2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 3.5 正余弦定理（精练）（基础版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 3.5 正余弦定理（精练）（基础版）（原卷版+解析版），共26页。试卷主要包含了正余弦定理公式选择，几何中的正余弦定理等内容，欢迎下载使用。

1． (2023·广西广西·模拟预测（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ）
A．B．1C．2D．4
2． (2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，A=45°，C=30°，c=6，则a等于（ ）
A．3B．6C．2D．3
3． (2023·四川·宁南中学）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（ ）
A．B．C．或D．或
4． (2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别是，已知，则（ ）
A．B．C．或D．或
5． (2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学）在中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，若，，，则（ ）
A．B．C．D．32
6． (2023·全国·高三专题练习）△ABC的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，若a=4，b=3，c=2，则中线AD的长为（ ）
A．B．C．D．
7． (2023·云南·丽江第一高级中学）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c且a：b：c=3：5：7，则___________.
8． (2023·上海市奉贤中学）在中，已知，则的面积_______．
9． (2023·上海市实验学校高三阶段练习）在中，内角成等差数列，则___________.
10． (2023·上海市宝山中学）的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知，则________.
题组二 边角互化
1． (2023·四川达州·二模）在中，所对的边分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·四川泸州·二模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的值是（ ）
A．6B．8C．4D．2
3． (2023·安徽马鞍山·一模）已知的内角的对边分别为，设，，则 （ ）
A．B．C．D．
4． (2023·四川·乐山市教育科学研究所二模）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则A=（ ）
A．B．C．D．
5． (2023·广西·高三阶段练习）已知中，，，则______.
6． (2023·广西·高三阶段练习）在中，，，，则的值为____.
7． (2023·吉林长春·模拟预测（理））已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A=___________.
8． (2023·上海市建平中学高三阶段练习）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若，则___________．
9． (2023·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足，则___________.
题组三 三角形的面积
1． (2023·吉林·德惠市第一中学）在中，内角所对的边分别为，，，，则的外接圆直径等于（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全国·高三专题练习）在中，，，分别是角，，所对的边，若的面积，则（ ）
A．B．
C．D．
3． (2023·内蒙古赤峰·模拟预测（理））我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式，设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，“三斜求积”公式表示为.在中，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·全国·高三专题练习）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
5． (2023·陕西·西安中学高三阶段练习（理））的内角所对的边分别为.已知，则的面积的最大值（ ）
A．1B．C．2D．
6． (2023·天津市宁河区芦台第一中学）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则___________
题组四 判断三角形的形状
1． (2023·全国·高三专题练习）的三边长分别为4，5，7，则该三角形的形状为（ ）
A．没有满足要求的三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
2． (2023·江苏·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则这个三角形的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．等腰或直角三角形
3． (2023·内蒙古通辽·高三期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（ ）
A．等腰非等边三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
4． (2023·全国·高三专题练习）已知中，三内角满足，三边满足，则是（ ）
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等边三角形D．钝角三角形
5． (2023·全国·高三专题练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，则“”是“是等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6． (2023·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））在中，角，，所对的边分别为，，，满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
7． (2023·全国·高三专题练习）若将直角三角形的三边，，分别增加个单位长度，组成新三角形，则新三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定
8． (2023·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，若，则是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
9． (2023·全国·高三专题练习）在△中，若满足，则该三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
10． (2023·全国·高三专题练习）的内角A，B，C的对边分别为，已知且满足，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
题组五 三角形解个数
1． (2023·全国·高三专题练习）满足条件，，的三角形的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．不存在
2． (2023·全国·高三专题练习）在中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）
A．B．
C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习）在中，，，，则此三角形（ ）
A．无解B．一解
C．两解D．解的个数不确定
4． (2023·全国·高三专题练习）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则B的解的个数是（ ）
A．2B．1C．0D．不确定
5． (2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的取值不可能为（ ）
A．3B．4C．D．
6． (2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，下列条件使有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
7． (2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则满足条件的（ ）
A．无解B．有一个解
C．有两个解D．不能确定
题组六 几何中的正余弦定理
1． (2023·陕西·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则边上的中线长为（ ）
A．49B．7C．D．
2． (2023·内蒙古·霍林郭勒市第一中学）在△ABC中，，AC＝2，D是边BC上的点，且BD＝2DC，AD＝DC，则AB等于 ___．
3． (2023·安徽安庆·二模（理））如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD垂直于BC，∠A=30°，BD=2AD，，则△ABC的面积为______.
