立.
(i)若，则恒成立.
(ii)若，则∴，
∴，
∴，综上.
（2）当时，在内单调递减，
∴.
当时，，，
则.
当时，，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
∴的最大值只能在或处.
.
(i)当时，，
∴.
(ii)当时，，
∴.
(iii)当时，，
∴.
综上，.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是求出导函数，讨论的取值范围，确定函数的单调区间，根据单调性求出最值，考查了考生的运算求解能力，属于难题.
29．已知函数．
（1）令，若函数在其定义域上单调递增，求实数的取值范围；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题意可知，对任意的恒成立，利用参变量分离法可得出，利用基本不等式求出函数在区间上的最小值，由此可求得实数的取值范围；
（2）利用导数分别证明出不等式，，由此可证得所求不等式成立.
【详解】
（1）的定义域为，，
由题意可知，对任意的恒成立，可得，
当时，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
，因此，实数的取值范围是；
（2）先证明不等式，构造函数，定义域为，
，当时，；当时，.
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，则，
即，.
下面证明：当时，，构造函数，
，当时，，所以，函数在区间上单调递增，
，即.
因此，，即.
【点睛】
第（1）问由函数在区间上的单调性求参数的取值范围，一般转化为导数不等式恒成立问题，常用参变量分离法或分类讨论法求解；
第（2）问证明不等式，可通过常用不等式，构造函数，利用导数法来得到证明.
30．已知：函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递增；（2）.
【分析】
（1）由得到，求导，再讨论其正负即可.
（2）根据在上单调递增，则，恒成立，转化，恒成立，令求其最小值即可.
【详解】
（1）当时，，
所以，
令，则，
当时，，递减；
当时，，递增；
所以取得最小值，
所以在上成立，
所以在上递增；
（2）因为在上单调递增，
所以，恒成立，
即，恒成立，
令，则，
当时，当时，，递减；
当时，，递增；
所以取得最小值，
所以
当时，易知，不成立，
当a=0时，成立，
综上：，
所以实数的取值范围.
【点睛】
方法点睛：1、利用导数研究函数的单调性，当f(x)不含参数时，关键在于准确判定导数的符号；当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
2、可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，构建不等式求解，要注意“＝”是否取到．
31．已知函数，
（1）当时，求函数的单调区间与极值；
（2）是否存在正实数，使得函数在区间上为减函数？若存在，请求的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）的增区间为，，的减区间为；的极大值为，的极小值为；（2）不存在；答案见解析.
【分析】
（1）代入函数解析式，利用导数求函数的单调区间及极值；
（2）利用导数在小于等于零可得答案.
【详解】
（1）当时，，
令，解得或 ，
所以，的增区间为，，
的减区间为，
的极大值为，.
的极小值为.
（2）依题意：在上恒成立，
又因为，所以，，.
得即无解.所以，不存在满足条件的正实数.
【点睛】
方法点睛：函数在某段区间上恒成立，可以用导数小于等于零，也可以变量分离，构造函数求最值.
32．设函数（为常数）．
（1）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个极值点、，且，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题意可知，不等式对任意的恒成立，由参变量分离法得出，利用二次函数的基本性质求出函数在区间上的最大值，由此可求得实数的取值范围；
（2）求得，可得出，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，求出函数在区间上的值域，即可证得结论成立.
【详解】
（1），，
由题意可得对任意的恒成立，则，
函数在区间上单调递减，所以，.
因此，实数的取值范围是；
（2），令，
由题意可知，函数在区间上有两个不等的实根，则，解得.
，解得，，所以，，
由韦达定理可得，，
，
构造函数，其中，
，
，
当时，函数在区间上单调递增，
，，所以，存在 使得.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
，，所以，对任意的，，
所以，函数在区间上单调递减，当时，，
即，因此，.
【点睛】
第（1）问利用函数在区间上的单调性求参数的取值范围，一般转化为导数不等式在区间上恒成立，结合参变量分离法或分类讨论法求解；
第（2）问利用导数证明函数不等式，在涉及极值点的问题时，当导数中含二次函数部分时，要结合韦达定理得出极值点之间的关系，并结合代数式的结构构造新函数来证明.
33．已知函数.
（1）若在单调递增，求的取值范围：
（2）若，证明：当时，.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由已知可得，对恒成立,构造函数令可得，利用导数求得函数的最小值，可得出关于实数的不等式，解出即可；
（2）利用分析法可知，要证明原不等式成立，即证：当时，，构造函数，利用导数证明出函数在上单调递增，由此可得出所证不等式成立.
【详解】
解：（1）依题意有：.
函数在单调递增，对恒成立.
即：对恒成立
令则
当时，，
函数在单调递增，
，解得.
因此，实数的取值范围是；
（2）当时，要证：当时.
即要证：当时.
构造函数：，
则，
先证：当时，
要证：，即要证：，
构造函数：时
当时，
，则函数在单调递增.
即
，
函数在单调递增，，
即：当时，故原不等式成立.
【点睛】
本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查计算能力与推理能力，属于较难题.
34．已知函数
（1）若函数的图象在处的切线斜率为1，求实数的值；并求函数的单调区间；
（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.
