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2024年新高考数学培优专练26 构造函数法解决导数问题(原卷版+解析)
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1.函数在上有唯一零点,则( )
A.B.
C.D.
2.已知函数在上可导且,其导函数满足,对于函数,下列结论正确的是( )
A.函数在上为增函数B.是函数的极小值点
C.函数必有2个零点D.
3.设定义在上的函数满足,且当时,.己知存在,且为函数(为自然对数的底数)的一个零点,则实数的取值可能是( )
A.B.C.D.
4.已知函数的导函数为,若对恒成立,则下列不等式中,一定成立的是( )
A.B.
C.D.
5.已知函数的定义域为,导函数为,,且,则( )
A.B.在处取得极大值
C.D.在单调递增
6.若存在实常数和,使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足:和恒成立,则称此直线为和的“隔离直线”,已知函数,,(为自然对数的底数),则( )
A.在内单调递增;
B.和之间存在“隔离直线”,且的最小值为;
C.和之间存在“隔离直线”,且的取值范围是;
D.和之间存在唯一的“隔离直线”.
7.已知定义在上的函数,是的导函数,且恒有成立,则
A.B.
C.D.
二、单选题
8.已知数列满足,.若恒成立,则实数的最大值是( )(选项中为自然对数的底数,大约为)
A.B.C.D.
9.已知函数且恒成立,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
10.已知,若对任意两个不等的正实数,,都有恒成立,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
11.已知是定义在上的奇函数,且时,又,则的解集为( )
A.B.
C.D.
12.已知偶函数对于任意的满足(其中是函数的导函数),则下列不等式中成立的是( )
A.
B.
C.
D.
13.已知奇函数的导函数为,当时,,若,则的大小关系正确的是( )
A.B.C.D.
14.设定义在上的函数的导函数为,若,,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为( )
A.B.
C.D.
15.若曲线与曲线存在公切线,则实数的取值范围( )
A.B.C.D.
16.丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人,特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在上恒成立,则称函数在上为“凸函数”.已知在上为“凸函数”,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
17.已知函数的定义域为,为的导函数.若,且,则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
18.函数,,,对任意的,都有成立,则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
19.已知函数,若不等式对于任意的非负实数都成立,求实数的取值范围为( )
A.,B.,C.,D.,
20.定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f ′(x),若∀x∈R,都有2f(x)+xf ′(x)<2,则使x2f(x)-f(1)<x2-1成立的实数x的取值范围是( )
A.{x|x≠±1}B.(-1,0)∪(0,1)
C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
21.设函数在上存在导数,对任意的,有,且在上有,则不等式的解集是( )
A.B.C.D.
22.设是函数的导函数,若对任意实数,都有,且,则不等式的解集为( )
A.B.C.(0,2020]D.(1,2020]
23.已知是可导的函数,且,对于恒成立,则下列不等关系正确的是( )
A.,B.,
C.,D.,
24.已知函数的导函数为,为自然对数的底数,对均有成立,且,则不等式的解集是( )
A.B.C.D.
25.函数是定义在区间上的可导函数,其导函数,且满足,则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
26.已知函数f(x)的定义域为R,f(-1)=3,对任意x∈R,f′(x)>3,则f(x)>3x+6的解集为( )
A.(-1,+∞)B.(-1,1)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)
27.奇函数定义域为,其导函数是.当时,有,则关于的不等式的解集为( )
A.B.C.D.
28.若对任意的,,,恒成立,则a的最小值为( )
A.B.C.D.
29.函数是定义在上的奇函数,其导函数记为,当时,恒成立,若,则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
30.已知、,函数恰有两个零点,则的取值范围( )
A.B.C.D.
31.定义在R上的函数满足,则下列不等式一定成立的是( )
A.B.
C.D.
32.已知函数,其中,若对于任意的,且,都有成立,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
33.设是定义在上的偶函数,为其导函数,,当时,有恒成立,则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
三、解答题
34.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若,是方程的两个不同实根,证明:.
35.已知函数在点处的切线方程为.
(1)求实数,的值﹔
(2)若函数,试讨论函数的零点个数.
36.已知实数,函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若是函数的极值点,曲线在点、()处的切线分别为、,且、在y轴上的截距分别为、.若,求的取值范围.
37.设函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)如果对于任意的,都有成立,试求的取值范围.
38.已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若当时,方程有实数解,求实数的取值范围.
39.给出如下两个命题:命题,;命题已知函数,且对任意,,,都有.
(1)若命题为假,求实数的取值范围.
(2)若命题为假,为真,求实数的取值范围.
40.已知函数,.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个极值点、,求的取值范围.
41.已知函数.
(1)求的单调区间.
(2)若在区间上不单调,证明:.
42.已知函数,其中.
(1)若在上存在极值点,求a的取值范围;
(2)设,,若存在最大值,记为,则当时,是否存在最大值?若存在,求出其最大值;若不存在,请说明理由
43.已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数,当且,求证:.
44.已知函数.
(1)求函数的最小值;
(2)若,恒成立,求实数的取值范围.
45.已知函数满足:①定义为;②.
(1)求的解析式;
(2)若;均有成立,求的取值范围;
(3)设,试求方程的解.
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