2024年新高考数学培优专练21 利用导数解决函数的恒成立问题（原卷版+解析）

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1．已知，为实数，不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
2．已知函数，且，当时，恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知函数（，且），对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值是（ ）
A．B．eC．3D．2
4．对于正数，定义函数：.若对函数，有恒成立，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
5．已知函数，若任意，，且都有，则实数的取值范围（ ）
A．，B．，C．，D．
6．已知函数，，若对，恒成立，则整数的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知，若对任意正实数，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、解答题
8．已知函数.
（1）若曲线与直线相切，求的值；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.
9．已知函数，，其中，均为实数．
（1）试判断过点能做几条直线与的图象相切，并说明理由；
（2）设，若对任意的，（），恒成立，求的最小值．
10．已知函数，其中．
（1）求的极值；
（2）设，当时，关于的不等式在区间上恒成立，求的最小值．
11．已知函数．
（1）当时，求的值；
（2）当时，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
12．已知函数．
（1）求函数在上的最小值；
（2）若，求实数的值．
13．函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，恒成立，求整数的最大值.
14．已知函数，．
（1）若的最大值是0，求的值；
（2）若对其定义域内任意，恒成立，求的取值范围．
15．已知函数，且恒成立．
（1）求实数的值；
（2）记，若，且当时，不等式恒成立，求的最大值．
16．已知函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）若对任意恒有不等式成立.
①求实数的值；
②证明：.
17．已知函数.
（1）设，求函数的单调区间；
（2）若，且当时，恒成立，试确定的取值范围.
18．已知函数
（1）如果函数f（x）的单调递减区间为，求f（x）的表达式；
（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.
19．已知函数.
（1）当时，求函数的在(3，)处的切线方程；
（2）若函数在其图象上任意一点处切线的斜率都小于，求实数的取值范围.
20．已知，函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若当时，，求的所有可能取值.
21．设函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若时，求的取值范围.
22．已知函数f(x)=-mx-2，g(x)=-sinx- xcsx-1.
（1）当x≥时，若不等式f(x)> 0恒成立，求正整数m的值；
（2）当x≥0时，判断函数g(x)的零点个数，并证明你的结论，参考数据: ≈4.8
23．已知函数.
（1）求曲线在点（1，）处的切线方程；
（2）若对恒成立，求的最小值.
24．已知函数在处有极值.
（1）求的值，并判断是的极大值点还是极小值点？
（2）若不等式对于任意的恒成立，求的取值范围.
25．已知函数，且在处取得极值．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若当时，恒成立，求c的取值范围；
（Ⅲ）对任意的，是否恒成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由．
26．设函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得最大值，求a的取值范围.
27．已知函数．
（1）当时，若函数在其图象上任意一点处的切线斜率为，求的最小值，并求此时的切线方程；
（2）若函数的极大值点为，恒成立，求的范围
28．已知函数，.
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；
（2）设，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）若上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
29．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，函数在上恒成立，求证：.
30．已知函数.
(1)若函数，求函数的极值；
(2)若在时恒成立，求实数的最小值.