【答案】（1），函数的单调递减区间是；单调递增区间是；（2）.
【分析】
（1）利用导数的几何意义可知，求出的值，再进行列表，即可得答案；
（2）将问题转化为在上恒成立，再进行参变分离，即可得答案；
【详解】
（1）函数的定义域为，，
由已知，解得.
.
当变化时，，的变化情况如下：
由上表可知，函数的单调递减区间是；单调递增区间是.
（2）由得，
由已知函数为上的单调减函数，
则在上恒成立，即在上恒成立.
即在上恒成立.
令，在上，
所以在为减函数.，所以.
【点睛】
本题考查导数的几何意义、根据函数的单调性求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意参变分离法的应用.
35．已知函数在的切线与直线垂直，函数．
（1）求实数a的值；
（2）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）求导，计算，利用直线垂直关系得解.
（2）函数存在单调递减区间，则在上成立,
转化为,在上成立，即求最小值得解.
【详解】
（1）
,又函数在的切线与直线垂直
（2），
函数存在单调递减区间，则在上成立,
即在上成立
（当且仅当时等号成立）
，检验当时函数在单增，不满足题意，
【点睛】
本题考查利用函数切线方程求解参数及利用导函数研究函数单调性求参数范围，属于基础题
36．设函数，，.
（1）若函数为奇函数，求函数在区间上的单调性；
（2）若函数在区间内不单调，求实数的取值范围.
【答案】（1）和上单调递增，在上单调递减；（2）.
【分析】
（1）利用特殊值求出，然后验证它是奇函数，接着求导数，由导数确定单调性；
（2）求出导函数，再求出的解，它有两个不等实根，只要有一个根在区间即可．
【详解】
（1）∵为奇函数，∴，
，
则，整理为，解得
即，的定义域为，关于原点对称，
，即为奇函数，即
当或时，
当时，，即在和上单调递增，在上单调递减；
（2）
令
∵在区间内不单调，
∴在区间内有零点，令，
解得，，显然，
（ⅰ）当落在区间，即，解得
（ⅱ）当落在区间，即，解得
综上，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，用导数确定函数的单调性，掌握导数与单调性的关系是解题关键．
37．已知函数（，常数）.
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数在上为增函数，求的取值范围.
【答案】（1）时，为偶函数，时，既不是奇函数也不是偶函数；
（2）．
【分析】
（1）根据奇偶性的定义判断；
（2）求出导函数，由在上恒成立求得的范围．
【详解】
（1）函数定义域是，关于原点对称，
时，，则，为偶函数，
时，，不恒为0，，既不是奇函数也不是偶函数；
（2），由题意在上恒成立，
∴时，，即，此时的最小值为16，∴．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，考查用导数研究函数的单调性，掌握单调性与导数的关系是解题关键．
38．已知，函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在上单调递减，求a的取值范围.
【答案】（1）在和上递增，在上递减；（2）
【分析】
（1）代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于的不等式组，解出即可
【详解】
解：（1）当时，，则，
令，得或，令，得，
所以在和上递增，在上递减；
（2），令，
若函数在上单调递减，则在上恒成立，
则，解得，
所以a的取值范围为，
【点睛】
此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查由函数的单调性求参数范围，考查二次函数的性质，属于基础题
39．已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在其定义域内为增函数，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）先，再求导，从而可得切线的斜率为，然后利用点斜式写出切线方程即可；
（2）先求出导函数，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立，然后将分离，利用基本不等式可求出实数a的取值范围；
（3）根据在上的单调性求出函数的值域，然后根据（2）可求出的最大值，要使在上至少存在一点，使得成立，只需，然后建立不等式，即可求出实数a的取值范围
【详解】
（1）当时，函数，
∴，，
曲线在点处的切线的斜率为.
从而曲线在点处的切线方程为，即，
（2）. .
要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立.
即：得恒成立.
∵，∴，∴.
∴在内为增函数，实数a的取值范围是
法二：
当时，在定义域内恒成立，不合题意舍
当时，即方程有两解，，
，
故在恒有两解，不恒成立，不合题意舍去；
即，即在内恒成立，函数在其定义域内为增函数
所以实数a的取值范围是
（3）∵在上是减函数
∴时，，时，，即
由（2）知，当；在定义域内是增函数，即
存在，只需满足，，
即，解得 .
∴实数a的取值范围是
【点睛】
此题考查了导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了数学转化思想，属于中档题
40．已知函数
（1）若函数的图象在点处的切线与直线垂直，求实数的值；
（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）求导后，根据导数的几何意义可得，可得；
（2）转化为在上恒成立，根据单调性求出最小值，代入可得结果.
【详解】
（1）因为，所以，
依题意可得，所以.
（2），，
依题意可得在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为在上为递减函数，所以当时，取得最小值，
所以，即.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，考查了两条直线垂直，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数不等式恒成立问题，考查了转化化归思想，属于中档题.
x
0
（0，2）
2
+
0
0
+
增
极大值
减
极小值
增
x
0
（0，2）
2
－
0
＋
0
－
减
极小值
增
极大值
减
+
-
+
增
极大值
减
极小值
增
-
0
+
↘
极小值
↗