4． (2023·全国·高三专题练习）如图，在梯形中，，，，，，，均为锐角，则对角线___________.
5． (2023·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）如图，四边形内接于一个圆中，其中为直径，，，.
(1)求的长；
(2)求的面积.
6． (2023·河北廊坊·高三阶段练习）在平面四边形中，．
(1)求；
(2)求的面积．
3.5 正余弦定理（精练）（基础版）
题组一 正余弦定理公式选择
1． (2023·广西广西·模拟预测（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】C
【解析】由正弦定理，得，所以故选：C
2． (2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，A=45°，C=30°，c=6，则a等于（ ）
A．3B．6C．2D．3
【答案】B
【解析】由正弦定理得，∴a=.故选：B
3． (2023·四川·宁南中学）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【解析】由题意可得，则或.因为，所以，所以.
故选：A
4． (2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别是，已知，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【解析】由正弦定理可得，则.
因为，所以，则.故选：B.
5． (2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学）在中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，若，，，则（ ）
A．B．C．D．32
【答案】C
【解析】因为，，所以，因为，
所以.故选：C.
6． (2023·全国·高三专题练习）△ABC的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，若a=4，b=3，c=2，则中线AD的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，由余弦定理得AB2=DA2+DB2－2DA·DBcs∠ADB，
AC2=DA2+DC2－2DA·DCcs∠ADC，又cs∠ADB=－cs∠ADC
两式相加得AB2+AC2=2DA2+DB2+DC2，即22+32=2DA2+22+22，∴2DA2=5，∴DA=.故选：D
7． (2023·云南·丽江第一高级中学）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c且a：b：c=3：5：7，则___________.
【答案】
【解析】，∴设，.故答案为：.
8． (2023·上海市奉贤中学）在中，已知，则的面积_______．
【答案】12
【解析】∵，∴根据余弦定理得，
∴∴，故答案为：12．
9． (2023·上海市实验学校高三阶段练习）在中，内角成等差数列，则___________.
【答案】
【解析】由内角成等差数列，知：，而，
∴，而由余弦定理知：，
由正弦定理边角关系，得：.故答案为：.
10． (2023·上海市宝山中学）的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知，则________.
【答案】4
【解析】由余弦定理得，
，解得或（舍去）．故答案为：4．
题组二 边角互化
1． (2023·四川达州·二模）在中，所对的边分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得：，即，
，.故选：B.
2． (2023·四川泸州·二模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的值是（ ）
A．6B．8C．4D．2
【答案】A
【解析】因为，根据正弦定理得到：
故得到
再由余弦定理得到： 代入，，得到.
故选：A.
3． (2023·安徽马鞍山·一模）已知的内角的对边分别为，设，，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在中，由及正弦定理得：，
即，由余弦定理得：，而，解得，
由得，显然，则，，
所以.故选：C
4． (2023·四川·乐山市教育科学研究所二模）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则A=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意知，，，
，，
由正弦定理，得，又，所以，
即，由，得.故选：D
5． (2023·广西·高三阶段练习）已知中，，，则______.
【答案】
【解析】∵，∴根据正弦定理得，，又，
∴，∴，
∵B是三角形内角，∴sinB≠0，∴，
∵A是三角形内角，∴，∴.故答案为：.
6． (2023·广西·高三阶段练习）在中，，，，则的值为____.
【答案】
【解析】∵，∴根据正弦定理得，，
∴，∴，∴，∵B是三角形内角，∴，由正弦定理得，.故答案为：.
7． (2023·吉林长春·模拟预测（理））已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A=___________.
【答案】
【解析】由正弦定理可知，，整理得
即，
因为，所以，故答案为：
8． (2023·上海市建平中学高三阶段练习）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若，则___________．
【答案】
【解析】结合正弦定理可得，即，故，
所以,因为，所以，故答案为：.
