2024年新高考数学培优专练31 利用均值和方差的性质求解新的均值和方差（原卷版+解析）

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1．设样本数据，，，…，，的均值和方差分别为和，若 (为非零常数，)，则，，，…，，的均值和标准差为（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．某班统计某次数学测试的平均数与方差，计算完毕才发现有位同学的试卷未登分，只好重算一次.已知第一次计算所得的平均数和方差分别为，，重算时的平均数和方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则（ ）
A．B．C．D．
3．2020年7月，我国湖北､江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（ ）
A．6.1毫米B．32.6毫米C．61毫米D．610毫米
4．设随机变量，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，，．．．，的平均数为10，标准差为2，则，，．．．，的平均数和标准差分别为（ ）
A．19和2B．19和3C．19和4D．19和8
7．已知样本，，…，的平均数为2，方差为5，则，，…，的平均数和方差分别为（ ）
A．4和10B．5和11C．5和21D．5和20
8．某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（ ）.
A．60，24B．80，120C．80，24D．60，120
9．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于 ( )
A．16B．11
C．2.2D．2.3
10．已知某7个数的期望为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这8个数的期望为记为，方差记为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
11．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差为（ ）
A．B．3C．D．4
12．甲.乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（），若甲、乙、丙都打中的概率是，设表示甲、乙两人中中靶的人数，则的数学期望是（ ）
A．B．C．1D．
13．已知的分布列为
设，则（ ）
A．B．C．D．
14．随机变量的分布列如表所示，若，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
15．一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都加上得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ）
A．这组新数据的平均不变B．这组新数据的平均数为am
C．这组新数据的方差为D．这组新数据的方差不变
16．设，相互独立的两个随机变量，的分布列如下表：
则当在内增大时（ ）
A．减小，增大B．减小，减小
C．增大，增大D．增大，减小
17．若样本数据的方差为8，则数据的方差为（ ）
A．31B．15C．32D．16
18．已知数据的方差为，若，则新数据的方差为（ ）
A．B．C．D．
19．若随机变量服从两点分布，其中，则和的值分别是（ ）
A．3和4B．3和2C．2和4D．2和2
20．一组数据中的每个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（ ）
A．81.2，84.4B．78.8，4.4C．81.2，4.4D．78.8，75.6
21．若样本数据、、、的方差为，则数据、、、的方差为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
22．下列说法正确的是（ ）
A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，方差也变为原来的倍；
B．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为；
C．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
D．设两个独立事件和都不发生的概率为，发生且不发生的概率与发生且不发生的概率相同，则事件发生的概率为.
23．设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有（ ）
A．B．
C．D．
24．下列说法中正确的是（ ）
A．设随机变量X服从二项分布，则
B．已知随机变量X服从正态分布且，则
C．；
D．已知随机变量满足，，若，则随着x的增大而减小，随着x的增大而增大
25．下列说法正确的有（ ）
A．若离散型随机变量的数学期望为，方差为，则，
B．若复数满足，则的最大值为6
C．4份不同的礼物分配给甲､乙､丙三人，每人至少分得一份，共有72种不同分法
D．10个数学竞赛名额分配给4所学校，每所学校至少分配一个名额，则共有种不同分法
26．设随机变量的分布列为，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
27．已知随机变量的分布列是
随机变量的分布列是
则当在内增大时，下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．增大D．先增大后减小
28．一组数据的平均值为7，方差为4，记的平均值为a，方差为b，则（ ）
A．a=7B．a=11C．b=12D．b=9
三、填空题
29．已知一组数据的方差为5，则数据的方差为___．
30．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为，则的数学期望为____________.
31．已知随机变量的分布列为
若，则______．
32．已知离散型随机变量，随机变量，则的数学期望________.
33．随机变量的分布如下表，则_______.
34．设随机变量的分布列为，为常数，则________．
35．已知样本数据，，…，的均值，则样本数据，，…，的均值为______.
36．设离散型随机变量可能取的值为，.又的均值，则______.
四、双空题
37．已知，随机变量X的分布列如图.若时，________；在p的变化过程中，的最大值为______.
38．在一袋中有个大小相同的球，其中记上的有个，记上号的有个（＝，，，），现从袋中任取一球，表示所取球的标号，则______，若，且，则_____.
39．已知随机变量服从二项分布，，则________，________.
五、解答题
40．2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.
（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
41．“十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在时，时，时，时公布实时在园人数．下表记录了月日至日的实时在园人数：
通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量（同一时段在园人数的饱和量）之比来表示游园舒适度，以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是万人．
（Ⅰ）甲同学从月日至日中随机选天的下午时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率；
（Ⅱ）从月日至日中任选两天，记这两天中这个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据月日至日每天时的在园人数，判断从哪天开始连续三天时的在园人数的方差最大？（只需写出结论）
X
0
2
4
P
0.3
0.2
0.5
1
2
3
4
P
m
-1
0
1
-1
1
-1
1
X
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.2
q
－1
0
1
1
2
3
0
1
2
0
2
4
0.4
0.3
0.3
X
0
1
2
P
日
日
日
日
日
日
日
时在园人数
时在园人数
时在园人数
时在园人数