2024年新高考数学培优专练29 定义法或几何法求空间角（原卷版+解析）

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1．在长方形ABCD中，AB=2AD，过AD，BC分别作异于平面ABCD的平面，，若，则l与BD所成角的正切值是（ ）
A．B．1C．2D．4
2．在正方体，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
4．空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R，且PQ=3，QR=5，PR=7，那么异面直线AC和BD所成的角是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，、分别是和的中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图在四面体中，平面，，那么直线和所成角的余弦值（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示，点是二面角棱上的一点，分别在、平面内引射线、，若，，那么二面角的大小为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是正方体，，则与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
9．在长方体中，，，、分别为上底面的边、的中点，过、的平面与底面交于、两点，、分别在下底面的边、上，，平面与棱交于点，则直线与侧面所成角的正切值为（ ）.
A．
B．
C．
D．
10．如图，在正四棱锥中，设直线与直线、平面所成的角分别为、，二面角的大小为，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知在正方体中，，分别为，上的点，且满足，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
12．如图所示，已知正方体，则直线与平面所成的角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
13．如图，四棱锥中，为矩形，平面平面，，是线段上的点(不含端点).设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A．B．C．D．
14．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
15．已知长方体的高，则当最大时，二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
16．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（ ）
A．D1D⊥AF
B．A1G∥平面AEF
C．异面直线A1G与EF所成角的余弦值为
D．点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍
17．在棱长为1的正方体中中，点P在线段上运动，则下列命题正确的是（ ）
A．异面直线和所成的角为定值
B．直线和平面平行
C．三棱锥的体积为定值
D．直线和平面所成的角为定值
18．世纪年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石，人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及他们的过渡形态. 其中立方八面体（如图所示）有条棱、个顶点，个面（个正方形、个正三角形），它是将立方体“切”去个“角”后得到的几何体.已知一个立方八面体的棱长为，则（ ）
A．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为
B．它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直
C．它的体积为
D．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等
三、解答题
19．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD.∠BDC=90°，BC=1，BP=，PC=2.
（1）求证：CD⊥平面PBD；
（2）若BD与底面PBC所成的角为，求二面角B-PC-D的正切值.
20．如图所示，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF是矩形，AB＝2，AF＝，△ABC是以A为直角的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，PF＝3.
（1）证明：AC⊥BF；
（2）求直线BC与平面PAC所成角的正切值.
21．如图BC⊥BD，AB＝BD，∠ABD＝60°，平面BCD⊥平面ABD，E、F、G分别为棱AC、CD、AD中点.
（1）证明：EF⊥平面BCG；
（2）若BC＝4，且二面角A—BF—D的正切值为，求三棱锥G—BEF体积.（注意：本题用向量法求解不得分）
22．中，，，E，F分别是边，上的点，且，于H，，将沿折起，点A到达，此时满足面面．
（1）若，求直线与面所成角大小；
（2）若E，F分别为，中点，求锐二面角的余弦值；
（3）在（2）的条件下，求点B到面的距离．
23．在四棱锥中，，，，，，，，．
（1）求证：面；
（2）已知点F为中点，点P在底面上的射影为点Q，直线与平面所成角的余弦值为，当三棱锥的体积最大时，求异面直线与所成角的余弦值．
24．如图，已知四棱锥中，平面，，，，，是的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
25．如图，在矩形ABCD中，，，沿对角线BD把折起，使点C移到点，且在平面ABD内的射影O恰好落在AB上．
（1）求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）求二面角的余弦值．
26．如图，已知三棱锥中，，D为的中点.
（1）求证：；
（2）若，求与平面所成角的正弦值.
27．如图，三棱柱中，平面，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
28．如图，在平面四边形中，，，绕旋转．
（1）若所在平面与所在平面垂直，求证：平面．
（2）若二面角大小为，求直线与平面所成角的正切值．
29．如图，多面体中，四边形是菱形，，平面，
（1）求二面角的大小的正切值；
（2）求点到平面的距离；
（3）求直线与平面所成的角的正弦值.
30．如图，三棱台中，，，四边形为等腰梯形，，平面平面．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．