9． (2023·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足，则___________.
【答案】
【解析】因为，所以由正弦定理得，又，所以可得，所以.故答案为：.
题组三 三角形的面积
1． (2023·吉林·德惠市第一中学）在中，内角所对的边分别为，，，，则的外接圆直径等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，可得，由余弦定理得，故，
由正弦定理得故选：C
2． (2023·全国·高三专题练习）在中，，，分别是角，，所对的边，若的面积，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，得整理得：
由余弦定理得：，即，即
又，解得.故选：C.
3． (2023·内蒙古赤峰·模拟预测（理））我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式，设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，“三斜求积”公式表示为.在中，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，即，又，所以，
所以，故选：C
4． (2023·全国·高三专题练习）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，，所以为钝角，为锐角.
，解得.
.由正弦定理得.
由解得.
，
所以.故选：D
5． (2023·陕西·西安中学高三阶段练习（理））的内角所对的边分别为.已知，则的面积的最大值（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，
又，所以，因为，所以，所以，
由，得，所以，当且仅当时，取等号，
则，所以的面积的最大值为.故选：B.
6． (2023·天津市宁河区芦台第一中学）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则___________
【答案】7
【解析】，得由余弦定理得，即
可得，故故答案为：7
题组四 判断三角形的形状
1． (2023·全国·高三专题练习）的三边长分别为4，5，7，则该三角形的形状为（ ）
A．没有满足要求的三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
【答案】D
【解析】因为，由余弦定理易知，最大角为钝角，该三角形为钝角三角形.故选：D．
2． (2023·江苏·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则这个三角形的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】因为，所以由余弦定理可得，即
所以，所以三角形的形状为直角三角形故选：A
3． (2023·内蒙古通辽·高三期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（ ）
A．等腰非等边三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
【答案】B
【解析】由，可得，所以，所以.
在中，，故，
因为，所以，因为，所以，故为直角三角形.故选：B
4． (2023·全国·高三专题练习）已知中，三内角满足，三边满足，则是（ ）
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等边三角形D．钝角三角形
【答案】C
【解析】中，∵且，∴，
将，代入余弦定理可得，
化简可得，即，
又∵，由等边三角形判定定理可知为等边三角形.故选：C.
5． (2023·全国·高三专题练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，则“”是“是等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】在中，由结合余弦定理得：，整理得：
，即，则或，为等腰三角形或直角三角形，
即“”不能推出“是等腰三角形”，而为等腰三角形，不能确定哪两条边相等，不能保证有成立，
所以“”是“是等腰三角形”的既不充分也不必要条件.
故选：D
6． (2023·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））在中，角，，所对的边分别为，，，满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D在中，对于 ，由正弦定理得：，即，
所以或即或.所以为等腰三角形或直角三角形.故选：D
7． (2023·全国·高三专题练习）若将直角三角形的三边，，分别增加个单位长度，组成新三角形，则新三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定
【答案】A
【解析】由题意，不妨设为直角三角形的斜边，故
各边增加1，可得三边长为：
此时为三边中最长的边，故所对的角是新三角形的最大角，
不妨设新三角形最大角为
故
由于，，为三角形的三条边，故
，又为锐角
新三角形的最大角为锐角，故新三角形是锐角三角形
故选：A
8． (2023·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，若，则是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】因为由正弦定理化边为角可得：，
所以，
因为，所以，因为，所以，所以是直角三角形，故选：C.
9． (2023·全国·高三专题练习）在△中，若满足，则该三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】由正弦定理可得，所以，
所以，所以，所以或，
因为，，所以或，所以或，
所以是直角三角形或等腰三角形，故选：D
10． (2023·全国·高三专题练习）的内角A，B，C的对边分别为，已知且满足，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】B
【解析】，解得，，则，
∵，∴由正弦定理得，
，，
，因为，∴，∴，
∴，，是直角三角形、故选：B．
题组五 三角形解个数
1． (2023·全国·高三专题练习）满足条件，，的三角形的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．不存在
【答案】B
【解析】在中，因为，，，
由正弦定理 ，可得，
因为，即，则有两解，所以三角形的个数是2个.故选：B.
2． (2023·全国·高三专题练习）在中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A选项，，，，又，
由正弦定理得：，，
三角形三边确定，此时三角形只有一解，不合题意；
对于B选项，，，，
由余弦定理得：，
三角形三边唯一确定，此时三角形有一解，不合题意；
对于C选项，，三边均为定值，三角形唯一确定，故选项C不合题意；
对于D选项，，，，由正弦定理得：，
，，，有两解，符合题意，故选：D.
3． (2023·全国·高三专题练习）在中，，，，则此三角形（ ）
A．无解B．一解
C．两解D．解的个数不确定
【答案】C
【解析】在中，，，，由正弦定理得，而为锐角，且，则或，所以有两解．故选：C
4． (2023·全国·高三专题练习）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则B的解的个数是（ ）
A．2B．1C．0D．不确定
【答案】A
【解析】由正弦定理知，，即 ，解得，
又，由三角函数性质知角B由两个解，
当角B为锐角时，满足，即存在；
当角B为钝角时，，，
则满足，即存在；故有两个解.
故选：A
5． (2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的取值不可能为（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】B
【解析】由已知，到直线的距离为，所以当或时，即或时，满足条件的三角形有且只有一个.
所以对于A，符合，故三角形有一解；
对于B：当b=4时，符合，故三角形有两解；
对于C：符合，故三角形有一解；
对于D：符合，故三角形有一解.
故选：B.
6． (2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，下列条件使有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】选项A. 由余弦定理可得
的三边分别为，所以满足条件的三角形只有一个.
选项B. ，则, 由正弦定理可得
所以，的三边为定值，三个角为定值，所以满足条件的三角形只有一个.
选项C. 由，则由正弦定理可得
所以, 由则，所以角为一确定的角，且，
则角角为一确定的角，从而边也为定值，所以满足条件的三角形只有一个.
选项D. 作,在的一条边上取，过点作垂直于的另一边，垂足为.
则,以点为圆心，4为半径画圆弧，
因为，所以圆弧与的另一边有两个交点
所以均满足条件，所以所以满足条件的三角形有两个.
故选：D
7． (2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则满足条件的（ ）
A．无解B．有一个解
C．有两个解D．不能确定
【答案】C
【解析】因为，，
由正弦定理可得，，所以，
因为为三角形内角，所以，因此或，
若，则符合题意；若，则，符合题意；
因此有两个解；故选：C.
题组六 几何中的正余弦定理
1． (2023·陕西·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则边上的中线长为（ ）
A．49B．7C．D．
【答案】D
【解析】因为，故可得，
根据余弦定理可得，故，
不妨取中点为，故，
故.
即边上的中线长为.
故选：.
2． (2023·内蒙古·霍林郭勒市第一中学）在△ABC中，，AC＝2，D是边BC上的点，且BD＝2DC，AD＝DC，则AB等于 ___．
【答案】3
【解析】设，
因为BD＝2DC，AD＝DC，所以，
在中，由余弦定理可知：，
在中，由余弦定理可知：，
于是有，
在中，由余弦定理可知：，
，把代入中得，，
故答案为：3
3． (2023·安徽安庆·二模（理））如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD垂直于BC，∠A=30°，BD=2AD，，则△ABC的面积为______.
【答案】
【解析】因为，设，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，即，于是得，解得，则，
所以的面积.
故答案为：
4． (2023·全国·高三专题练习）如图，在梯形中，，，，，，，均为锐角，则对角线___________.
【答案】25
【解析】过点作交于点，连接BD，
则，，.
在中，由余弦定理得，
在中，，解得.
故答案为：25.
5． (2023·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）如图，四边形内接于一个圆中，其中为直径，，，.
(1)求的长；
(2)求的面积.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)在中，由余弦定理得：
，解得：，
设为外接圆半径，由正弦定理得：，即.
(2)为直径，，
，，又，
.
6． (2023·河北廊坊·高三阶段练习）在平面四边形中，．
(1)求；
(2)求的面积．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)因为为直角三角形，，
所以．
在中，，
由余弦定理，得，所以．
(2)由（1）知，，，所以，
所以为直角三角形，且，
所以，
故．